有理數(shù)的減法(講+練) 【核心知識高效識記+鞏固提升】 人教版七年級數(shù)學(xué) 上冊核心考點(diǎn)精講精練（含答案解析）

有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法定義：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運(yùn)算．注意：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算．（2）幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字即數(shù)的絕對值．法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：．注意：將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”．如：題型1：有理數(shù)減法法則的辨析1.下列四種說法：①減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；②兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)和為0；③兩數(shù)相減，差一定小于被減數(shù)；④如果兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)數(shù)的和或差等于零．其中正確的說法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①③根據(jù)有理數(shù)的減法法則判斷即可；②根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可；④根據(jù)絕對值的定義以及有理數(shù)的加減法法則判斷即可．【解答】解：①減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，說法正確；②兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)和為0，說法正確；③兩數(shù)相減，差一定小于被減數(shù)，說法錯(cuò)誤，如1﹣（﹣2）＝1+2＝3，3＞1；④如果兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，則這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)的和或差等于零，故④說法正確．所以正確的說法有①②④．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】說法正確的是（）A．0減任何數(shù)的差都是負(fù)數(shù) B．減去一個(gè)正數(shù)，差一定大于被減數(shù) C．減去一個(gè)正數(shù)，差一定小于被減數(shù) D．兩個(gè)數(shù)之差一定小于被減數(shù)【分析】可通過舉反例說明不正確的，通過分類討論說明正確的．【解答】解：0減去負(fù)數(shù)的差就是正數(shù)，正數(shù)大于被減數(shù)0，故A、D都是不正確的；負(fù)數(shù)減去正數(shù)，差一定小于被減數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；減去一個(gè)正數(shù)，差一定小于被減數(shù)，此選項(xiàng)正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的減法．說明選項(xiàng)不正確，只要舉出一個(gè)反例就可以．題型2：有理數(shù)的減法計(jì)算2.（1）（－14）－（－39）（2）(-14)-(+15)解：（1）（-14）-（-39）=-14+39=25．（2）解：(-14)-(+15)=-14-15=-(14+15)(符號后面添括號，括號里面的數(shù)要變號)=-29【變式2-1】計(jì)算：（1）?2?(?1)+(【答案】（1）解：?2?=?2+1?11?12=?24（2）解：﹣6﹣（﹣4）﹣3+（﹣5）=?6+4?3?5=?10【變式2-2】計(jì)算：12【答案】解：1=[=0+(?1)+=?1【解析】【分析】根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)將減法轉(zhuǎn)變?yōu)榧臃?，再利用加法的交換律和結(jié)合律將同分母的分?jǐn)?shù)相加，再根據(jù)異號兩數(shù)相加的加法法則計(jì)算即可求解.題型3：省略式中的加號和括號3.把(-5)-(+3)-(-7)+(-2)寫成省略加號和括號的形式，正確的是()A．-5+3-7-2 B．5-3-7-2 C．5-3+7-2 D．