數(shù)字控制器的設(shè)計方法

（優(yōu)選）數(shù)字控制器的設(shè)計方法當(dāng)前1頁，總共123頁。3．1數(shù)字控制器的設(shè)計方法分類按其設(shè)計特點分為二大類：1.模擬化設(shè)計方法一般可按以下步驟進行：第一步：用連續(xù)系統(tǒng)理論確定；第二步：用合適的離散化方法由求出；第三步：檢查系統(tǒng)性能是否滿足設(shè)計要求；第四步：將變?yōu)椴罘址匠袒驙顟B(tài)空間方程，并編寫計算機程序。需要時可運用混合仿真的方法檢查系統(tǒng)的設(shè)計與程序編制是否正確。當(dāng)前2頁，總共123頁。2.離散化設(shè)計方法

首先用適當(dāng)?shù)碾x散化方法將連續(xù)部分（如圖所示的保持器和被控對象）離散化，使整個系統(tǒng)完全變成離散系統(tǒng)，然后用離散控制系統(tǒng)的設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字控制器，最后用計算機實現(xiàn)控制功能。

當(dāng)前3頁，總共123頁。3．兩種方法的比較

模擬化設(shè)計方法可引用成熟的經(jīng)典設(shè)計理論和方法。但在“離散”處理時，系統(tǒng)的動態(tài)特性會因采樣周期的增加而改變，甚至導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。離散化設(shè)計方法運用的數(shù)學(xué)工具是Z變換與離散狀態(tài)空間分析法。這種方法是一種直接數(shù)字設(shè)計方法，不僅更具有一般性，而且穩(wěn)定性好、精度高。相對而言有時稱為精確法。需要注意的是，該法的精確性僅限于線性范圍內(nèi)以及采樣點上才成立。當(dāng)前4頁，總共123頁。3．2模擬控制器的離散化表征模擬校正裝置的重要參數(shù)是：①極點與零點的數(shù)目；②頻帶寬度與截止頻率；③DC增益；④相位裕度；⑤增益裕度、超調(diào)量、閉環(huán)頻率響應(yīng)峰值等。

在選擇模擬控制器的離散化方法時，首先必須明白對離散化控制算法有何要求，以保證模擬校正裝置的主要特性能得到保持。當(dāng)前5頁，總共123頁。模擬控制器的離散化的主要方法Z變化法帶有零階保持器的Z變換法差分變換法雙線性變換法當(dāng)前6頁，總共123頁。1.Z變化法

Z變換法就是在D(z)與D(s)之間建立的一種映射關(guān)系（），這種映射關(guān)系保證模擬控制器的脈沖響應(yīng)的采樣值與數(shù)字控制器的輸出相同。將D(s)寫成部分分式的形式：則離散化校正裝置為：當(dāng)前7頁，總共123頁。

在設(shè)計中所需要的高頻部分出現(xiàn)頻率混迭問題。為了解決這一問題,可以在上串聯(lián)一個低通濾波器，從而使轉(zhuǎn)化為新的控制器。增加采樣角頻率，使遠高于控制器的截止頻率。

Z變換的特點：1．與的脈沖響應(yīng)相同；2．如果是穩(wěn)定的，則也穩(wěn)定；3．不能保持的頻率響應(yīng)，頻譜以進行延伸；4．將的整數(shù)倍的信號，變換為Z平面上同一頻率點，所以出現(xiàn)了混迭現(xiàn)象(為采樣角頻率)；5．如果是一個復(fù)雜的傳遞函數(shù)，則其Z變換很可能無法在一般Z變換表中查到，這時需要進行部分分式展開當(dāng)前8頁，總共123頁。2.帶有零階保持器的Z變換法在原線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上串聯(lián)一個虛擬的零階保持器，再進行Z變換從而得到D(s)的離散化模型D(z)加保持器的Z變換法的特點是：(1)如果D(s)是穩(wěn)定的，D(z)則也穩(wěn)定；(2)如果D(s)是一個復(fù)雜的傳遞函數(shù)，其Z變換很可能無法在一般Z變換表中查到，這里需要進行部分分式展開；(3)由于串聯(lián)了零階保持器，D(z)不能保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。當(dāng)前9頁，總共123頁。3.差分變換法（又稱數(shù)值積分法）差分變換法將微分方程離散化為差分方程，最后求z傳遞函數(shù)。即變量的導(dǎo)數(shù)用有限差分來近似地等效，從而得到一個逼近給定微分方程的差分方程，其中最簡單的差分變換是用后向差分或前向差分代替一階導(dǎo)數(shù)。后向差分由可得或于是得出后向差分變換式：當(dāng)前10頁，總共123頁。例如：或后向差分將使頻率響應(yīng)產(chǎn)生畸變。這一點可從平面的軸在Z平面上的映射可以看出。當(dāng)時，當(dāng)前11頁，總共123頁。取的實部與虛部：于是S平面上的直線(Ω從到)映射到Z平面是一個用下式描述的圓：上式是一個圓心在處，半徑為的圓，如圖3．2(a)所示，從圖中可以看出平面軸在Z平面上的映像，除值極小情況外，均在單位圓內(nèi)。當(dāng)前12頁，總共123頁。由此可得后向差分的性質(zhì)是：(1)使用方便，而且不要求傳遞函數(shù)的因式分解；(2)一個穩(wěn)定的變換為一個穩(wěn)定的；(3)不能保持的脈沖與頻率響應(yīng)。當(dāng)前13頁，總共123頁?；蚯跋虿罘?當(dāng)時，表明其映射為截于單位圓上的一點且平行于縱軸的一條直線，如圖3.2(b)所示。由此可知，S平面jΩ的軸在Z平面上的映像除ΩT的極小值外，均在單位圓外，因此這種方法將不利于控制器的穩(wěn)定性。

