隨機(jī)過程報告-馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過程，最初由A.A.Markov所研究。它的直觀背景如下:設(shè)有一隨機(jī)運(yùn)動的系統(tǒng)E(例如運(yùn)動著的質(zhì)點等)，它可能處的狀態(tài)記為總共有可數(shù)個或者有窮個。這系統(tǒng)只可能在時刻t=1,2,…n,…上改變它的狀態(tài)。隨著的運(yùn)動進(jìn)程，定義一列隨機(jī)變量Xn,n=0,1,2,?其中Xn=k，如在t=n時，位于Ek。定義1.1設(shè)有隨機(jī)過程，若對任意的整數(shù)和任意的條件概率滿足則稱為馬爾可夫鏈，簡稱為馬氏鏈。實際中常常碰到具有下列性質(zhì)的運(yùn)動系統(tǒng)。如果己知它在t=n時的狀態(tài)，則關(guān)于它在n時以前所處的狀態(tài)的補(bǔ)充知識，對預(yù)言在n時以后所處的狀態(tài)，不起任何作用?；蛘哒f，在己知的“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”是無關(guān)的。這種性質(zhì)，就是直觀意義上的“馬爾可夫性”，或者稱為“無后效性”。假設(shè)馬爾可夫過程的參數(shù)集T是離散時間集合，即T={0,1,2,…},其相應(yīng)Xn可能取值的全體組成的狀態(tài)空間是離散狀態(tài)空間I={1,2,..}。定義1.2條件概率稱為馬爾可夫鏈在時刻n的一步轉(zhuǎn)移矩陣，其中i，jI，簡稱為轉(zhuǎn)移概率。一般地，轉(zhuǎn)移概率不僅與狀態(tài)i,j有關(guān)，而且與時刻n有關(guān)。當(dāng)不依賴于時刻n時，表示馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率。若對任意的i，jI，馬爾可夫鏈Xn,nT}的轉(zhuǎn)移概率與n無關(guān)，則稱馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的。定義1.3設(shè)p表示一步轉(zhuǎn)移概率p，所組成的矩陣，且狀態(tài)空間1={1,2，…n}，則稱為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。它具有如下性質(zhì)：（1）定理1.1設(shè)為馬爾可夫鏈，則對任意的1，有。這表明馬爾可夫鏈的有限維分布完全由它的初始概率和一部轉(zhuǎn)移概率所決定。因此，只要知道初始概率和一部轉(zhuǎn)移概率，就可以知道馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性。定義1.4假設(shè){Xn，n0}是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I，轉(zhuǎn)移概率為Pij，稱概率分布{}為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿足對于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是非周期，正常返的，則它是遍歷的；對于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是有限且非周期的，則它是遍歷的。值得注意的是，對于一個馬爾可夫鏈，并不是一定存在。例如設(shè)馬爾可夫鏈的一部轉(zhuǎn)移矩陣為：易知(單位矩陣)，，所以不存在。而得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。步驟3“馬氏性”檢驗步驟4已知時刻l時系統(tǒng)取各個狀態(tài)的概率可視為馬爾可夫鏈的初始分布，比如x1取狀態(tài)2,m=5，則始分布=（0，1，0，0，0），于是l+1時的絕對分布，可認(rèn)為時刻1+1時系統(tǒng)所取的狀態(tài)j滿足，從而預(yù)測1+t時刻的狀態(tài)。步驟5還可以用馬氏鏈的平穩(wěn)性，遍歷性對系統(tǒng)分析。疊加馬氏鏈預(yù)測步驟1對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組;步驟2計算各階的一步轉(zhuǎn)移矩陣，其中，，其他類推。步驟3“馬氏性”檢驗步驟4如果要預(yù)測時刻1+1的狀態(tài)，可分別利用1,1-1,?，1-k+1作為初始態(tài)，，l+1所處的狀態(tài)j滿足。列表分析圖1疊加馬氏鏈預(yù)測分析表步驟5重復(fù)步驟1-4遞推預(yù)測;步驟6進(jìn)行平穩(wěn)性，遍歷性及其他分析。3）加權(quán)馬氏鏈預(yù)測步驟1對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組;步驟2計算各階的一步轉(zhuǎn)移矩陣，其中，，其他類推。步驟3“馬氏性”檢驗;步驟4計算各階相關(guān)系數(shù)：計算規(guī)范的相關(guān)系數(shù):步驟5預(yù)測n+1時刻的狀態(tài)步驟6重復(fù)1-5，預(yù)測n+2時刻的狀態(tài)，其余類推步驟7討論其他性質(zhì)。馬爾可夫預(yù)測方法是馬爾可夫鏈在預(yù)測領(lǐng)域的一種應(yīng)用方法。最初這種方法在水文，氣象，地震等方面有廣泛的應(yīng)用，之后經(jīng)濟(jì)學(xué)家將其應(yīng)用于研究市場占有率，預(yù)測經(jīng)營利潤等方面。在馬爾可夫預(yù)測方法中，一個非常重要的問題就是對一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的估算。下面以實例分析馬爾可夫鏈在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。下面給出長江水域6類水質(zhì)所占的比例?，F(xiàn)在要對長江未來10年的水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做一個總體的預(yù)測。為此可建立長江水質(zhì)污染的馬爾可夫鏈趨勢預(yù)測的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣估計的最優(yōu)化模型。設(shè)枯水期長江全流域水質(zhì)在第t年屬于Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類這6類狀態(tài)的比例向量分別為.設(shè)為6類狀態(tài)矩陣的一步轉(zhuǎn)移概率，根據(jù)誤差平方和達(dá)到最小的準(zhǔn)則，建立如下最優(yōu)化模型：用matlab軟件求解得由下式可以對長江未來10年的水質(zhì)污染屬于Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類這6類狀態(tài)的比例向量作出預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見下表從預(yù)測計算結(jié)果可以看出：枯水期長江全流域水質(zhì)屬于Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類這3類狀態(tài)的比例并沒有發(fā)生根本性的減少，水質(zhì)污染程度依然十分嚴(yán)重。因此我們要采取積極措施，例如要嚴(yán)加控制企業(yè)廢水和城市生活垃圾亂排亂放，政府要大力推進(jìn)城市發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)和有機(jī)農(nóng)業(yè)，綜合防治面源污染。加大宣傳力度，使群眾能夠清醒地認(rèn)識到水資源危機(jī)和保護(hù)環(huán)境的意識等。只有這樣才能保護(hù)我們的長江。馬爾可夫鏈預(yù)測模型，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)移概率矩陣的可靠性，因此該預(yù)測模型要求足夠多足夠