2021-2022學(xué)年北京師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，則A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.（單選題，4分）命題“?x∈（0，+∞），lnx=x-1”的否定是（）A.?x∈（0，+∞），lnx≠x-1B.?x?（0，+∞），lnx=x-1C.?x∈（0，+∞），lnx≠x-1D.?x?（0，+∞），lnx=x-13.（單選題，4分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的為（）A.y=B.y=ln|x|C.y=2-xD.y=1-|x|4.（單選題，4分）已知a=3-2，b=log0.52，c=log23，則（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞a＞b5.（單選題，4分）從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成，等級性考試成績位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為（）A.30B.60C.80D.286.（單選題，4分）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）7.（單選題，4分）向量“，不共線”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.（單選題，4分）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：m/s），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q．科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與成正比．當(dāng)v=1m/s時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為900．當(dāng)v=2m/s時，其耗氧量的單位數(shù)為（）A.1800B.2700C.7290D.81009.（單選題，4分）關(guān)于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[-1，3]B.（-∞，3]C.（-∞，1]D.（-∞，1]∪[3，+∞）10.（單選題，4分）已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=ax2-x，其中a＞0，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立則a=（）A.B.C.D.11.（填空題，5分）=___．12.（填空題，5分）已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是___．13.（填空題，5分）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___，乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是___．14.（填空題，5分）已知函數(shù)

①當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）的值域是___；

②若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是___．15.（填空題，5分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．

設(shè)t=|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|．

①當(dāng)λ1=λ2=λ3=-1，λ4=λ5=λ6=1時，t=___；

②若λi∈{-1，1}，i=1，2，3，4，5，6，則t的最大值是___．16.（問答題，14分）已知向量=（3，4），=（1，2），=（-2，-2）．

（Ⅰ）求||，||的值；

（Ⅱ）若=m+n，求實數(shù)m，n的值；

（Ⅲ）若（+）||（-+k），求實數(shù)k的值．17.（問答題，13分）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：

（Ⅰ）求出圖中a的值；

（Ⅱ）求該班學(xué)生這個周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；

（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由．18.（問答題，15分）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（Ⅱ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的值域；

（Ⅲ）若對任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19.（問答題，14分）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如表：空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市12月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；

（Ⅱ）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；

（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為s02．從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機抽取一個記為a，若a=99，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s12；若a=169，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s22，試比較s02，s12，s22的大小．（結(jié)論不要求證明）20.（問答題，15分）已知函數(shù)f（x）=2x-2-x．

（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義給出證明；

（Ⅱ）解不等式：；

（Ⅲ）若關(guān)于x的方程只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．21.（問答題，14分）設(shè)n是不小于3的正整數(shù)，集合Sn={（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i=1，2，…，n}，對于集合Sn中任意兩個元素A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）．

定義1：A?B=n-（|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|）．

定義2：若A?B=0，則稱A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）互為相反元素，記作，或．

（Ⅰ）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），試寫出，，以及A?B的值；

（Ⅱ）若A，B∈Sn，證明：；

（Ⅲ）設(shè)k是小于n的正奇數(shù)，至少含有兩個元素的集合M?Sn，且對于集合M中任意兩個不相同的元素A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），都有A?B=n-k，試求集合M中元素個數(shù)的所有可能值．

2021-2022學(xué)年北京師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：1501.（單選題，4分）已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，則A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}【正確答案】：C【解析】：進行交集的運算即可．

【解答】：解：∵A={x|-1≤x≤2}，B={0，1，2，3}，

∴A∩B={0，1，2}．

故選：C．

【點評】：本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.（單選題，4分）命題“?x∈（0，+∞），lnx=x-1”的否定是（）A.?x∈（0，+∞），lnx≠x-1B.?x?（0，+∞），lnx=x-1C.?x∈（0，+∞），lnx≠x-1D.?x?（0，+∞），lnx=x-1【正確答案】：A【解析】：利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可．

【解答】：解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“?x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是：?x∈（0，+∞），lnx≠x-1．

故選：A．

【點評】：本題考查特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3.（單選題，4分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的為（）A.y=B.y=ln|x|C.y=2-xD.y=1-|x|【正確答案】：B【解析】：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項進行判斷即可．

【解答】：解：y=為奇函數(shù)，不符合題意，

y=2-x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，

y=1-|x|為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意，

y=ln|x|為偶函數(shù)，且x＞0時，y=lnx單調(diào)遞增，符合題意．

故選：B．

【點評】：本題考查函數(shù)奇偶性的定義，以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．4.（單選題，4分）已知a=3-2，b=log0.52，c=log23，則（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞a＞b【正確答案】：D【解析】：容易得出0＜3-2＜1，log0.52＜0，log23＞1，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．