-5-3+7-2【答案】D【解析】【解答】解：原式=-5-3+7-2.故答案為：D.【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，去括號得到結(jié)果即可。【變式3-1】將﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（+2）寫成省略加號和括號的和的形式，正確的是（）A．﹣3+6﹣5﹣2 B．﹣3﹣6+5+2C．﹣3﹣6﹣5﹣2 D．﹣3﹣6+5﹣2【答案】B【解析】【解答】解：﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（+2）=﹣3﹣6+5+2，故答案為：B．【分析】直接利用去括號法則即得結(jié)論.【變式3-2】不改變原式的值，將式子5?(+3)?(?7)+(?8)改寫成省略加號和括號的形式是.【答案】5-3+7-8【解析】【解答】解：5?(+3)?(?7)+(?8)=5-3+7-8。故答案為：5-3+7-8。【分析】根據(jù)去括號法則，一一去括號即可得出答案。題型4：有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算4.計(jì)算：（1）﹣8﹣（﹣15）＋（﹣12）﹣11（2）（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）．【答案】（1）解：-8-（-15）+（-12）-11=-8+（-12）-（-15）-11=-8+（-12）+15-11=-20+4=-（20-4）=-16.（2）解：（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8．【變式4-1】（1）（+1.6）－（－4.2）－（+2.1）－5.7（2）9+(?1【答案】(2)解：（+1.6）－（-4.2）－（+2.1）－5.7=1.6+4.2－2.1－5.7=-2【答案】(1)解：原式=9?6?【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則及有理數(shù)的減法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解。【變式4-2】（1）（﹣0.125）+0.175﹣0.05（2）1【答案】（1）解：（-0.125）+0.175-0.05=0.175-（0.125+0.05）=0.175-0.175=0.（2）解：原式====【解析】【分析】利用加法的交換律和結(jié)合律，將符號相同的兩個(gè)加數(shù)結(jié)合在一起相加，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.題型5：應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算5.計(jì)算（1）(?（2）(+2（3）?(+1.5)?(?4【答案】（1）解：原式=?1.2?7+3.2+(?1)=(?1.2)+3.2+(?1)?7=2?8=?6（2）解：原式=2=4+(?=4+=（3）解：原式=?1.5+4.25+3.75?8.5=?10+8=?2【變式5-1】（1）計(jì)算：178﹣87.21+43221+5319（2）計(jì)算：114﹣5+（﹣13）﹣14【答案】（1）解：178﹣87.21+43221+5319=178+(43=178+97?100=175（2）解：114﹣5+（﹣13）﹣14=1=1?5?6=?10【解析】【分析】（1）利用加法運(yùn)算律和加法計(jì)算法則求解即可；（2）利用加法的交換律和加法的結(jié)合律求解即可。題型6：有理數(shù)的應(yīng)用-數(shù)軸6.如圖，a、b是數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，則b?a一定是（）A．負(fù)數(shù) B．0 C．整數(shù) D．正數(shù)【答案】D【解析】【解答】解：由數(shù)軸得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴b-a＞0，故選：D．【分析】由數(shù)軸得b＞0，a＜0，且|a|＞|b，根據(jù)有理數(shù)的減法法則確定b-a的符號即可.【變式6-1】已知|a|=4，|b|=2，|c|=5，且有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，計(jì)算a+b+c的值【答案】解：由題意得：a=4,b=-2,c=-5,則a+b+c=4+（-2）+（-5）=4+(-7)=-3.【解析】【分析】根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置分別確定a、b、c的所表示的數(shù)，然后再進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算即可.