當(dāng)前14頁，總共123頁。根據(jù)z變換定義:展成級數(shù)：同理：得雙線性變換公式：4.雙線性變換法當(dāng)前15頁，總共123頁。雙線性變換公式可以進行實s傳遞函數(shù)與z傳遞函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式如下：

當(dāng)前16頁，總共123頁。各種離散化方法的比較A.本茨和M.普里斯勒通過對圖3.5所示的位置隨動系統(tǒng)的模擬化設(shè)計進行研究，得出如下研究結(jié)論：(1)最好的離散化方法是雙線性變換法，該方法對低采樣頻率的結(jié)構(gòu)也很好；(2)如果增益是惟一的性能標(biāo)準(zhǔn)的話，則匹配Z變換法的效果比雙線性的效果更好一些；(3)采用頻率曲折法可以保持系統(tǒng)臨界頻率的位置，但不能保持系統(tǒng)的增益和相位。(4)如果模擬控制器中一個極點或零點的位置遠離我們所感興趣的頻率以外，則該極點或零點可以不考慮。當(dāng)前17頁，總共123頁。3.3數(shù)字PID控制3.3.1

理想微分PID控制

設(shè)系統(tǒng)的誤差為e(t)，則模擬PID控制規(guī)律為它所對應(yīng)的連續(xù)時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)為當(dāng)前18頁，總共123頁。（1）比例調(diào)節(jié)器

控制規(guī)律：根據(jù)誤差進行調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)沿著減小誤差的方向運動。誤差大則控制作用也大。比例調(diào)節(jié)器一般不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。增大KP可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度及減少穩(wěn)態(tài)誤差。但過大的KP有可能加大系統(tǒng)超調(diào)，產(chǎn)生振蕩，以至于系統(tǒng)不穩(wěn)定。

當(dāng)前19頁，總共123頁。（2）比例積分調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：積分調(diào)節(jié)的引入，可以消除或減少控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。但是積分的引人，有可能使系統(tǒng)的響應(yīng)變慢，并有可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。增加Ti即減少積分作用，有利于增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調(diào)，但系統(tǒng)靜態(tài)誤差的消除也隨之變慢。

當(dāng)前20頁，總共123頁。（3）PID調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：微分環(huán)節(jié)的加入，可以在誤差出現(xiàn)或變化瞬間，按偏差變化的趨向進行控制。它引進一個早期的修正作用，有助于增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。微分時間常數(shù)Td的增加即微分作用的增加，將有助于加速系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，使系統(tǒng)超調(diào)減少，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。但微分作用有可能放大系統(tǒng)的噪聲，減低系統(tǒng)的抗干擾能力。理想的微分器是不能物理實現(xiàn)的，必須要采用適當(dāng)?shù)姆绞浇?。?dāng)前21頁，總共123頁。PID控制器連續(xù)時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)

微分積分比例當(dāng)前22頁，總共123頁。PID模擬控制器的離散化用矩形法來計算數(shù)值積分：用后向差分來代替微分：當(dāng)前23頁，總共123頁。則離散化的PID控制規(guī)律為：上式表示的控制算法提供了執(zhí)行機構(gòu)的位置所以稱為PID位置控制算法。這種算式中有一累加項，隨著時間k的增加，累加的項次也依次增加，不利于計算機計算。另外，如果由于某種干擾因素導(dǎo)致u(k)為某一極限值時，被控對象的輸出也將作大幅度的劇烈變化，由此可能導(dǎo)致嚴(yán)重的事故。就其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所給出的只是當(dāng)前控制量的大小，與此前時刻控制量的大小卻完全不相關(guān)。為此，有必要改進上述算法。

當(dāng)前24頁，總共123頁。在很多控制系統(tǒng)中，由于執(zhí)行機構(gòu)是采用步進電機或多圈電位器進行控制的，所以，只要給出一個增量信號即可。

寫出K-1的輸出值：上兩式相減得PID增量式控制算法當(dāng)前25頁，總共123頁。當(dāng)前26頁，總共123頁。增量式PID算法與位置式PID算法的比較：

兩者本質(zhì)相同，只是前者需要使用有附加積分作用的執(zhí)行機構(gòu)。但有如下優(yōu)點：1、計算機只輸出增量，誤動作時影響小，必要時可增設(shè)邏輯保護；2、手動/自動切換時沖擊??；3、算式不需要累加，只需記住四個歷史數(shù)據(jù)，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用內(nèi)存少，計算方便，不易引起誤差累積。當(dāng)前27頁，總共123頁。數(shù)字PID控制算法程序框圖