【解答】：解：∵0＜3-2＜1，log0.52＜log0.51=0，log23＞log22=1，

∴c＞a＞b．

故選：D．

【點評】：本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.（單選題，4分）從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成，等級性考試成績位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為A、B、C、D、E，各等級人數(shù)所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學(xué)生人數(shù)為（）A.30B.60C.80D.28【正確答案】：C【解析】：根據(jù)分層抽樣原理計算B等級應(yīng)抽取的人數(shù)．

【解答】：解：根據(jù)分層抽樣原理知，B等級應(yīng)抽取200×40%=80（人）．

故選：C．

【點評】：本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6.（單選題，4分）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【正確答案】：B【解析】：求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點判定定理進行判斷．

【解答】：解：f（x）定義域為{x|x≠0}，

∵在（0，+∞）上是減函數(shù)，y=2x在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴在（0，+∞）上是減函數(shù)．

∵f（1）=4-2=2＞0，f（2）=2-4＜0，

函數(shù)在（0，+∞）連續(xù)，根據(jù)函數(shù)的零點判定定理可知，

∴f（x）的零點所在的區(qū)間是（1，2）．

故選：B．

【點評】：本題考查了函數(shù)的零點判定定理，屬于基礎(chǔ)題．7.（單選題，4分）向量“，不共線”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：A【解析】：根據(jù)向量三角形的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

【解答】：解：當(dāng)向量“，不共線”時，由向量三角形性質(zhì)得“”成立，即充分性成立，

反之當(dāng)向量“，方向相反時，滿足“”，但此時兩個向量共線，即必要性不成立，

即向量“，不共線”是“”的充分不必要條件，

故選：A．

【點評】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題、8.（單選題，4分）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：m/s），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q．科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與成正比．當(dāng)v=1m/s時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為900．當(dāng)v=2m/s時，其耗氧量的單位數(shù)為（）A.1800B.2700C.7290D.8100【正確答案】：D【解析】：根據(jù)正比例函數(shù)關(guān)系設(shè)v=k，代入v=1，Q=900可求出k，進而可求出v=2時，Q的值

【解答】：解：根據(jù)題意設(shè)v=k，把v=1，Q=900代入可得k=，

所以v=，

當(dāng)v=2時，代入得2=，解得Q=8100，

故選：D．

【點評】：本題考查函數(shù)模型的實際應(yīng)用，運用待定系數(shù)法進行解析式的求解是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9.（單選題，4分）關(guān)于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[-1，3]B.（-∞，3]C.（-∞，1]D.（-∞，1]∪[3，+∞）【正確答案】：B【解析】：由題意，分x=0與x≠0兩類討論，后者可分離參數(shù)a，利用基本不等式求得a的范圍，最后取交集可得答案．

【解答】：解：?x∈R，x2+|x|≥a|x|-1恒成立，

①當(dāng)x=0時，0≥-1成立，a∈R；

②當(dāng)x≠0時，原不等式可化為a≤|x|++1，

∵|x|++1≥2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=，即x=±1時取等號，

∴a≤3，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]，

故選：B．

【點評】：本題考查函數(shù)恒成立問題與絕對值不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．10.（單選題，4分）已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=ax2-x，其中a＞0，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立則a=（）A.B.C.D.【正確答案】：B【解析】：由題意可得ax1-1=成立，判斷當(dāng)0＜a≤1時不成立，考慮a＞1，由題意可得在[1，3]內(nèi)，ax1-1的值域為的值域的子集，解a的不等式可得a的值．

【解答】：解：?x1∈[1，3]，?x2∈[1，3]，使得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，

即為=，即ax1-1=成立，

顯然當(dāng)0＜a≤1時，y==ax-1在[1，3]的值域為[a-1，3a-1]，而a-1∈（-1，0]，

即y=ax-1的函數(shù)值中出現(xiàn)0，不成立，0＜a≤1舍去；

則a＞1，可得ax1-1在[1，3]的值域為[a-1，3a-1]．

在[1，3]的值域為[，]，

由題意可得在[1，3]內(nèi)，ax1-1的值域為的值域的子集，

可得≤a-1＜3a-1≤，

可得（a-1）（3a-1）=1，解方程可得a=，

故選：B．

【點評】：本題考查函數(shù)的值域求法，以及恒成立與有解問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．11.（填空題，5分）=___．【正確答案】：[1]【解析】：根據(jù)冪指數(shù)及對數(shù)運算性質(zhì)計算即可．