【變式6-2】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：-|a-b|+|b+c|-|a-c|+|c-b|．【分析】根據(jù)數(shù)軸對應(yīng)點(diǎn)的位置確定每一個(gè)絕對值里面式子的取值情況，再根據(jù)“正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0”解答即可．【解答】解：∵a＜b＜-1＜0＜c＜1，∴a-b＜0，b+c＜0，a-c＜0，c-b＞0，∴-|a-b|+|b+c|-|a-c|+|c-b|=-（b-a）-b-c-（c-a）+c-b=-b+a-b-c-c+a+c-b=2a-3b-c．【點(diǎn)評】本題考查絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的加減法法則，去括號法則及整式的運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加減法則是關(guān)鍵．題型7：有理數(shù)的應(yīng)用-絕對值7.在數(shù)軸上，a所表示的點(diǎn)總在b所表示的點(diǎn)的右邊，且|a|=6，|b|=3，則a－b的值為()A．－3 B．－9 C．－3或－9 D．3或9【答案】D【解析】【解答】∵|a|=6，|b|=3，∴a=±6，b=±3，∵在數(shù)軸上，a所表示的點(diǎn)總在b所表示的點(diǎn)的右邊，∴a=6，當(dāng)a=6，b=3時(shí)，a﹣b=6﹣3=3，當(dāng)a=6，b=﹣3時(shí)，a﹣b=6﹣（﹣3）=6+3=9，所以，a﹣b的值為3或9．故答案為：D．【分析】本題考查了有理數(shù)的減法，絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸的知識，判斷出a=6是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】若|a|=3，|b|=5，且ab<0，求a-b的值．【答案】解：∵|a|=3，|b|=5，∴a=±3，b=±5；∵ab<0，∴ab異號．∴當(dāng)a=3，b=?5時(shí)，a?b=3?(?5)=8；當(dāng)a=?3，b=5時(shí)，a?b=?3?5=?8．故a-b的值為8或-8．【解析】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合a和b的乘積，求出a-b的值即可。【變式7-2】若|a|=5，|b|=2，|c|=7，b>a>c，求a+b?c的值.【答案】解：由|a|=5，|b|=2，|c|=7，知a=±5，b=±2，c=±7，又因?yàn)閎>a>c，故b=±2，a=-5，c=?7，則①當(dāng)b=2時(shí)，a+b?c=-5+2?（?7）=4；②當(dāng)b=-2時(shí)，a+b?c=-5+（?2）?（?7）=0.【解析】【分析】由絕對值的性質(zhì)可得a=±5，b=±2，c=±7，根據(jù)b>a>c確定出a、b、c的值，然后代入a+b-c中進(jìn)行計(jì)算.【變式7-3】若有理數(shù)x、y滿足|x|=7，|y|=4，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．【答案】解：∵|x|=7，∴x=±7，∵|y|=4，∴y=±4，又∵|x+y|=x+y，∴x+y≥0，∴x=7，y=±4，當(dāng)x=7，y=4時(shí)，x﹣y=7﹣4=3，當(dāng)x=7，y=﹣4時(shí)，x﹣y=7﹣（﹣4）=11．【解析】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出x、y，再判斷出x、y的對應(yīng)情況，然后根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．題型8：有理數(shù)的應(yīng)用-實(shí)際問題8.某人用400元購買了8套兒童服裝，準(zhǔn)備以一定價(jià)格出售，如果每套兒童服裝以56元的價(jià)格作為標(biāo)準(zhǔn)賣出，超出的記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)，記錄如下：?3,+7,?8,+9,?2,0,?1,?6.當(dāng)他賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？【答案】解：總售價(jià)為：56×8+（﹣3+7﹣8+9﹣2+0﹣1﹣6）=448﹣4=444（元），444﹣400=44（元）.答：盈利44元.【解析】【分析】分別計(jì)算每一套的價(jià)格，相加即為總售價(jià)，減去成本400元即可得盈虧。