隨機過程報告-馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈是一種特殊的隨機過程，最初由A.A.Markov所研究。它的直觀背景如下:設有一隨機運動的系統(tǒng)E(例如運動著的質點等)，它可能處的狀態(tài)記為總共有可數(shù)個或者有窮個。這系統(tǒng)只可能在時刻t=1,2,…n,…上改變它的狀態(tài)。隨著的運動進程，定義一列隨機變量Xn,n=0,1,2,?其中Xn=k，如在t=n時，位于Ek。定義1.1設有隨機過程，若對任意的整數(shù)和任意的條件概率滿足則稱為馬爾可夫鏈，簡稱為馬氏鏈。實際中常常碰到具有下列性質的運動系統(tǒng)。如果己知它在t=n時的狀態(tài)，則關于它在n時以前所處的狀態(tài)的補充知識，對預言在n時以后所處的狀態(tài)，不起任何作用?；蛘哒f，在己知的“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”是無關的。這種性質，就是直觀意義上的“馬爾可夫性”，或者稱為“無后效性”。假設馬爾可夫過程的參數(shù)集T是離散時間集合，即T={0,1,2,…},其相應Xn可能取值的全體組成的狀態(tài)空間是離散狀態(tài)空間I={1,2,..}。定義1.2條件概率稱為馬爾可夫鏈在時刻n的一步轉移矩陣，其中i，jI，簡稱為轉移概率。一般地，轉移概率不僅與狀態(tài)i,j有關，而且與時刻n有關。當不依賴于時刻n時，表示馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)轉移概率。若對任意的i，jI，馬爾可夫鏈Xn,nT}的轉移概率與n無關，則稱馬爾可夫鏈是齊次的。定義1.3設p表示一步轉移概率p，所組成的矩陣，且狀態(tài)空間1={1,2，…n}，則稱為馬爾可夫鏈的一步轉移概率矩陣。它具有如下性質：（1）定理1.1設為馬爾可夫鏈，則對任意的1，有。這表明馬爾可夫鏈的有限維分布完全由它的初始概率和一部轉移概率所決定。因此，只要知道初始概率和一部轉移概率，就可以知道馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性。定義1.4假設{Xn，n0}是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I，轉移概率為Pij，稱概率分布{}為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿足對于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是非周期，正常返的，則它是遍歷的；對于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是有限且非周期的，則它是遍歷的。值得注意的是，對于一個馬爾可夫鏈，并不是一定存在。例如設馬爾可夫鏈的一部轉移矩陣為：易知(單位矩陣)，，所以不存在。而得到一步轉移概率矩陣。步驟3“馬氏性”檢驗步驟4已知時刻l時系統(tǒng)取各個狀態(tài)的概率可視為馬爾可夫鏈的初始分布，比如x1取狀態(tài)2,m=5，則始分布=（0，1，0，0，0），于是l+1時的絕對分布，可認為時刻1+1時系統(tǒng)所取的狀態(tài)j滿足，從而預測1+t時刻的狀態(tài)。步驟5還可以用馬氏鏈的平穩(wěn)性，遍歷性對系統(tǒng)分析。疊加馬氏鏈預測步驟1對歷史數(shù)據(jù)進行分組;步驟2計算各階的一步轉移矩陣，其中，，其他類推。步驟3“馬氏性”檢驗步驟4如果要預測時刻1+1的狀態(tài)，可分別利用1,1-1,?，1-k+1作為初始態(tài)，，l+1所處的狀態(tài)j滿足。列表分析圖1疊加馬氏鏈預測分析表步驟5重復步驟1-4遞推預測;步驟6進行平穩(wěn)性，遍歷性及其他分析。3）加權馬氏鏈預測步驟1對歷史數(shù)據(jù)進行分組;步驟2計算各階的一步轉移矩陣，其中，，其他類推。步驟3“馬氏性”檢驗;步驟4計算各階相關系數(shù)：計算規(guī)范的相關系數(shù):步驟5預測n+1時刻的狀態(tài)步驟6重復1-5，預測n+2時刻的狀態(tài)，其余類推步驟7討論其他性質。馬爾可夫預測方法是馬爾可夫鏈在預測領域的一種應用方法。最初這種方法在水文，氣象，地震等方面有廣泛的應用，之后經(jīng)濟學家將其應用于研究市場占有率，預測經(jīng)營利潤等方面。在馬爾可夫預測方法中，一個非常重要的問題就是對一步狀態(tài)轉移概率矩陣的估算。下面以實例分析馬爾可夫鏈在現(xiàn)實生活中的應用。下面給出長江水域6類水質所占的比例?，F(xiàn)在要對長江未來10年的水質污染的發(fā)展趨勢做一個總體的預測。為此可建立長江水質污染的馬爾可夫鏈趨勢預測的一步轉移概率矩陣估計的最優(yōu)化模型。設枯水期長江全流域水質在第t年屬于Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類這6類狀態(tài)的比例向量分別為.設為6類狀態(tài)矩陣的一步轉移概率，根據(jù)誤差平方和達到最小的準則，建立如下最優(yōu)化模型：用matlab軟件求解得由下式可以對長江未來10年的水質污染屬于Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類這6類狀態(tài)的比例向量作出預測，預測結果見下表從預測計算結果可以看出：枯水期長江全流域水質屬于Ⅳ類、Ⅴ類、劣Ⅴ類這3類狀態(tài)的比例并沒有發(fā)生根本性的減少，水質污染程度依然十分嚴重。因此我們要采取積極措施，例如要嚴加控制企業(yè)廢水和城市生活垃圾亂排亂放，政府要大力推進城市發(fā)展生態(tài)農業(yè)和有機農業(yè)，綜合防治面源污染。加大宣傳力度，使群眾能夠清醒地認識到水資源危機和保護環(huán)境的意識等。只有這樣才能保護我們的長江。馬爾可夫鏈預測模型，關鍵在于轉移概率矩陣的可靠性，因此該預測模型要求足夠多足夠