拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生演示文稿

拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共40頁(yè)。一，拓?fù)鋵W(xué)的萌芽階段

拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，形指一個(gè)圖形本身的性質(zhì)，勢(shì)指一個(gè)圖形與其子圖形相對(duì)的性質(zhì)是萊布尼茨1679年提出的名詞。是近代發(fā)展起來的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。在數(shù)學(xué)上，關(guān)于“哥尼斯堡七橋問題”、“多面體的歐拉定理”、“四色問題”等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題。

前進(jìn)當(dāng)前2頁(yè)，總共40頁(yè)。哥尼斯堡七橋問題

哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置？

返回當(dāng)前3頁(yè)，總共40頁(yè)。多面體的歐拉定理

這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

返回當(dāng)前4頁(yè)，總共40頁(yè)。四色問題

英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色?！?/p>

1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。

返回當(dāng)前5頁(yè)，總共40頁(yè)。

上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性的分支。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。當(dāng)前6頁(yè)，總共40頁(yè)。

連續(xù)性和離散性是自然界與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在的。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動(dòng)作用。拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應(yīng)用。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，它是從圖論演變過來的。拓?fù)鋵W(xué)將實(shí)體抽象成與其大小、形狀無關(guān)的點(diǎn)，將連接實(shí)體的線路抽象成線，進(jìn)而研究點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫ㄟ^結(jié)點(diǎn)與通信線路

當(dāng)前7頁(yè)，總共40頁(yè)。

之間的幾何關(guān)系來表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)實(shí)體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。拓?fù)湓O(shè)計(jì)是建設(shè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的第一步，也是實(shí)現(xiàn)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的基礎(chǔ)，它對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能、可靠性與通信代價(jià)有很大影響。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲饕侵竿ㄐ抛泳W(wǎng)的拓?fù)錁?gòu)型。當(dāng)前8頁(yè)，總共40頁(yè)。

組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓?fù)鋵W(xué)問題的，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計(jì)算的方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊栴}，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠(yuǎn)，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，當(dāng)前9頁(yè)，總共40頁(yè)。二，拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展階段十九世紀(jì)中期，黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。

當(dāng)前10頁(yè)，總共40頁(yè)。

在點(diǎn)集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓?fù)涓拍?，?dāng)前11頁(yè)，總共40頁(yè)。

二十世紀(jì)以來，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問題都可以應(yīng)用集合來論述。因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)前12頁(yè)，總共40頁(yè)。

拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，

實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義推動(dòng)G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，得出許多拓?fù)涓拍?，如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點(diǎn)集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對(duì)象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。這是萌芽階段。當(dāng)前13頁(yè)，總共40頁(yè)。

最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在1906年引進(jìn)了度量空間的概念。

F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓?fù)淇臻g，標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。

L.歐拉1736年解決了七橋問題，隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。當(dāng)前14頁(yè)，總共40頁(yè)。

經(jīng)過過20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟，成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學(xué)研究的共同基礎(chǔ)。從其方法和結(jié)果對(duì)于數(shù)學(xué)的影響看，緊拓?fù)淇臻g和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓?fù)鋵W(xué)晚近的發(fā)展可見一般拓?fù)鋵W(xué)。當(dāng)前15頁(yè)，總共40頁(yè)。歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，例如，一直是拓?fù)鋵W(xué)的重要部分，已發(fā)展成一般拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)交匯的領(lǐng)域，也可看作幾何拓?fù)鋵W(xué)的一部分。

50年代以來，即問兩個(gè)映射，以R.H.賓為代表的美國(guó)學(xué)派的工作加深了對(duì)流形的認(rèn)識(shí)，是問兩個(gè)給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發(fā)揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的研究，習(xí)慣上也看成一般拓?fù)鋵W(xué)的分支。當(dāng)前16頁(yè)，總共40頁(yè)。

L.E.J.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法，許多重要的幾何現(xiàn)象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進(jìn)了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開創(chuàng)了不動(dòng)點(diǎn)理論。他使組合拓?fù)鋵W(xué)在概念精確、論證嚴(yán)密方面達(dá)到了應(yīng)有的標(biāo)準(zhǔn)，成為引人矚目的學(xué)科。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃浴Ｈ邕B通性、緊性），當(dāng)前17頁(yè)，總共40頁(yè)。

隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起，

1925年左右A.E.諾特提議把組合拓?fù)鋵W(xué)建立在群論的基礎(chǔ)上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓?fù)鋯栴}的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。如維數(shù)、歐拉數(shù)，

S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結(jié)了當(dāng)時(shí)的同調(diào)論，后寫成《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》(1952)，對(duì)于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的傳播、應(yīng)用和進(jìn)一步發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。

當(dāng)前18頁(yè)，總共40頁(yè)。

他們把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的基本精神概括為：把拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過計(jì)算來求解。同調(diào)群，以及在30年代引進(jìn)的上同調(diào)環(huán)，都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過渡（見同調(diào)論）。直到今天，三角形與圓形同胚；而直線與圓周不同胚，同調(diào)論（包括上同調(diào)）所提供的不變量仍是拓?fù)鋵W(xué)中最易于計(jì)算的，因而也最常用的。不必加以區(qū)別。當(dāng)前19頁(yè)，總共40頁(yè)。

同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，同它的逆映射f:B→A都是連續(xù)的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓?fù)涞酱鷶?shù)的另一種過渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調(diào)群更明顯，前面所說的幾何圖形的連續(xù)變形，但是極難計(jì)算。當(dāng)前20頁(yè)，總共40頁(yè)。