【變式8-1】小明和小紅在做運(yùn)算游戲，兩人抽取的數(shù)據(jù)如圖，游戲規(guī)定：長方形表示對應(yīng)的數(shù)前是正號，圓形表示對應(yīng)的數(shù)前是負(fù)號，計(jì)算其和，結(jié)果小者為勝，請分別計(jì)算出小明與小紅最后和的結(jié)果，并說明誰獲得了勝利.【答案】解：小明：?4.5＋3.2?1.1＋1.4＝?5.6＋4.6＝?1；小紅：?8＋2?（?6）＋（?7）＝?8＋2＋6?7＝?7，∵?7＜?1，∴小紅獲勝【解析】【分析】根據(jù)題中的規(guī)定計(jì)算出兩人抽取的算式的結(jié)果，比較即可.【變式8-2】郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā)，先向南騎行2km到達(dá)A村，繼續(xù)向南騎行3km到達(dá)B村，然后向北騎行9km到C村，最后回到郵局．（1）以郵局為原點(diǎn)，以向北方向?yàn)檎较颍?個(gè)單位長度表示1km，請你在數(shù)軸上表示出A、B、C三個(gè)村莊的位置；（2）C村離A村有多遠(yuǎn)？（3）若摩托車每100km耗油3升，這趟路共耗油多少升？【答案】解：（1）依題意得，數(shù)軸為：；（2）依題意得：C點(diǎn)與A點(diǎn)的距離為：2+4=6km；（3）依題意得郵遞員騎了：2+3+9+4=18km，∴共耗油量為：18100【解析】【分析】（1）以郵局為原點(diǎn)，以向北方向?yàn)檎较蛴?cm表示1km，按此畫出數(shù)軸即可；（2）可直接算出來，也可從數(shù)軸上找出這段距離；（3）數(shù)軸上這些點(diǎn)的絕對值之和為郵遞員所行的路程，繼而求出所耗油的量．一、單選題1．計(jì)算（-5）-（+3）+（-9）-（-7）+1所得結(jié)果是（）A．-10 B．-9 C．8 D．-23【答案】B【解析】【解答】（-5）-（+3）+（-9）-（-7）+1=-5-3-9+7+1=-17+8=-9．故答案為：B．【分析】減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，把式子寫成和的形式或者化簡符號，求出式子的值.2．下列四個(gè)運(yùn)算中，結(jié)果最小的是（）A．﹣1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）【答案】A【解析】【解答】解：A、原式＝﹣1﹣2＝﹣3；B、原式＝1+2＝3；C、原式＝﹣2；D、原式＝1×（﹣12）＝﹣1∵﹣3＜﹣2＜﹣12∴在上面四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是﹣3；故答案為：A【分析】本題是對有理數(shù)的大小比較和混合運(yùn)算的法則的綜合考查，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)3．一個(gè)數(shù)加上?12等于?5，則這個(gè)數(shù)是（）A．17 B．7 C．?17 D．?7【答案】B【解析】【解答】解：-5-（-12）=-5+12=7，故答案為：B．【分析】根據(jù)一個(gè)加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)，列式并計(jì)算即可.4．下列各式的運(yùn)算結(jié)果中，錯(cuò)誤的是（）A．3B．﹣2.3﹣（﹣2.6）+（﹣0.9）＝0.6C．39.2﹣（+22.9）﹣（﹣10.1）＝26.4D．15﹣（﹣4）+（﹣9）＝10【答案】B【解析】【解答】解：A.原式=38B.原式=-2.3+2.6+（-0.9）=0.3+（-0.9）=-0.6；C.原式=39.2+（-22.9）+10.1=16.3+10.1=26.4；D.原式=15+4+（-9）=19+（-9）=10；故答案為：B．【分析】利用有理數(shù)的加法運(yùn)算法則和運(yùn)算律逐項(xiàng)判斷即可。5．某市今年1月份某一天的最高氣溫是3℃，最低氣溫是-4℃，那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高A．-7℃ B．7℃ C．-1℃ D．1℃【答案】B【解析】【分析】求最高氣溫比最低氣溫高多少度，即是求最高氣溫與最低氣溫的差，這個(gè)實(shí)際問題可轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算，列算式計(jì)算即可．【解答】3-（-4)=3+4=7℃．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．這是需要熟記的內(nèi)容6．某地今年2月10日至2月13日每天的最高氣溫與最低氣溫如下表：其中溫差最大的一天是()．日期2月10日2月11日2月12日2月13日最高氣溫4℃5℃0℃3℃最低氣溫0℃－1℃－3℃－4℃A．