當(dāng)前28頁，總共123頁。PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)形式兩邊求z變換，并注意到，得

當(dāng)前29頁，總共123頁。

理想微分PID控制的實際效果并不理想，從階躍響應(yīng)看，它的微分作用只能維持一個采樣周期。由于工業(yè)用執(zhí)行機構(gòu)(如氣動調(diào)節(jié)閥或電動調(diào)節(jié)機構(gòu))的動作速度限制，致使偏差大時，微分作用不能充分發(fā)揮，再加之理想微分還容易引進高頻干擾。為此，實際應(yīng)用中，幾乎所有的數(shù)字控制回路，通常都加一低通濾波器來限制高頻干擾的影響。

問題：當(dāng)前30頁，總共123頁。1、實際微分PID控制算式一通過一級低通濾波器來限制高頻干擾的影響3．3．2實際微分PID控制低通濾波器和理想微分PID算式相結(jié)合后的傳遞函數(shù)為：當(dāng)前31頁，總共123頁。若令（Kd為微分系數(shù)）則差分方程：

當(dāng)前32頁，總共123頁。2、實際微分PID控制算式之二實際微分PID算式的傳遞函數(shù)：

當(dāng)前33頁，總共123頁。利用差分變換法得出微分作用輸出差分方程為：

圖中的前置方塊主要起微分作用，所以它也稱為微分先行PID控制。當(dāng)前34頁，總共123頁。積分作用輸出差分方程為：比例作用輸出差分方程為：

位置型算式為：當(dāng)前35頁，總共123頁。同樣，也可以得出其增量式當(dāng)前36頁，總共123頁。3、實際微分PID控制算式之三–不完全微分微分環(huán)節(jié)上加一個慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前37頁，總共123頁。比例、積分和微分三個框的輸出差分方程當(dāng)前38頁，總共123頁。由圖可見，本算法是微分環(huán)節(jié)上加一個慣性環(huán)節(jié)，故也稱不完全微分PID控制它僅改變了標(biāo)準(zhǔn)PID控制器的微分部分，使得在偏差發(fā)生突變時，微分作用可比較平緩。當(dāng)前39頁，總共123頁。3.3.3標(biāo)準(zhǔn)PID控制算法的改進

在實際應(yīng)用中，數(shù)字PID控制器的控制效果有時不如模擬PID控制器。

原因：主要是因為數(shù)字調(diào)節(jié)器的控制量在一個采樣周期內(nèi)保持不變，使得在這段時間內(nèi)系統(tǒng)相當(dāng)于開環(huán)運行。其次由于計算機的數(shù)字運算以及數(shù)字量輸入輸出的時間，使得控制作用在時間上有延滯，計算機的有限字長及A／D，D／A轉(zhuǎn)換精度也給控制量帶來了誤差。辦法：充分發(fā)揮計算機運算速度快，邏輯判斷功能強，編制程序靈活等優(yōu)勢。手段：對PID算法進行了一系列改進。

當(dāng)前40頁，總共123頁。3.3.3標(biāo)準(zhǔn)PID控制算法的改進3.3.3.1積分項的改進

在PID控制中，積分作用是消除余差。1、梯形積分－－提高積分項的運算精度將矩形積分用梯形積分來代替。代價：增大存儲量和需要更多的運算時間。當(dāng)前41頁，總共123頁。2、消除積分不靈敏度采用以下措施：增加A/D轉(zhuǎn)換位數(shù)，加長運算字長，這樣可提高運算精度。當(dāng)積分項連續(xù)出現(xiàn)小于輸出精度ε的情況下，不要把它們作為“零”舍掉，而是把它們一次一次累加起來，即直到累加值Si大于ε時，再輸出Si。當(dāng)前42頁，總共123頁。3、PID算法積分飽和現(xiàn)象及其抑制圖3．12PID位置式算法的積分飽和現(xiàn)象

當(dāng)前43頁，總共123頁。過限削弱積分法

一旦控制變量進入飽和區(qū)，則程序只執(zhí)行削弱積分項的運算，而停止增大積分項的運算。如圖所示，u出現(xiàn)飽和后，在e>0階段，因為這時將增大積分項，所以停止積分運算。而在e<0階段，e為負將削弱積分項，因此執(zhí)行積分運算。

當(dāng)前44頁，總共123頁。積分分離法

當(dāng)誤差e大于某個規(guī)定的門限值時，刪去積分作用，從而使∑ei不至于過大。只有當(dāng)e較小時，才引入積分作用，以消除穩(wěn)態(tài)誤差。

當(dāng)前45頁，總共123頁。引入積分分離法后，控制量不易進入飽和區(qū)，即使進入了，也能較快退出。所以系統(tǒng)的輸出特性比標(biāo)準(zhǔn)PID控制得到了改善。與位置式算法相比，增量式PID算法沒有累加和式，因此不會由于積分項引起飽和。但是，當(dāng)給定值突變時，比例及微分項的計算值也可能引起控制量超過極限值的飽和情況，從而減慢了系統(tǒng)的動態(tài)過程?？朔霓k法之一是“積累補償法”，即將那些因受限而未能執(zhí)行的增量信息積累起來，待到一旦可能，便再補充執(zhí)行。當(dāng)前46頁，總共123頁。3.3.3.2微分項的改進