【解答】：解：=+log3=-1=-．

故答案為：-．

【點評】：本題考查冪指數(shù)及對數(shù)運算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.（填空題，5分）已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是___．【正確答案】：[1]0.38【解析】：利用獨立事件的概率乘法公式求解．

【解答】：解：設(shè)甲運動員命中為事件A，乙運動員命中為事件B，

則P（A）=0.7，P（B）=0.8

所以恰有一人命中的概率P=P（A）+P（）P（B）=0.7×（1-0.8）+（1-0.7）×0.8=0.38，

故答案為：0.38．

【點評】：本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．13.（填空題，5分）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___，乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是___．【正確答案】：[1]45;[2]35【解析】：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別找出甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)．

【解答】：解：根據(jù)莖葉圖知，甲組數(shù)據(jù)按從小到大排列為28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中間的一位是中位數(shù)，是45；

乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為29，34，35，42，46，48，53，55，67；計算9×25%=2.25，所以25%分位數(shù)是第3個數(shù)，為35．

故答案為：45；35．

【點評】：本題考查了中位數(shù)與百分位數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14.（填空題，5分）已知函數(shù)

①當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）的值域是___；

②若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是___．【正確答案】：[1]（-∞，1];[2]（-1，1]【解析】：①a=1，代入解析式可求出f（x）的值域；

②根據(jù)f（x）的圖象與直線y=1只有一個公共點，則有2-a≥1且20-a＜2，進而可求出a的取值范圍

【解答】：解：①當(dāng)a=1時，f（x）=，

則此時當(dāng)x＞1時，f（x）=2-x＜1，當(dāng)x≤1時，f（x）≤1，所以f（x）的值域為（-∞，1]；

②根據(jù)解析式可知，當(dāng)x＞1時，f（x）=2-x＜1；

當(dāng)x≤1時，f（x）=2x-a≤2-a，

若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1只有一個公共點，

則2-a≥1且20-a＜2，解得-1＜a≤1，

則實數(shù)a的取值范圍是（-1，1]．

故答案為（-∞，1]；（-1，1]．

【點評】：本題考查分段函數(shù)值域問題，涉及函數(shù)單調(diào)性等知識點，屬于中檔題．15.（填空題，5分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．

設(shè)t=|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|．

①當(dāng)λ1=λ2=λ3=-1，λ4=λ5=λ6=1時，t=___；

②若λi∈{-1，1}，i=1，2，3，4，5，6，則t的最大值是___．【正確答案】：[1]0;[2]【解析】：建立直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化求模長的最值即可．

【解答】：解：建立如圖所示坐標(biāo)系：

則A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），

故=（2，0），=（0，1）=（-2，0），=（0，-1），=（2，1），=（-2，1），

①當(dāng)λ1=λ2=λ3=-1，λ4=λ5=λ6=1時，=-（2，0）-（0，1）-（-2，0）+（0，-1）+（2，1）+（-2，1）=（0，0），

所以t=0；

②由題意若使模長最大，則λ1-λ3=±2，λ2-λ4=±2，

不妨設(shè)為λ1-λ3=2，λ2-λ4=2，

則=（4+2λ5-2λ6，2+λ5+λ6），

當(dāng)λ5+λ6=2，λ5-λ6=0時模長最大為，

故答案為：①．

【點評】：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，模長的最值問題，屬于中檔題．16.（問答題，14分）已知向量=（3，4），=（1，2），=（-2，-2）．

（Ⅰ）求||，||的值；

（Ⅱ）若=m+n，求實數(shù)m，n的值；

（Ⅲ）若（+）||（-+k），求實數(shù)k的值．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)運算求出||，||的值即可；

（Ⅱ）分別求出，m和n的坐標(biāo)，根據(jù)向量相等得到關(guān)于m，n的方程組，解出即可；

（Ⅲ）根據(jù)共線向量的定義得到關(guān)于k的方程，解出即可．

【解答】：解：（I）∵=（3，4），=（1，2），

∴|a|==5，，

（II）∵=m+n，

∴（3，4）=m（1，2）+n（-2，-2）=（m-2n，2m-2n），

∴，得，

故m=1，n=-1；

（III）-+k=（-1-2k，-2-2k），+=（4，6），

∵（-+k）||（+），

∴6（-1-2k）=4（-2-2k），

解得．

【點評】：本題考查了求向量的模，考查共線向量的定義以及向量的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題．17.（問答題，13分）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：

（Ⅰ）求出圖中a的值；

（Ⅱ）求該班學(xué)生這個周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；

（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由．【正確答案】：

【解析】：（I）由頻率分布直方圖列方程，能求出a．

（II）由圖求出該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率，由此能求出40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)．