同倫群的計(jì)算，特別是球面的同倫群的計(jì)算問題刺激了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。

1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來的譜序列這個(gè)代數(shù)工具，最簡(jiǎn)單的例子是歐氏空間。在同倫群的計(jì)算上取得突破，為其后拓?fù)鋵W(xué)的突飛猛進(jìn)開辟了道路。當(dāng)前21頁(yè)，總共40頁(yè)。

從50年代末在代數(shù)幾何學(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)的影響下產(chǎn)生了K理論，解決了關(guān)于流形的一系列拓?fù)鋯栴}開始，出現(xiàn)了好幾種廣義同調(diào)論。它們都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過渡，就是一個(gè)廣義的幾何圖形。盡管幾何意義各不相同，如物理學(xué)中一個(gè)系統(tǒng)的所有可能的狀態(tài)組成所謂狀態(tài)空間，代數(shù)性質(zhì)卻都與同調(diào)或上同調(diào)十分相像，是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的有力武器。從理論上也弄清了，同調(diào)論（普通的和廣義的）本質(zhì)上是同倫論的一部分。當(dāng)前22頁(yè)，總共40頁(yè)。

微分拓?fù)鋵W(xué)是研究微分流形與微分映射的拓?fù)鋵W(xué)。這些性質(zhì)與長(zhǎng)度、角度無關(guān)，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨著代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和微分幾何學(xué)的進(jìn)步，以上這些例子啟示了：幾何圖形還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來研究的性質(zhì)。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的向量場(chǎng)，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調(diào)（示性類）和同倫問題聯(lián)系起來當(dāng)前23頁(yè)，總共40頁(yè)。當(dāng)前24頁(yè)，總共40頁(yè)。

上世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。

1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。當(dāng)前25頁(yè)，總共40頁(yè)。三，拓?fù)鋵W(xué)的繁榮階段

拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。現(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、實(shí)分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前26頁(yè)，總共40頁(yè)。1953年R.托姆的協(xié)邊理論(見微分拓?fù)鋵W(xué))開創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的局面，許多困難的微分拓?fù)鋯栴}被化成代數(shù)拓?fù)鋯栴}而得到解決，同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。

1956年J.W.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè)“指數(shù)”，隨后，不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，這些都顯示拓?fù)淞餍巍⑽⒎至餍我约敖橛谄溟g的分段線性流形這三個(gè)范疇有巨大的差別，微分拓?fù)鋵W(xué)也從此被公認(rèn)為一個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋵W(xué)分支。當(dāng)前27頁(yè)，總共40頁(yè)。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法──剜補(bǔ)術(shù)，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數(shù)化。當(dāng)前28頁(yè)，總共40頁(yè)。

近些年來，有關(guān)流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。突出的領(lǐng)域如流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、四維流形的分類。

80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這種種研究，通常泛稱幾何拓?fù)鋵W(xué)，以強(qiáng)調(diào)其幾何色彩，而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點(diǎn)的向量場(chǎng)。區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。

當(dāng)前29頁(yè)，總共40頁(yè)。

連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。當(dāng)前30頁(yè)，總共40頁(yè)。

拓?fù)鋵W(xué)與微分幾何學(xué)有著血緣關(guān)系，向量場(chǎng)問題考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場(chǎng)，它們?cè)诓煌膶哟紊涎芯苛餍蔚男再|(zhì)。就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。為了研究黎曼流形上的測(cè)地線，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀(jì)20年代建立了非退化臨界點(diǎn)理論，把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來，并發(fā)展成大范圍變分法。當(dāng)前31頁(yè)，總共40頁(yè)。

莫爾斯理論后來又用于拓?fù)鋵W(xué)中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K理論的基石)，并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當(dāng)?shù)恼w微分幾何學(xué)提供了合適的理論框架，也從中獲取了強(qiáng)大的動(dòng)力和豐富的課題。當(dāng)前32頁(yè)，總共40頁(yè)。MG.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，陳省身在40年代引進(jìn)了“陳示性類”，就不但對(duì)微分幾何學(xué)影響深遠(yuǎn)，隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間）連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線。對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，纖維叢理論和聯(lián)絡(luò)論一起為理論物理學(xué)中楊－米爾斯規(guī)范場(chǎng)論（見楊－米爾斯理論）提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架，什么是曲線？猶如20世紀(jì)初黎曼幾何學(xué)對(duì)于A.愛因斯坦廣義相對(duì)論的作用。規(guī)范場(chǎng)的研究又促進(jìn)了四維的微分拓?fù)鋵W(xué)出人意料的進(jìn)展。當(dāng)前33頁(yè)，總共40頁(yè)。

拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于分析學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，需要研究各式各樣的非線性現(xiàn)象，分析學(xué)更多地求助于拓?fù)鋵W(xué)。要問一個(gè)結(jié)能否解開（即能否變形成平放的圓圈），

3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。后者以及前述的臨界點(diǎn)理論，紐結(jié)問題,空間中一條自身不相交的封閉曲線，都已成為研究非線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)的工具。所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。

當(dāng)前34頁(yè)，總共40頁(yè)。

微分拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。當(dāng)前35頁(yè)，總共40頁(yè)。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動(dòng)力系統(tǒng)的理論，要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。

M.F.阿蒂亞等人60年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來，是分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合的范例?，F(xiàn)代泛函分析的算子代數(shù)已與K理論、指標(biāo)理論、葉狀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在多復(fù)變函數(shù)論方面，來自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。當(dāng)前36頁(yè)，總共40頁(yè)。

撲學(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)