由于微分作用是在相鄰的采樣周期內(nèi)進行，因此它的強弱不僅與微分時間，放大系數(shù)有關(guān)，而且與采樣周期T也有明顯關(guān)系。當(dāng)T太小時，二次采樣之間被控參數(shù)變化一般不會太大，因而微分作用就弱。為了在T小時增加微分作用，可增加Kp或Td，但這樣一來，會使抗噪聲特性惡化，微分作用對它們又特別敏感，因此應(yīng)設(shè)法減少噪聲和數(shù)據(jù)誤差在微分項中的影響。當(dāng)前47頁，總共123頁。微分項的改進方法①偏差平均②減少計算次數(shù)——為了提高計算機使用效率③測量值微分在微分項中不考慮給定值r(k)，只對測量值y(k)(即被控量)進行微分。當(dāng)前48頁，總共123頁。

必須注意，對串級控制的副回路而言，給定值是由主回路輸出給定的，其變化一般也應(yīng)加以微分處理，因此，應(yīng)采用原微分項算式對偏差進行微分。需要指出的是，數(shù)字PID算式中的測量值微分的微分項的物理意義，與模擬PID算式中的微分項一樣，它們的輸出都與被控參數(shù)的變化率成正比。只是由于數(shù)字PID在采樣周期內(nèi)進行一次，因此這里所指的變化率實際上具有平均變化率的概念。同樣數(shù)字PID微分項具有超前作用，它與“零階保持器”具有的滯后正相反，因此可以互相補償，以改善控制性能。

當(dāng)前49頁，總共123頁。3．3．3．3干擾的抑制數(shù)字PID控制器的輸入量是系統(tǒng)的給定值r和系統(tǒng)實際輸出y的偏差值e。在進入正常調(diào)節(jié)過程后，由于e值不大，相對而言，干擾對控制器的影響也就很大。為了消除干擾的影響，除了在硬件上采取相應(yīng)的措施以外，在控制算法上也應(yīng)采取一定措施。四點中心差分法的思想是：不直接采用誤差e(i)，而是用過去和現(xiàn)在四個采樣時刻的誤差平均值作為基準(zhǔn)：當(dāng)前50頁，總共123頁。通過加權(quán)求和，構(gòu)成近似微分

修正后的PID位置算法：修正后的PID增量式算法：當(dāng)前51頁，總共123頁。3．3．4數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定

PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計一般來說可以分成兩個部分，首先是選擇調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，并盡可能地消除穩(wěn)態(tài)誤差。一旦調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)確定下來，調(diào)節(jié)器設(shè)計的下一步任務(wù)就歸結(jié)為參數(shù)整定。

3．3．4．1PID調(diào)節(jié)器參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響⑴放大倍數(shù)Kp對系統(tǒng)性能的影響

①對系統(tǒng)的動態(tài)性能：加大，將使系統(tǒng)動作靈敏，響應(yīng)速度加快，偏大，衰減振蕩次數(shù)增多，調(diào)節(jié)時間變長。當(dāng)太小又會使系統(tǒng)的響應(yīng)速度緩慢。Kp的選擇以輸出響應(yīng)產(chǎn)生4：1衰減過程為宜。②對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：在系統(tǒng)的穩(wěn)定性的前提下,加大可以減少余差(又稱殘差或穩(wěn)態(tài)誤差)，但靠它不能消除余差。因此的整定主要依據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)性能。當(dāng)前52頁，總共123頁。⑵積分時間Ti對系統(tǒng)性能的影響①對系統(tǒng)的動態(tài)性能：積分時間通常影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。太小，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，偏小振蕩次數(shù)較多；太大，系統(tǒng)的動態(tài)性能變差；當(dāng)較適合時，系統(tǒng)的過渡過程特性比較理想。②對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：積分時間的作用，有助于消除系統(tǒng)余差，提高了系統(tǒng)控制精度，但若了太大，積分作用太弱，則不能減少余差。⑶微分時間Td對系統(tǒng)性能的影響

①對系統(tǒng)的動態(tài)性能：微分時間常數(shù)Td的增加即微分作用的增加可以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，如超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時間縮短，允許加大比例控制，使穩(wěn)態(tài)誤差(余差)減少，提高控制精度。但微分作用有可能放大系統(tǒng)的噪聲，減低系統(tǒng)的抗干擾能力。當(dāng)前53頁，總共123頁。②對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：微分環(huán)節(jié)的加入，可以在誤差出現(xiàn)或變化瞬間，按偏差變化的趨向進行控制。它引進一個早期的修正作用，有助于增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)前54頁，總共123頁。采樣周期的選取應(yīng)與PID參數(shù)的整定綜合起來考慮，選取采樣周期時，一般應(yīng)考慮以下因素：(1)擾動信號(2)對象的動態(tài)特性(3)計算機所承擔(dān)的工作量(4)對象所要求的控制品質(zhì)(5)與計算機及A／D、D／A轉(zhuǎn)換器性能有關(guān)(6)考慮執(zhí)行機構(gòu)的響應(yīng)速度。3．3．4．2采樣周期的選定當(dāng)前55頁，總共123頁。當(dāng)前56頁，總共123頁。3．3．4．3實驗確定法整定PID參數(shù)(1)試湊法①首先只整定比例系數(shù)，將由小變大，使系統(tǒng)響應(yīng)曲線略有超調(diào)②若在比例調(diào)節(jié)基礎(chǔ)上，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差太大，則必須加入積分環(huán)節(jié)。③若使用PI調(diào)節(jié)器消除了穩(wěn)態(tài)誤差，但系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)經(jīng)反復(fù)調(diào)整后仍不能令人滿意，則可以加入微分環(huán)節(jié)，構(gòu)成PID調(diào)節(jié)器。