（III）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．

【解答】：解：（I）由頻率分布直方圖得：

（a+0.040+0.050+0.045+0.030+0.015）×5=1，

解得a=0.020．

（II）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率為：

（0.03+0.015）×5=0.225，

則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)為40×0.225=9．

（III）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．

【點評】：本題考查頻率、頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.（問答題，15分）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（Ⅱ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的值域；

（Ⅲ）若對任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）當(dāng)a=2時，，由及對數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)f（x）的值域；

（Ⅲ）依題意，得恒成立，對對數(shù)的底數(shù)a分a＞1與0＜a＜1兩類討論，即可求得對任意x∈R，f（x）≥1恒成立時，實數(shù)a的取值范圍．

【解答】：解：（I）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R．………（1分）

又因為，

所以是偶函數(shù)．……（4分）

（II）當(dāng)a=2時，．

因為|x|≥0，

所以|x|+2≥2．

所以…………（7分）

所以，，即f（x）≤-1．……（8分）

所以當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，-1]，…………（9分）

（III）因為f（x）≥1恒成立，即恒成立，

所以恒成立．………………（10分）

①當(dāng)a＞1時，即恒成立．

因為，

所以當(dāng)a＞1時不合題意，…………（11分）

②當(dāng)0＜a＜1時，即恒成立．

因為，所以．………（14分）

所以對任意x∈R，f（x）≥1恒成立時，實數(shù)a的取值范圍為．……（15分）

【點評】：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和分類討論思想的應(yīng)用，考查運算能力，屬中檔題．19.（問答題，14分）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如表：空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市12月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；

（Ⅱ）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；

（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為s02．從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機抽取一個記為a，若a=99，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s12；若a=169，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s22，試比較s02，s12，s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）根據(jù)甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，即可得到答案；

（Ⅱ）先確定總的基本事件數(shù)，再求出符合條件的基本事件數(shù)，利用概率的計算公式求解即可；

（Ⅲ）直接比較即可．

【解答】：解：（Ⅰ）甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，

則估計甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為．

（Ⅱ）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，

因為（48，80），（48，67），（48，108），（48，150），（48，205），（48，62），

（65，80），（65，67），（65，108），（65，150），（65，205），（65，62），

（104，80），（104，67），（104，108），（104，150），（104，205），（104，62），

（132，80），（132，67），（132，108），（132，150），（132，205），（132，62），

（166，80），（166，67），（166，108），（166，150），（166，205），（166，62），

（79，80），（79，67），（79，108），（79，150），（79，205），（79，62），

所以基本事件數(shù)一共有36種，

A表示“這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，

則A={（104，108），（104，150），（132，108），（132，150）}，包含4個樣本點，

則．

（Ⅲ）．

【點評】：本題考查了概率和統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，涉及了列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，解題的關(guān)鍵是正確表示出總的基本事件數(shù)．20.（問答題，15分）已知函數(shù)f（x）=2x-2-x．

（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義給出證明；

（Ⅱ）解不等式：；

（Ⅲ）若關(guān)于x的方程只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論；

（Ⅱ）由函數(shù)的解析式可得，則有?，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案；

（Ⅲ）根據(jù)題意，原問題等價于方程有且只有一個實數(shù)解．利用換元法分析可得答案．

【解答】：解：（I）根據(jù)題意，f（x）在R上單調(diào)遞增；

證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則=；

又由x1＜x2，則有，f（x1）＜f（x2）．

故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；

（II）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=2x-2-x．則，

?，

又函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則有

故不等式的解集為．

（Ⅲ）根據(jù)題意，若關(guān)于x的方程只有一個實根，

即方程有且只有一個實數(shù)解．

令t=2x，則t＞0，問題轉(zhuǎn)化為：

方程有且只有一個正數(shù)根，

①當(dāng)m=1時，，不合題意，

②當(dāng)m≠1時，

（i）若Δ=0，則m=-3或，

若m=-3，則，符合題意；

若，則t=-2，不合題意，

（ii）若Δ＞0，則m＜-3或，

由題意，方程有一個正根和一個負(fù)根，即，解得m＞1；

綜上，實數(shù)m的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．

【點評】：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題．21.（問答題，14分）設(shè)n是不小于3的正整數(shù)，集合Sn={（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i=1，2，…，n}，對于集合Sn中任意兩個元素A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）．

定義1：A?B=n-（|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|）．

定義2：若A?B=0，則稱A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）互為相反元素，記作，或．

（Ⅰ）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），試寫出，，以及A?B的值；

（Ⅱ）若A，B∈Sn，證明：；

（Ⅲ）設(shè)k是小于n的正奇數(shù)，至少含有兩個元素的集合M?Sn，且對于集合M中任意兩個不相同的元素A