浙教版九年級（上冊）數學基礎知識歸納

.../浙教版九年級上冊數學基礎知識歸納第一章反比例函數一、基礎知識定義：一般地,形如〔為常數,的函數稱為反比例函數。還可以寫成反比例函數解析式的特征：⑴等號左邊是函數,等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數〔也叫做比例系數,分母中含有自變量,且指數為1.⑵比例系數⑶自變量的取值為一切非零實數。⑷函數的取值是一切非零實數。反比例函數的圖像⑴圖像的畫法：描點法列表〔應以O為中心,沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數描點〔有小到大的順序連線〔從左到右光滑的曲線⑵反比例函數的圖像是雙曲線,〔為常數,中自變量,函數值,所以雙曲線是不經過原點,斷開的兩個分支,延伸部分逐漸靠近坐標軸,但是永遠不與坐標軸相交。⑶反比例函數的圖像是是軸對稱圖形〔對稱軸是或。⑷反比例函數〔中比例系數的幾何意義是：過雙曲線〔上任意引軸軸的垂線,所得矩形面積為。4．反比例函數性質如下表：的取值圖像所在象限函數的增減性一、三象限在每個象限內,值隨的增大而減小二、四象限在每個象限內,值隨的增大而增大5.反比例函數解析式的確定：利用待定系數法〔只需一對對應值或圖像上一個點的坐標即可求出6．"反比例關系"與"反比例函數"：成反比例的關系式不一定是反比例函數,但是反比例函數中的兩個變量必成反比例關系。7.反比例函數的應用8、比較正比例函數和反比例函數的性質正比例函數反比例函數解析式圖像直線雙曲線位置k＞0,一、三象限；k＜0,二、四象限k＞0,一、三象限k＜0,二、四象限增減性k＞0,y隨x的增大而增大k＜0,y隨x的增大而減小k＞0,在每個象限y隨x的增大而減小k＜0,在每個象限y隨x的增大而增大第二章、二次函數1.定義：一般地,如果是常數,,那么叫做的二次函數.2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當時,開口向上；當時,開口向下；相等,拋物線的開口大小、形狀相同.開口越小,絕對值越大。②平行于軸〔或重合的直線記作.特別地,軸記作直線.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下〔軸〔0,0〔軸<0,><,0><,><>3.求拋物線的頂點、對稱軸的方法〔1公式法：,∴頂點是,對稱軸是直線.〔2配方法：運用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點為<,>,對稱軸是直線.〔3運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,對稱軸與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點〔及y值相同,則對稱軸方程可以表示為：4.拋物線中,的作用〔1決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣.〔2和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：①時,對稱軸為軸；②〔即、同號時,對稱軸在軸左側；③〔即、異號時,對稱軸在軸右側.符號"左同有異"：圖像在Y軸的左邊,與的符號相同。〔3的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時,,∴拋物線與軸有且只有一個交點〔0,：①,拋物線經過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中,當結論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側,則5、用待定系數法求二次函數的解析式〔1一般式：.已知圖像上三點或三對、的值,通常選擇一般式.〔2頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸,通常選擇頂點式.〔3交點式：已知圖像與軸的交點坐標、,通常選用交點式：.6、直線與拋物線的交點〔1軸與拋物線得交點為<0,>.〔2拋物線與軸的交點二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、,是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點<>拋物線與軸相交；②有一個交點〔頂點在軸上<>拋物線與軸相切；③沒有交點<>拋物線與軸相離.〔3平行于軸的直線與拋物線的交點同〔2一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時,兩交點的縱坐標相等,設縱坐標為,則橫坐標是的兩個實數根.〔4一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點,由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.〔5拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為,由于、是方程的兩個根,故7、二次函數的一般式<>化成頂點式,如果自變量的取值范圍是全體實數,那么函數在頂點處取得最大值〔或最小值．即當時,函數有最小值,并且當,；當時,函數有最大值,并且當,．如果自變量的取值范圍是,如果頂點在自變量的取值范圍內,則當,,如果頂點不在此范圍內,則需考慮函數在自變量的取值范圍內的增減性；如果在此范圍內隨的增大而增大,則當時,,當時,；如果在此范圍內隨的增大而減小,則當時,,當時,．8、關于幾個等價的命題：〔1二次函數的值恒大于零拋物線在x軸上方a>0,<02二次函數的值恒小于零拋物線在x軸下方a<0,<09、二次函數的性質二次函數的性質函數二次函數圖像a>0a<0yy性質〔1拋物線開口向上,并向上無限延伸；〔2對稱軸是x=,頂點坐標是〔,；〔3在對稱軸的左側,即當x<時,y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側,即當x>時,y隨x的增大而增大,簡記左減右增；〔4拋物線有最低點,當x=時,y有最小值,〔1拋物線開口向下,并向下無限延伸；〔2對稱軸是x=,頂點坐標是〔,；〔3在對稱軸的左側,即當x<時,y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側,即當x>時,y隨x的增大而減小,簡記左增右減；〔4拋物線有最高點,當x=時,y有最大值,10平移的規(guī)律：1一般地,拋物線與的形狀相同,位置不同.平移法則：左加右減、上加下減。二次函數圖象的平移①將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點坐標；②保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下：2>、二次函數一般是平移規(guī)律11、二次函數的對稱性關于軸對稱關于軸對稱后,得到的解析式是；關于軸對稱后,得到的解析式是；關于軸對稱關于軸對稱后,得到的解析式是；關于軸對稱后,得到的解析式是；關于原點對稱關于原點對稱后,得到的解析式是；關于原點對稱后,得到的解析式是關于頂點對稱關于頂點對稱后,得到的解析式是；關于頂點對稱后,得到的解析式是．關于點對稱關于點對稱后,得到的解析式是根據對稱的性質,顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時,可以依據題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習慣上是先確定原拋物線〔或表達式已知的拋物線的頂點坐標及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達式．