當(dāng)前57頁，總共123頁。(2)PID參數(shù)的工程整定法①臨界比例法②階躍曲線法當(dāng)前58頁，總共123頁。3．3．4．4數(shù)字PID的變參數(shù)整定(1)按照負荷預(yù)先設(shè)置整定參數(shù)方法(2)時序控制按一定時間順序采用相應(yīng)的Kc、Td、Ti參數(shù)。(3)人工模型模擬現(xiàn)場操作工人的操作方法，根據(jù)經(jīng)驗決定各種情況下的參數(shù)值，并編入程序中，然后在執(zhí)行程序時，自動改變這些參數(shù)和給定值。當(dāng)前59頁，總共123頁。舉例：1、對于一階慣性對象，負荷變化不大，工藝要求不變，可采用P控制，例如：壓力、液位、串級副付回路等。2、對于一階慣性加純滯后對象，負荷變化不大，要求控制精度較高的場合，可采用PI控制，例如用于壓力、流量、液位控制。3、對于純滯后時間較大，控制性能要求高的場合，可采用PID控制，如過熱蒸汽溫度控制，成分控制等。4、對于二階以上慣性加純滯后對象，負荷變化較大，控制性能要求較高時，應(yīng)采用串級、前饋-反饋，前饋-串級或純滯后補償?shù)葟?fù)雜控制。當(dāng)前60頁，總共123頁。3．3．4．5數(shù)字PID參數(shù)的最優(yōu)整定(1)性能指標(biāo)的選擇

(2)尋優(yōu)方法多參數(shù)的尋優(yōu)已有不少成熟的算法，如單純型加速法、梯度法等。由于單純型加速法具有控制參數(shù)收斂快，計算工作量小等優(yōu)點，因此被普遍應(yīng)用。當(dāng)前61頁，總共123頁。3．4最少拍數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計

若已知廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，并且根據(jù)對控制系統(tǒng)的性能的要求確定Φ(z)，則數(shù)字控制器D(z)也就確定下來了。

當(dāng)前62頁，總共123頁。

數(shù)字控制器的直接數(shù)字設(shè)計方法，就是根據(jù)控制系統(tǒng)的性能要求，應(yīng)用離散控制理論，直接設(shè)計數(shù)字控制系統(tǒng)。直接設(shè)計法的步驟為：1．根據(jù)對控制系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求和其它的約束條件，確定閉環(huán)系統(tǒng)脈沖函數(shù)。2．根據(jù)D(z)計算公式，確定數(shù)字控制器。3．編程實現(xiàn)。

當(dāng)前63頁，總共123頁。最少拍控制系統(tǒng)是在最少的幾個采樣周期內(nèi)達到在采樣時刻輸入輸出無誤差的系統(tǒng)。直接數(shù)字設(shè)計法設(shè)計最少拍控制系統(tǒng)，要考慮以下幾點。

(1)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求：對于特定的參考輸入信號，到達穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)在采樣時刻精確實現(xiàn)對輸入的跟蹤。(2)最快速達到穩(wěn)態(tài)的要求

。(3)D(z)應(yīng)是物理可實現(xiàn)的要求。(4)閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的要求。

當(dāng)前64頁，總共123頁。

①階躍信號

②斜坡信號

③加速度信號

一般表達式：其中，A(z)中不含z=1的因子。

(1)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求當(dāng)前65頁，總共123頁。系統(tǒng)的誤差信號應(yīng)滿足稱1-Φ(z)為誤差脈沖傳遞函數(shù)。根據(jù)z變換的終值定理。

要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)為零，則要求1-Ф(z)中必須含有(1-Z-1)的至少m次因子，即：其中，F(xiàn)1(z)為一個待定的z-1多項式。(3.79)當(dāng)前66頁，總共123頁。(2)最快速達到穩(wěn)態(tài)的要求

因為A(z)和F1(z)都是z-1多項式，所以E(z)是z-1的有限階多項式。它的次數(shù)等于E(z)趨于零的拍數(shù)。為使E(z)盡快為零，我們希望這個多項式的次數(shù)為最小。使式3.82種右邊第一個因子等于1，即p=m，設(shè)計最少拍控制系統(tǒng)的一般公式：

若要使設(shè)計的數(shù)字控制器最簡單，且E(z)以最少的拍數(shù)達到零，可選F1(z)＝1。但選F1(z)＝1，可能使系統(tǒng)不能滿足D(z)物理可實現(xiàn)和穩(wěn)定性的要求，我們根據(jù)再進一步分析其它性能要求來確定是否可以實現(xiàn)。

