第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的。這一節(jié)，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望和第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

(mathematicalexpectation)本節(jié)要點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.概念的引入若統(tǒng)計(jì)100天,引例某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察。車工小趙每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義X的平均值呢？32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品?？梢缘玫竭@100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小趙不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)不一定是1.27。怎么辦？這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率的穩(wěn)定性可想到，

在求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù)。我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值。則對(duì)X作一系列觀察(試驗(yàn))，所得X的試驗(yàn)值的平均值也是隨機(jī)的。由此引入離散型r.vX的數(shù)學(xué)期望的定義如下:

對(duì)于一個(gè)離散型隨機(jī)變量，若它可能取的值是X1,X2,…,相應(yīng)的概率為p1,p2,…,

但是，如果試驗(yàn)次數(shù)很大，出現(xiàn)Xk的頻率會(huì)接近于pk，于是可期望試驗(yàn)值的平均值接近定義4.1設(shè)離散型隨機(jī)變量X有概率分布

P{X=xk}=pk,k=1,2,…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù)之和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。記為E(X)，即不絕對(duì)收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望若級(jí)數(shù)不存在。注(3)在不會(huì)產(chǎn)生混淆的情況下，可以記作EX。2.常見的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0—1分布

X服從參數(shù)為p的(0-1)分布，概率分布為則E(X)=p.證明：E(X)=0×(1-p)+1×p=p.2)二項(xiàng)分布設(shè)X~B(n,p)，其概率分布為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=np.證明：3)泊松分布

設(shè)X

服從Poisson分布，其概率分布為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=.證明：X服從幾何分布，其概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,0<p<1,證明：記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式4)幾何分布則X的期望為E(X)定義4.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X有概率密度函數(shù)f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則稱為X的數(shù)學(xué)期望。

也就是說，連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是X的取值x與概率密度f(x)的乘積在無窮區(qū)間上的積分。二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1)均勻分布其密度函數(shù)為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=(a+b)/2.證明：2)指數(shù)分布密度函數(shù)為則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1/.證明：3)正態(tài)分布則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=.證明：三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問題的提出

設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？

一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來。一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來。

使用上述方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的。

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的。定理4.1(1)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，有概率分布，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望為(2)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，有概率密度，若無窮積分絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望為

該定理的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便。

方法二：

求例4.7設(shè)隨機(jī)變量X

的概率分布為解方法一：先求出的概率分布

則有

于是

利用極限結(jié)論例4.8已知隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，求

解因X的概率密度為例4.9測(cè)量球的直徑，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間(a,b)內(nèi)，求球體積的數(shù)學(xué)期望。

解設(shè)球的直徑為X，則X服從(a,b)上的均勻分布，其概率密度為

又球的體積為，于是四、二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1)若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為

,且絕對(duì)收斂，則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為2)若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),

且絕對(duì)收斂，則Z=g(X,Y)

的數(shù)學(xué)期望為例4.10設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域D:0<x<1,0<y<2上服從均勻分布，求E(X),E(Y)和E(XY).

解已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

取g(X,Y)=X,則有

類似可得

還可以先計(jì)算X,Y的邊緣密度，再計(jì)算E(X),E(Y).五、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);2.若k,b是常數(shù)，則E(kX+b)=kE(X)+b;3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（諸Xi獨(dú)立時(shí)）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立解因注下面的計(jì)算法是錯(cuò)誤的：例4.11設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為求E(2X+3)與E(3-2).故這是因?yàn)椋粋€(gè)隨機(jī)變量與它本身決不能說是獨(dú)立的，因此，一般的例4.12把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.又由于解:設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X,

k=1,2,…,n得則服從0-1分布，并且由于先求X的概率分布有困難，引入新的隨機(jī)變量

例4.13設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，全天停止工作。一周五個(gè)工作日，若無故障，可獲利10萬元，若發(fā)生一次故障，仍可獲利5萬元，若發(fā)生兩次故障，獲利為零，若至少發(fā)生三次故障，要虧損2萬元，求一周內(nèi)的利潤(rùn)期望。解設(shè)X為一周五個(gè)工作日中機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則