二次函數的旋轉第三章、圓一、圓的概念1、圓的定義：線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周,另一個端點A所形成的封閉曲線,叫做圓．點O叫做圓心,線段OP叫做半徑。2、弧：圓上任意兩點間部分叫做圓弧,簡稱弧。優(yōu)弧、劣弧以及表示方法。3、弦,弦心距,圓心角,圓周角,二、圓的性質1、旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形,繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；2、圓是中心對稱圖形,對稱中心是圓心．性質：在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩個弦心距中有一對量相等,那么它們所對應的其余各對量也分別相等。3、軸對稱：圓是軸對稱圖形,經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．三、點與圓的位置關系1、點在圓內點在圓內；2、點在圓上點在圓上；3、點在圓外點在圓四、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：〔1平分弦〔不是直徑的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧；〔2弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條??；〔3平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理,簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結論,即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中,∵∥∴弧弧五、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個結論中,只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結論,即：①；②；③；④弧弧六、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等?。患矗涸凇阎?∵、都是所對的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。即：在⊙中,∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。即：在△中,∵∴△是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。七、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補,外角等于它的內對角。即：在⊙中,∵四邊形是內接四邊形∴八、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：〔1弧長公式：；〔2扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積2、圓柱：〔1圓柱側面展開圖=〔2圓柱的體積：〔2圓錐側面展開圖〔1=〔2圓錐的體積：第四章圖形的相似考點一、比例線段〔3分1、比例線段的相關概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是,或寫成a：b=m：n在兩條線段的比a：b中,a叫做比的前項,b叫做比的后項。在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項,線段a,d叫做比例外項,線段b,c叫做比例內項,線段的d叫做a,b,c的第四比例項。如果作為比例內項的是兩條相同的線段,即或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項。2、比例的性質〔1基本性質①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c〔2更比性質〔交換比例的內項或外項〔交換內項〔交換外項〔同時交換內項和外項〔3反比性質〔交換比的前項、后項：〔4合比性質：〔5等比性質：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC,BC〔AC>BC,并且使AC是AB和BC的比例中項,叫做把線段AB黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,其中AC=AB0.618AB考點二、相似三角形〔3~8分1、相似三角形的概念對應角相等,對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號"∽"來表示,讀作"相似于"。相似三角形對應邊的比叫做相似比〔或相似系數。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊〔或兩邊的延長線相交,所構成的三角形與原三角形相似。用數學語言表述如下：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC相似三角形的等價關系：〔1反身性：對于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC；〔2對稱性：若△ABC∽△A’B’C’,則△A’B’C’∽△ABC〔3傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,則△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的判定〔1三角形相似的判定方法①定義法：對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形相似②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊〔或兩邊的延長線相交,所構成的三角形與原三角形相似③判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似,可簡述為兩角對應相等,兩三角形相似。④判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似,可簡述為兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似。⑤判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似,可簡述為三邊對應成比例,兩三角形相似〔2直角三角形相似的判定方法①以上各種判定方法均適用②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。4、相似三角形的性質〔1相似三角形的對應角相等,對應邊成比例〔2相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比〔3相似三角形周長的比等于相似比〔4相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、相似多邊形〔1如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等,對應邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。