將式(3.78)、式(3.81)代人式(3.79)，可得(3.82)(3.83)當(dāng)前67頁，總共123頁。(3)D(z)物理可實現(xiàn)的要求

所謂數(shù)字控制器D(z)物理可實現(xiàn)問題，是要求數(shù)字控制器算法中不允許出現(xiàn)對未來時刻的信息的要求。這是因為未來信息尚屬未知，不能用來計算控制量。具體說來，就是D(z)的無窮級數(shù)展開式中不能出現(xiàn)z的正冪項。

設(shè)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為若我們希望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)為當(dāng)前68頁，總共123頁。其中：

則代入式可求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)：

顯然，r<l若，則D(z)的無窮級數(shù)展開式將出現(xiàn)z的正冪項。這意味著在計算u(k)時需要e(k+1)，e(k+2)，…等信息，這是不可能的。因為，這時的D(z)不是物理可實現(xiàn)的。為此，則要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)應(yīng)具有形式：當(dāng)前69頁，總共123頁。(4)閉環(huán)穩(wěn)定性要求G(z)若有單位圓上或單位圓外的極點，并且該極點沒有與D(z)或1-Ф(z)的零點對消的話，則它也將成為Ф(z)的極點，從而造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果我們利用D(z)的零點去對消G(z)不穩(wěn)定的極點，雖然從理論上來說可以得到一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，但是這種穩(wěn)定是建立在零極點完全對消的基礎(chǔ)上的。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)產(chǎn)生漂移，或者辨識的對象有誤差時，這種零極點的對消不可能準(zhǔn)確實現(xiàn)，從而引起閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，我們只能利用1－Ф(z)的零點來對消這些極點?？梢詫⑹?.74重寫成：當(dāng)前70頁，總共123頁。另外，由可得（3.89)當(dāng)前71頁，總共123頁。若G(z)有位于單位圓外或單位圓上的零點，則數(shù)字控制器輸出序列{u(k)}將隨著時間的推移而趨向于無窮大，造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。為克服這一現(xiàn)象，Ф(z)的零點必須包含G(z)的所有在單位圓外或單位圓上的零點?？傊?，為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，1－Ф(z)的零點必須包含有G(z)的不穩(wěn)定極點，而Ф(z)零點必須包含有G(z)的不穩(wěn)定零點。設(shè)當(dāng)前72頁，總共123頁。G’(z)是G(z)的不包含單位圓外或單位圓上的零極點部分。上式表示G(z)有Z1，Z2，Z3，…，Zw等w個單位圓外或單位圓上的零點，P1，P2，P3，…，Pν等ν單位圓外或單位圓上的極點。為保證閉環(huán)穩(wěn)定性，Ф(z)和1－Ф(z)必須滿足：F2(z)是z-1的有限階多項式，可以利用它使Ф(z)滿足其它的要求。

F3(z)是z-1的有限階多項式，可以利用它使1－Ф(z)滿足其它的要求。

(3.91)(3.92)當(dāng)前73頁，總共123頁。應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)G(z)有z＝1的極點時，相對于該極點，根據(jù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求導(dǎo)致的式(3.83)與根據(jù)閉環(huán)穩(wěn)定性要求導(dǎo)致的式(3.92)是一致的。為使系統(tǒng)具有最少拍響應(yīng)，可以將這兩項合并。換句話說，若P1，P2，P3，…，Pν中有k個為1時，則將式3.92中對應(yīng)的(1-z-1)k與式中的(1-z-1)m合并為(1-z-1)j，且取j=max(k，m)。當(dāng)前74頁，總共123頁。此時式(3.92)變?yōu)楫?dāng)k>m時：當(dāng)m>k時：當(dāng)前75頁，總共123頁。綜合以上4個對Ф(z)的要求，總結(jié)出最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計步驟如下：1．求出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)前76頁，總共123頁。2.設(shè)G(z)中有個采樣周期的純滯后，w個單位圓外或單位圓上的零點{Z1，Z2，Z3，…，Zw}，ν個單位圓外或單位圓上的極點{P1，P2，P3，…，Pν}。即

設(shè)輸入信號為：

其中，G’(z)沒有單位圓外或單位圓上的零、極點。當(dāng)前77頁，總共123頁。3．綜合考慮前面討論的對Ф(z)的4個要求，令：當(dāng)前78頁，總共123頁。若G(z)有k個z=1的極點，則可將相應(yīng)的(1-z-1)k由式3.94中的中提出，并與(1-z-1)m合并為一項(1-z-1)j，其中j=max(k，m)。此時式3.97變?yōu)椋河忠驗椋寒?dāng)前79頁，總共123頁。則有：由此可得如下一組方程：當(dāng)前80頁，總共123頁。那么這組方程共有j+v-k個方程，由這些方程可確定Ф(z)中的待定的多項式Ф0(z)的前j+v-k個系數(shù)，由此多項式最少應(yīng)為j+v-k-1階。即有：4．Ф(z)的階次為(l+w+p)、1-Ф(z)的階次為(j+ν-k+q),因Ф(z)與1-Ф(z)的階次相同，應(yīng)有：其中p，q待定。為滿足上式，則有：

當(dāng)前81頁，總共123頁。5．根據(jù)下式同次冪系數(shù)相等的原則?？傻贸鰝€方程，由之確定Ф0(z)和F(z)中的未知系數(shù)和6．得出最少拍數(shù)字控制器當(dāng)前82頁，總共123頁。例3．1設(shè)計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2．21所示。其中

已知：采樣周期T=0.025，輸人為斜坡信號。試設(shè)計最少拍控制系統(tǒng)D(z)。

系統(tǒng)廣義對象傳遞函數(shù)為當(dāng)前83頁，總共123頁。其脈沖傳遞函數(shù):G(z)的極點為1(單位圓上)和0.368(單位圓內(nèi))；零點為-0.718(單位圓內(nèi))。其中只有極點1在單位圓上，故w=0，k=ν=1。對于斜坡信號有，即m=2。由于穩(wěn)態(tài)誤差為零，要求必須有因子，而穩(wěn)定性要求必須有因子，前者顯然已包含了后者，故可取j=2。另外，由G(z)可得出。從而有，。當(dāng)前84頁，總共123頁。根據(jù)以上分析，設(shè):對單位斜坡輸入，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出序列為:當(dāng)前85頁，總共123頁。數(shù)字控制器的輸出序列(即控制變量)為:當(dāng)前86頁，總共123頁。例3．4考慮如圖2．21所示的系統(tǒng)，設(shè)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)

設(shè)系統(tǒng)采樣周期T＝0.05s，典型輸人信號為階躍信號和斜坡信號，試設(shè)計最少拍控制系統(tǒng)。G(z)有兩個z＝1(單位圓上)的極點和一個z＝0.286(單位圓內(nèi))的極點；一個z=-2．78(單位圓外)的零點和一個z=-0.2(單位圓內(nèi))的零點。G(z)還有一拍的純滯后。因此有k=ν=2，w=1，l=1。對于要跟蹤的階躍信號和斜坡信號，分別有和

當(dāng)前87頁，總共123頁。若按分母階次較小的R1(z)進行設(shè)計，則當(dāng)系統(tǒng)輸入為R2(z)時，穩(wěn)態(tài)誤差將為無窮大。因此，應(yīng)按分母階次較大的R2(z)進行設(shè)計，取m=2。由于G(z)在z=1有兩個極點，由穩(wěn)定性要求所必須包含的因子(1－z-1)2與穩(wěn)態(tài)誤差要求所必須包含的因子(1－z-1)2是一致的。因此，兩者可合并為一項(1－z-1)2。即可令j=2。根據(jù)式(3．96)有p=j+ν-k-1=1q=l+w-1=1階次確定后，可令

由比較同次冪系數(shù)可得方程當(dāng)前88頁，總共123頁。所求的最少拍數(shù)字控制器:當(dāng)前89頁，總共123頁。在單位階躍輸入下系統(tǒng)的輸出為:在單位斜坡輸入下系統(tǒng)的輸出:當(dāng)前90頁，總共123頁。最少拍控制系統(tǒng)具有最快速的向應(yīng)。但是它的輸出在采樣點之間存在有紋波，同時它還需要有很大的控制作用，這個控制作用有可能加劇采樣點之間的振蕩，還可能在D／A輸出端引起飽和。另外，針對某一典型輸入所設(shè)計的最少拍控制器，對其它輸人信號適應(yīng)性較差。同時，最少拍控制系統(tǒng)還對參數(shù)變化過于敏感，參數(shù)變化有可能導(dǎo)致控制效果急劇下降。因此，除個別情況以外，最少拍控制系統(tǒng)實用意義不大。當(dāng)前91頁，總共123頁。3．5最少拍無紋波控制系統(tǒng)設(shè)計按最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計出來的閉環(huán)系統(tǒng)，在有限拍后即進人穩(wěn)態(tài)。這時閉環(huán)系統(tǒng)輸出c(k)在采樣時刻精確地跟蹤輸入信號。雖然在采樣時刻閉環(huán)系統(tǒng)輸出與所跟蹤的參考輸人一致，但是在兩個采樣時刻之間，系統(tǒng)的輸出存在著紋波或振蕩。這種紋波不但影響系統(tǒng)的控制性能，產(chǎn)生過大的超調(diào)和持續(xù)振蕩，而且還增加了系統(tǒng)功率損耗和機械磨損。最少拍系統(tǒng)產(chǎn)生紋波的原因

紋波產(chǎn)生根源是零階保持器的輸入序列u(k)在穩(wěn)態(tài)誤差消除后，仍然圍繞自己的平均值上下波動。當(dāng)前92頁，總共123頁。3．5最少拍無紋波控制系統(tǒng)設(shè)計由可以得到控制信號U(z)對輸入R(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：設(shè)廣義對象脈沖傳遞函數(shù)為

當(dāng)前93頁，總共123頁。則：P(z)的零點即是G(z)的零點。由于R(z)到U(z)的脈沖傳遞函數(shù)是一個有理分式，從而它的單位脈沖響應(yīng)為無限長。如果我們在選擇時，令包含G(z)的所有零點，則由式(3．105)，P(z)與中相應(yīng)因子產(chǎn)生相消，使得由R(z)到U(z)的脈沖傳遞函數(shù)為一階次有限的z-1多項式，這就表示它的脈沖響應(yīng)時間為有限長了。這樣，經(jīng)過有限拍之后，控制變量u(k)或者為零，或者為常數(shù)，不會再產(chǎn)生振蕩，從而避免了連續(xù)被控對象的輸出c(t)在采樣時刻之間的紋波。