2月10日 B．2月11日 C．2月12日 D．2月13日【答案】D【解析】【解答】解：2月10日，溫差為：4-0=4℃，2月11日，溫差為：5-(-1)=6℃,2月12日，溫差為：0-(-3)=3℃,2月13日，溫差為：3-(-4)=7℃,因?yàn)?最大，所以溫差最大的是2月13日，故答案為：D．【分析】有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；利用最高氣溫與最低氣溫的差值即溫差，求出每天的溫差，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法比較即可．7．若|a|=3，|b|=5，a與b異號，則|a-b|的值為（）A．2 B．-2 C．8 D．2或8【答案】C【解析】【解答】∵|a|=3，|b|=5，∴a=±3，b=±5，∵a、b異號，∴當(dāng)a=3時(shí)，b=-5，此時(shí)原式=|3-（-5）|=|8|=8；當(dāng)a=-3時(shí)，b=5，此時(shí)原式=|-3-5|=|-8|=8．故答案為：C．【分析】先根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)a、b異號討論a、b的值，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算．二、填空題8．某天銀川市的最低溫度是﹣2℃，最高溫度是13℃，這一天的溫差是℃．【答案】15【解析】【解答】解：13﹣（﹣2）=13+2=15℃．故答案為：15．【分析】用最高溫度減去最低溫度，然后根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．9．計(jì)算：3?4=．【答案】﹣1【解析】【解答】解：3﹣4=3+（﹣4）=﹣1．故答案為﹣1．【分析】掌握有理數(shù)的減法法則是計(jì)算的關(guān)鍵.10．小明和小聰坐公交從學(xué)校去體育館參加運(yùn)動(dòng)會，他們從學(xué)校門口的公交車站上車，上車后發(fā)現(xiàn)包括他們倆共13人，經(jīng)過2個(gè)站點(diǎn)小明觀察到上下車情況如下（記上車為正，下車為負(fù)）：A（+4，-2），B（+6，-5）.經(jīng)過A，B這兩站點(diǎn)后，車上還有人.【答案】16【解析】【解答】解：經(jīng)過A，B這兩站點(diǎn)后，車上還有13+4-2+6-5=16；故答案為16.【分析】運(yùn)用有理數(shù)的加減進(jìn)行計(jì)算即可.11．若a＜0，b＜0，|a|＜|b|，則a﹣b0．【答案】＞【解析】【解答】解：∵a＜0，b＜0，|a|＜|b|∴a﹣b＞0．【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合絕對值的性質(zhì)確定運(yùn)算符號，再比較大?。?2．按照“神舟”六號飛船環(huán)境控制與生命保障系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)，“神舟”六號飛船返回艙的溫度為21℃±4℃，則該返回艙的最低溫度為℃．【答案】17【解析】【解答】返回艙的最高溫度為：21+4=25℃；返回艙的最低溫度為：21-4=17℃；【分析】±4℃指的是比21℃高于4℃或低于4℃。三、計(jì)算題13．計(jì)算：（1）﹣0.5﹣（﹣214）+1.75﹣（+51（2）（112﹣56+12【答案】（1）解：﹣0.5﹣（﹣214）+1.75﹣（+51=（﹣12）+2=214+13=﹣2；（2）解：（112﹣56+12=2=?714．計(jì)算：(?1.5)?(+2.5)?(?0.75)+(+0.25)．【答案】(?1.5)?(+2.5)?(?0.75)+(+0.25)，=-1.5-2.5+0.75+0.25=-(1.5-2.5)+(0.75+0.25)=-4+1=-3.【解析】【分析】先根據(jù)有理數(shù)的減法法則進(jìn)行變形，再運(yùn)用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.四、解答題15．早晨6：00的氣溫為﹣4℃，到中午2：00氣溫上升了8℃，到晚上10：00氣溫又下降了9℃．晚上10：00的氣溫是多少？【答案】解：﹣4+8﹣9=﹣5℃；故晚上10：00的氣溫是﹣5℃．【解析】【分析】根據(jù)題意列出算式，再利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算計(jì)算即可．16．礦井下A，B，C三處的標(biāo)高分別是﹣37.4m，﹣129.8m，﹣71.3m，點(diǎn)A比點(diǎn)B高多少米？點(diǎn)B比C高多少米？【答案】解：則A處比B處高﹣37.4﹣（﹣129.8）=92.4（米），點(diǎn)B比C高：﹣129.8﹣（﹣71.3）=﹣58.5（米）．【解析】