2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基?？贾v義專題10：數(shù)列與極限【原卷版】

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題10數(shù)列與極限真題特點(diǎn)分析：【2020武大6】?jī)蓚€(gè)半徑為實(shí)心球體，它們的球心相距.設(shè)包含這兩個(gè)實(shí)心球體的最小實(shí)心球的體積為，則（）A. B. C. D.二、知識(shí)要點(diǎn)拓展一．?dāng)?shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于某個(gè)常數(shù)，那么就說數(shù)列以為極限.注：不一定是中的項(xiàng).二．幾個(gè)常用的極限：（1）（為常數(shù)）;（2）（3）（）.（4）（，且）（5）三．?dāng)?shù)列極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)數(shù)列、，當(dāng),時(shí)：（）四．無窮等比數(shù)列：若無窮等比數(shù)列，其所有項(xiàng)的和（各項(xiàng)的和）為：．五．常見的數(shù)列極限可以歸納為兩大類:第一類是兩個(gè)關(guān)于自然數(shù)的多項(xiàng)式的商的極限:當(dāng)時(shí),上述極限不存在.第二類是關(guān)于的指數(shù)式的極限:當(dāng)或時(shí),上述極限不存在.特殊數(shù)列的極限：，是常數(shù)）；（2）；（3）（，為常數(shù)）；（4）．下面證明第四個(gè)公式證明：令，取自然對(duì)數(shù)得到，令，得，由洛比達(dá)法則得，即所以：，則，即．另外，數(shù)列是單調(diào)遞增的，理由如下：由個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)它們的算術(shù)平均數(shù)）有，所以。夾逼定理：如果數(shù)列、以及滿足下列條件：從某項(xiàng)起，即當(dāng)（其中），有（）；且；那么數(shù)列的極限也存在，且三．分期付款問題：分為兩種類型：等額本金、等額本息。等額本金是這樣一種還款方式：在還款期內(nèi)把貸款數(shù)總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。這樣，由于每月的還款本金額固定，而利息越來越少，因此貸款人起初還款壓力較大，但是隨時(shí)間的推移每月還款數(shù)額越來越少。等額本金貸款計(jì)算公式：每月還款金額=（貸款本金還款月數(shù)）+（本金-已歸還本金累計(jì)額）×每月利率。等額本息是這樣一種還款方式：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）。設(shè)貸款本金為，月利率為，還款月數(shù)為，則每月還款額計(jì)算公式為：。三、例題精講例1．（復(fù)旦）設(shè)是的展開式中項(xiàng)的系數(shù)（），則極限（）（A）15（B）6（C）17（D）8例2．（清華）的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為。求；求；求。例3．（上海交大）如圖所示，設(shè)曲線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)在曲線上。試求的坐標(biāo)表達(dá)式，并說明這些三角形的面積之和是否存在。例4．（上海交大）兩人輪流擲一個(gè)骰子，第一次由先擲，若擲到一點(diǎn)，下次仍由擲；若擲不到一點(diǎn)，下次換擲。對(duì)同學(xué)同樣適用該規(guī)則。如此依次投擲，記第次由擲的概率為。求與的關(guān)系；求。例5．（北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（1）證明：，且；（2）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.例6．對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有則稱數(shù)列為．首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為？請(qǐng)說明理由；設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；A組：①數(shù)列是②數(shù)列不是B組：③數(shù)列是④數(shù)列不是請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題．判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3）若數(shù)列、都是，證明：數(shù)列也是．例7．（上海交大）求極限．例8．（武大）設(shè)二次函數(shù)過點(diǎn)，且滿足。數(shù)列滿足。確定的表達(dá)式；證明：；證明：。五、真題訓(xùn)練1.（復(fù)旦）設(shè)，則（）。（A）2（B）（C）（D）64（同濟(jì)）設(shè)、都是公差為2的等差數(shù)列，其首項(xiàng)滿足：。設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)。（復(fù)旦）。（復(fù)旦）設(shè)，則。5.（上海交大）數(shù)列中，，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（復(fù)旦）設(shè)，其中為整數(shù)，求時(shí)，的極限。7.（復(fù)旦）一圓錐的地面半徑為12，高為16，球內(nèi)切于圓錐，球內(nèi)切于圓錐側(cè)面，與球外切，，依次類推。求所有這些球的半徑的通項(xiàng)公式；所有這些球的體積分別為，求。（同濟(jì)）設(shè)數(shù)列中，，求。（清華）設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，是的