當(dāng)前94頁，總共123頁。為消除紋波，對閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的附加要求是：必須包含廣義對象G(z)的所有零點。當(dāng)前95頁，總共123頁。

例3．5設(shè)計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)均與例3．3相同，試針對斜坡輸入信號，設(shè)計最少拍無紋波控制系統(tǒng)。

由例3．3知廣義對象脈沖傳遞函數(shù)

分析可知，w=1(包括G(z)的所有零點)，ν=1（G(z)有一個位于單位圓上的極點1），l=1。對于斜坡信號m＝2。考慮到對穩(wěn)態(tài)誤差的要求所對應(yīng)的因子(1-z-1)2，包含了對穩(wěn)定性要求所對應(yīng)的因子(1-z-1)，故將兩者合并，即取m+ν=2。計算得：p=m+ν-1=1，q=l+w-1=1。

當(dāng)前96頁，總共123頁。當(dāng)前97頁，總共123頁。則最少拍無紋波控制器為:閉環(huán)系統(tǒng)輸出序列:數(shù)字控制器的輸出序列(即系統(tǒng)的控制變量):當(dāng)前98頁，總共123頁。將圖3．19與圖3．17比較，可以看出，有紋波系統(tǒng)的調(diào)整時間為兩個采樣周期，系統(tǒng)輸出跟隨輸入函數(shù)后，由于數(shù)字控制器的輸出仍在波動，所以系統(tǒng)輸出與采樣時刻之間有紋波。無紋波系統(tǒng)的調(diào)整時間為三個采樣周期，系統(tǒng)輸出進入穩(wěn)態(tài)所需時間比無紋波系統(tǒng)增加了一個采樣周期。由于系統(tǒng)中數(shù)字控制器的輸出經(jīng)3T后為常值，所以無紋波系統(tǒng)輸出在采樣點之間不存在紋波。當(dāng)前99頁，總共123頁。3．6最少拍控制系統(tǒng)的改進

最少拍控制是以調(diào)節(jié)時間最短為設(shè)計準(zhǔn)則；最少拍無紋波控制是以調(diào)節(jié)時間最短和輸出無紋波為設(shè)計準(zhǔn)則。他們的共同缺點是：對輸入信號適應(yīng)性差；對系統(tǒng)參數(shù)變化特別敏感，控制效果較差。一般采用的其改進算法，如：阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等。當(dāng)前100頁，總共123頁。阻尼因子法是改進最少拍系統(tǒng)對輸入信號的適應(yīng)能力的一種方法。

3．6．1阻尼因子法當(dāng)前101頁，總共123頁。例3.6設(shè)廣義對象脈沖傳遞函數(shù):

系統(tǒng)的典型輸入函數(shù)為斜坡輸入。

當(dāng)前102頁，總共123頁。于是得數(shù)字控制器為:當(dāng)前103頁，總共123頁。3．6．2非最少的有限拍控制將再乘上一個z-1的有限階多項式H(z)=h0+h1z-1+…+hnz-n，使得和的階次均適當(dāng)提高。

通過適當(dāng)選擇hi，可以改變中各項的系數(shù)，從而降低系統(tǒng)對參數(shù)變化的靈敏度。當(dāng)前104頁，總共123頁。例3．7：為降低閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)變化的靈敏度，試對斜坡輸入設(shè)計非最少的有限拍控制系統(tǒng)，并驗證當(dāng)實際廣義對象G(z)變化后系統(tǒng)的輸出。當(dāng)前105頁，總共123頁。設(shè)非最少的有限拍控制系統(tǒng)對應(yīng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為，則有由之可得出:非最小的有限拍控制器為：當(dāng)前106頁，總共123頁。采用D(z)的閉環(huán)系統(tǒng)對單位斜坡輸入的響應(yīng)為:當(dāng)實際廣義被控對象變化時，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)前107頁，總共123頁。注意到這時，不再是有限階次的z-1多項式，因此系統(tǒng)響應(yīng)已不再是有限拍的了。系統(tǒng)對單位速度輸入的響應(yīng)為顯然，盡管系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生了較大變化，但系統(tǒng)的輸出響應(yīng)仍然是比較好的。

另外，采用非最少的有限拍控制器，還有利于減少控制變量的幅值。當(dāng)前108頁，總共123頁。3．7達林算法

在控制系統(tǒng)設(shè)計中，純滯后往往是影響系統(tǒng)動態(tài)特性的不利因素，工業(yè)過程中如熱工和化工過程中往往會有這樣的純滯后環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)如果控制器設(shè)計不當(dāng)，常常會引起系統(tǒng)的超調(diào)和持續(xù)振蕩。而對這類系統(tǒng)的控制要求，快速性往往是次要的，通常主要要求系統(tǒng)沒有超調(diào)量或很少超調(diào)量，要求系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)