九年級數(shù)學(xué)下冊 1.6 利用三角函數(shù)測高 教案 新版北師大版

PAGE1.6利用三角函數(shù)測高一、教學(xué)目標(biāo)能根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)活動方案，能綜合運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問題二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實(shí)際問題四、教學(xué)難點(diǎn)能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實(shí)際問題五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課數(shù)學(xué)課上，我們用直尺測量長度，用量角器測量角度.生活中，我們是如何測量長度和角度的呢？測量長度可以用皮尺或卷尺，測量傾斜角可以用測傾器.簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成.（如圖）測傾器使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：1、把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置．2、轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M，記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù)．根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出目標(biāo)M的仰角或俯角嗎？說說你的理由.（二）講授新課活動一：測量傾斜角（1）.把測角儀的支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置.（2）.轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直經(jīng)對準(zhǔn)較高目標(biāo)M，記下此時(shí)鉛垂線指的度數(shù).那么這個(gè)度數(shù)就是較高目標(biāo)M的仰角.問題1、它的工作原理是怎樣的？如圖，要測點(diǎn)M的仰角，我們將支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置.我們轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M，此時(shí)鉛垂線指向一個(gè)度數(shù).即∠BCA的度數(shù).根據(jù)圖形我們不難發(fā)現(xiàn)∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根據(jù)同角的余角相等，得∠BCA＝∠MCE.因此讀出∠BCA的度數(shù)，也就讀出了仰角∠MCE的度數(shù).問題2、如何用測角儀測量一個(gè)低處物體的俯角呢?和測量仰角的步驟是一樣的，只不過測量俯角時(shí)，轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準(zhǔn)低處的目標(biāo)，記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù)，同樣根據(jù)“同角的余角相等”，鉛垂線所指的度數(shù)就是低處的俯角.活動二：測量底部可以到達(dá)的物體的高度.“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與被測物體底部之間的距離.要測旗桿MN的高度，可按下列步驟進(jìn)行：(如下圖)1.在測點(diǎn)A處安置測傾器(即測角儀)，測得M的仰角∠MCE=α.2.量出測點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN＝l.3.量出測傾器(即測角儀)的高度AC＝a(即頂線PQ成水平位置時(shí)，它與地面的距離).根據(jù)測量數(shù)據(jù)，就能求出物體MN的高度.在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME=tana·EC＝l·tanα.又因?yàn)镹E＝AC＝a，所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a.活動三：測量底部不可以到達(dá)的物體的高度.所為“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點(diǎn)與被測物體的底部之間的距離.例如測量一個(gè)山峰的高度.可按下面的步驟進(jìn)行(如圖所示)：在測點(diǎn)A處安置測角儀，測得此時(shí)物體MN的頂端M的仰角∠MCE＝α.2.在測點(diǎn)A與物體之間的B處安置測角儀(A、B與N都在同一條直線上)，此時(shí)測得M的仰角∠MDE=β.3.量出測角儀的高度AC＝BD＝a，以及測點(diǎn)A，B之間的距離AB=b根據(jù)測量的AB的長度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系.即可求出MN的高度。探究歸納在Rt△MEC中，∠MCE＝α，則tanα＝，EC=；在Rt△MED中，∠MDE＝β則tanβ＝，ED＝；根據(jù)CD＝AB＝b，且CD＝EC-ED=b.所以-=b,ME=MN=+a即為（三）重難點(diǎn)精講如圖，某中學(xué)在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗．經(jīng)測量，得到大門的高度是５m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測得主樓頂部的仰角是30°，而當(dāng)時(shí)側(cè)傾器離地面1.4m,求學(xué)校主樓的高度。(精確到0.01m)解：如圖，作EM垂直CD于M點(diǎn),根據(jù)題意，可知EB=1.4m，∠DEM=30°,BC=EM=30m,CM=BE=1.4m在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577=17.32(m)CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m)（四）歸納小結(jié)本節(jié)課同學(xué)們在各個(gè)小組內(nèi)都能積極地投入到方案的設(shè)計(jì)活動中，想辦法.獻(xiàn)計(jì)策，用直角三角形的邊角關(guān)系的知識解釋設(shè)計(jì)方案的可行之處.相信同學(xué)們在下節(jié)課的具體活動中會更加積極地參與到其中.（五）隨堂檢測1．如圖，山頂有一座電視塔，在地面上一點(diǎn)A處測得塔頂B處的仰角α＝60°，在塔底C處測得A點(diǎn)俯角β＝45°，已知塔高60米，則山高CD等于()A．30(1＋eq\r(3))米B．30(eq\r(3)－1)米C．30米D．(30eq\r(3)＋1)米2．如圖，從熱氣球C處測得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別是30°，45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是()A．200米B．200eq\r(3)米C．220eq\r(3)米D．100(eq\r(3)＋1)米,第5題圖),第6題圖)3.如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角α為60°，又從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角β為30°，若旗桿底點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，則矮建筑物的高CD為()A．20米B．10eq\r(3)米C．15eq\r(3)米D．5eq\r(6)米4．“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船與飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機(jī)觀測得在點(diǎn)A俯角30°方向的F點(diǎn)處有疑似飛機(jī)殘骸的物體(該物體為靜止)．為了便于觀察，飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測得點(diǎn)F在點(diǎn)B俯角為45°的方向上，請你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)(點(diǎn)A，B，C在同一直線上)，豎直高度CF約為多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：eq\r(3)≈1.7)5．在中俄“海上聯(lián)合－2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，eq\r(3)≈1.7)6．如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE，CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角∠CED＝60°，在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，求拉線CE的長(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．【參考答案】1.A2.D3.A4.解：∵在Rt△CBF中，∠CBF＝45°，∴tan45°＝eq\f(CF,BC)＝1，∴BC＝CF，設(shè)CF的長為x米，則AC＝800＋x，在Rt△ACF中，eq\f(CF,AC)＝tan∠CAF＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(x,800＋x)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝400eq\r(3)＋400≈1080(米)，所以豎直高度CF約為1080米．5.解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度，根據(jù)題意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝68°，設(shè)AD＝x，則BD＝BA＋AD＝1000＋x，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°，∴1000＋x＝eq\r(3)x·tan68°，解得：x＝eq\f(1000,\r(3)·tan68°－1)＝eq\f(1000,1.7×2.5－1)－1≈308米，∴潛艇C離開海平面的下潛深度為308米6.解：過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝eq\f(CH,AH)，∴CH＝AH·tan∠CAH＝6tan30°＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)(米)，∵DH＝1.5，∴CD＝2eq\r(3)＋1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝eq\