2022年山東省德州市高考數(shù)學二模試卷

2022年山東省德州市高考數(shù)學二模試卷試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x-2≤0}，則A∩B=（）A.{0，1}B.[0，1]C.[-2，1]D.{0，1，2}2.（單選題，5分）已知m，n是兩條不重合的直線，β是一個平面且n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.（單選題，5分）已知i是虛數(shù)單位，a，b均為實數(shù)，且，則點（a，b）所在的象限為（）A.一B.二C.三D.四4.（單選題，5分）已知a＞0，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（）A.36B.30C.15D.105.（單選題，5分）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x圖象（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位6.（單選題，5分）設隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（X＜2-a）=0.3，則P（2-a＜X＜a）=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.67.（單選題，5分）已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其導函數(shù)f'（x）的圖象見下圖，且f（x+2）=f（2-x）對x∈R恒成立，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.8.（單選題，5分）雙曲線的一條漸近線方程為，F(xiàn)1、F2分別為該雙曲線的左、右焦點，M為雙曲線上的一點，則的最小值為（）A.2B.4C.8D.129.（多選題，5分）教育部辦公廳“關于進一步加強中小學生體質健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強對學生體質健康0.06重要性的宣傳，中小學校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團隊活動，家校協(xié)同聯(lián)動等多種形式加強教育引導，讓家長和中小學生007科學認識體質健康的影響因素．了解運動在增強體質、促進健康、預防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學生體育與健康素養(yǎng)，增強體質健康管理的意識和能力，某學校共有2000名男生，為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查了100名男生的體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

A.樣本的眾數(shù)為B.樣本的80%分位數(shù)為72C.樣本的平均值為66D.該校男生中低于60公斤的學生大約為300人10.（多選題，5分）已知O為坐標原點，A（，0），B（，），P，則下列結論正確的是（）A.△OAB為等邊三角形B.最小值為C.滿足的點P有兩個D.存在一點P使得11.（多選題，5分）某地舉辦數(shù)學建模大賽，本次大賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的表面積為16π，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊面成，如圖②，則下列結論正確的是（）

A.直線AD與平面DEF所成的角為B.經過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為C.異面直線AD與CF所成角的余弦值為D.球上的點到底面DEF的最大距離為12.（多選題，5分）若函數(shù)f（x）=lnx+a（x2-2x+1）（a∈R）存在兩個極值點x1，x2（x1＜x2），則（）A.函數(shù)f（x）至少有一個零點B.a＜0或a＞2C.D.f（x1）+f（x2）＞1-2ln213.（填空題，5分）設函數(shù)，若f（a）=1，則a=___．14.（填空題，5分）已知角θ的終邊過點A（3，y），且sin（π+θ）=，則tanθ=___．15.（填空題，5分）已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點，A（t，1）是拋物線第一象限上的點，|AF|=5，直線AF與拋物線的另一個交點為B，則S△AOB=___．16.（填空題，5分）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎，著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段（，），記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間[0，]，[，1]分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個區(qū)間為___，若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為___.（lg2=0.30，lg3=0.47）17.（問答題，10分）已知數(shù)列{an}的首項，且滿足．

（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；

（2）記，求{bn}的前n項和Sn．18.（問答題，12分）2021年12月17日，工信部發(fā)布的“十四五”促進中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立”百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導中小企業(yè)走向“專精特新”、“小巨人”、“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細化、特色化，新穎化優(yōu)勢的中小企業(yè)下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關數(shù)據(jù)：年份（年）20172018201920202021年份代碼（x）12345新增企業(yè)數(shù)量：（y）817292442（1）請根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程，并預測2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；

（2）若在此地進行考察，考察企業(yè)中有4個為“專精特新”企業(yè)，3個為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個企業(yè)中隨機抽取3個，用X表示抽取的3個為“專精特新”全業(yè)個數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望．

參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計公式分別為，．19.（問答題，12分）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．

問題：已知△ABC中，D為AB邊上的一點，且BD=2AD，_______．

（1）若，求∠BCD大??；

（2）若CD=CB，求cos∠ACB．20.（問答題，12分）《九章算術》是中國古代張蒼，耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學專著，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系．在《九章算術?商功》篇中提到“陽馬”這一幾何體，是指底面為矩形，有一條側棱垂直于底面的四棱錐，現(xiàn)有“陽馬”P-ABCD，底面為邊長為2的正方形，側棱PA⊥面ABCD，PA=2，E、F為邊BC、CD上的點，，，點M為AD的中點．

（1）若，證明：面PBM⊥面PAF；

（2）是否存在實數(shù)λ，使二面角P-EF-A的大小為45°？如果不存在，請說明理由；如果存在，求此時直線BM與面PEF所成角的正弦值．21.（問答題，12分）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-，0），（，0），圓E是△ABC的內切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，，動點C的軌跡為曲線G．

（1）求曲線G的方程；

（2）設直線l與曲線G交于M、N兩點，點D在曲線G上，O是坐標原點，判斷四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由．22.（問答題，12分）已知函數(shù)f（x）=cos2x+a（x2-1），g（x）=1-cosx．

（1）當a=0時，求f（x）圖象在（，f（））處的切線方程；

（2）當a＞1時，求f（x）的極值；

（3）若，f'（x）為函數(shù)f（x）的導數(shù)，恒成立，求a的取值范圍．

2022年山東省德州市高考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x-2≤0}，則A∩B=（）A.{0，1}B.[0，1]C.[-2，1]D.{0，1，2}【正確答案】：A【解析】：求出集合B，利用交集定義能求出A∩B．

【解答】：解：∵集合A={0，1，2}，B={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1}，

∴A∩B={0，1}．

故選：A．

【點評】：本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2.（單選題，5分）已知m，n是兩條不重合的直線，β是一個平面且n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：B【解析】：根據(jù)線面垂直的性質，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結論．

【解答】：解：①根據(jù)線面垂直的定義，m必須垂直平面β內的兩條相交直線，才有m⊥β，即充分性不成立，

②若m⊥β，∵n?β，則m⊥n成立，即必要性成立，

故m⊥n是m⊥β的必要不充分條件，

故選：B．

【點評】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)線面垂直的性質和判定定理是解決本題的關鍵．3.（單選題，5分）已知i是虛數(shù)單位，a，b均為實數(shù)，且，則點（a，b）所在的象限為（）A.一B.二C.三D.四【正確答案】：B【解析】：根據(jù)已知條件，結合復數(shù)相等，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解．

【解答】：解：∵，

∴b+ai=（3+i）（1-i）=3-3i+i+1=4-2i，即b=4，a=-2，

∴點（-2，4）所在的象限為二．

故選：B．

【點評】：本題主要考查復數(shù)相等，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．4.（單選題，5分）已知a＞0，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（）A.36B.30C.15D.10【正確答案】：C【解析】：令x=1，可得所有項的系數(shù)和為（1+a）6=64，求出a的值，再利用二項展開式的通項公式求解．

【解答】：解：令x=1，可得所有項的系數(shù)和為（1+a）6=64，且a＞0，

∴1+a=2，∴a=1，

∴二項式為（x+）6，展開式的通項為Tr+1=x6-r=x6-3r，

令6-3r=0得r=2，即展開式中的常數(shù)項為=15，

故選：C．

【點評】：本題主要考查了二項式系數(shù)的性質，考查了二項展開式的通項，屬于基礎題．5.（單選題，5分）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x圖象（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位【正確答案】：B【解析】：利用誘導公式化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．

【解答】：解：因為=cos（2x+-）=cos2（x-），

所以將函數(shù)y=cos2x圖象向右平移個單位即可得到函數(shù)的圖象．

故選：B．

【點評】：本題主要考查誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．6.（單選題，5分）設隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（X＜2-a）=0.3，則P（2-a＜X＜a）=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【正確答案】：C【解析】：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可．

【解答】：解：∵（2-a）+a=2，∴x=2-a，x=a關于x=1對稱，

∴P（2-a＜X＜a）=2P（2-a＜X＜1）=2×[0.5-P（X＜2-a）]=0.4，

故選：C．

【點評】：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎題．7.（單選題，5分）已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其導函數(shù)f'（x）的圖象見下圖，且f（x+2）=f（2-x）對x∈R恒成立，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：由導函數(shù)f'（x）的圖象判斷函數(shù)的單調性，結合已知判斷函數(shù)的對稱性，于是可得答案．

【解答】：解：由導函數(shù)f'（x）的圖象可知，

f（x）在（0，2）上單調遞增；①

又f（x+2）=f（2-x）對x∈R恒成立，

所以f（）=f（），②

所以f（x）的圖象關于直線x=2對稱，

又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以f（-1）=f（1），③

因為＜1＜，

所以由①②③得：f（）＜f（1）=f（-1）＜f（）=f（），

故選：D．

【點評】：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了推理能力與運算能力，屬于中檔題．8.（單選題，5分）雙曲線的一條漸近線方程為，F(xiàn)1、F2分別為該雙曲線的左、右焦點，M為雙曲線上的一點，則的最小值為（）A.2B.4C.8D.12【正確答案】：B【解析】：分析可知a=3，且||MF1|-|MF2||=6，要使的值最小，則|MF1|應盡可能大，|MF2|應盡可能小，則點M在雙曲線右支上，由此|MF2|=|MF1|-6，再利用基本不等式判斷不能取到等號，最后結合|MF2|≥2，得到答案．

【解答】：解：∵雙曲線的一條漸近線方程為，

∴a=3，

由雙曲線的定義可知，||MF1|-|MF2||=6，

要使的值最小，則|MF1|應盡可能大，|MF2|應盡可能小，

故點M應為雙曲線右支上一點，|MF1|-|MF2|=6，則|MF2|=|MF1|-6，

∴，當且僅當|MF1|=4時等號成立，此時|MF2|=-2＜0，故此時取不到等號，

而|MF2|≥2，故當|MF2|=2，|MF1|=8時，取得最小值4，

故選：B．

【點評】：本題考查雙曲線性質的運用，同時也考查了基本不等式的運用，考查分析問題解決問題的能力及運算求解能力，屬于中檔題．9.（多選題，5分）教育部辦公廳“關于進一步加強中小學生體質健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強對學生體質健康0.06重要性的宣傳，中小學校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團隊活動，家校協(xié)同聯(lián)動等多種形式加強教育引導，讓家長和中小學生007科學認識體質健康的影響因素．了解運動在增強體質、促進健康、預防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學生體育與健康素養(yǎng)，增強體質健康管理的意識和能力，某學校共有2000名男生，為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查了100名男生的體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

A.樣本的眾數(shù)為B.樣本的80%分位數(shù)為72C.樣本的平均值為66D.該校男生中低于60公斤的學生大約為300人【正確答案】：ABD【解析】：頻率分布直方圖中最高矩形的中點值為眾數(shù)，從而判斷選項A；

利用頻率分布直方圖求80%分位數(shù)判斷選項B，

利用頻率分布直方圖求平均數(shù)判斷選項C，

利用頻率分布直方圖求低于60公斤的學生的頻率，再求頻數(shù)即可判斷選項D．

【解答】：解：對于選項A，樣本的眾數(shù)為=67，故正確；

對于選項B，

∵0.03×5+0.05×5+0.06×5=0.7＜0.8，

0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5=0.9＞0.8，

∴樣本的80%分位數(shù)在（70，75]之間，

70+×5=72，故正確；

對于選項C，

樣本的平均值為57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5=66.75，

故錯誤；

對于選項D，

該校男生中低于60公斤的學生大約為2000×0.03×5=300人，故正確；

故選：ABD．

【點評】：本題考查由頻數(shù)分布表、直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，頻率分布直方圖坐標軸的應用，屬于基礎題．10.（多選題，5分）已知O為坐標原點，A（，0），B（，），P，則下列結論正確的是（）A.△OAB為等邊三角形B.最小值為C.滿足的點P有兩個D.存在一點P使得【正確答案】：AD【解析】：根據(jù)數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的性質，數(shù)量積的運算性質以及向量垂直的充要條件、向量的模長公式和夾角公式等逐項判斷即可．

【解答】：解：對于A，，，||=，

故△OAB為等邊三角形，A正確；

對于B，=，

當α=0時，該式取得最小值，該式取最大值，故B錯誤；

對于C，由，得===0，

結合，可知符合，故符合題意的P點只有一個，故C錯誤；

對于D，由題知==（cosα，sinα），

所以，即，結合，解得，故D正確．

故選：AD．

【點評】：本題考查平面向量數(shù)量積的概念、運算和性質，以及三角函數(shù)的性質，屬于中檔題．11.（多選題，5分）某地舉辦數(shù)學建模大賽，本次大賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的表面積為16π，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊面成，如圖②，則下列結論正確的是（）

A.直線AD與平面DEF所成的角為B.經過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為C.異面直線AD與CF所成角的余弦值為D.球上的點到底面DEF的最大距離為【正確答案】：AC【解析】：根據(jù)線面角的定義，正弦定理，異面直線所成角的概念，點面距的轉化分別對四個選項的問題求解．

【解答】：解：對選項A，∵平面ADE⊥平面DEF，∴AD在平面DEF內的射影為DE，

∴∠ADE=，即為AD與平面DEF所成的角，∴A選項正確；

對選項B，如右圖，分別取DE，EF，DF中點為M、N、P，連AM，BN，CP，

則由題意得AM，BN，CP都和平面DEF垂直，

且AM，BN，CP三線段都為邊長為4的等邊三角形的高，

∴AM，BN，CP三條線段相互平行且相等，

∴CA平行且等于PM，PM平行且等于=2，同理AB=BC=2，

∴△ABC是邊長為2的等邊三角形，

∴由正弦定理，得△ABC的外接圓半徑r=，

∴經過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為，∴選項B錯誤；

對選項C，由B選項的解答知CA||FN，且CA=FN，∴CF||AN且CF=AN，

∴異面直線AD與CF所成角即為∠DAN或其補角，

在△DAN中，易知AD=4，AN=CF=4，DN=，

設∠DAN=2θ，則sinθ=，

∴，∴選項C正確；

對選項D，∵球的表面積為16π，∴球的半徑R=2，

∴球心O到△ABC截面小圓圓心O1的距離，

∴球上的點到底面DEF的最大距離為，∴選項D錯誤．

故選：AC．

【點評】：本題考查線面角的定義，正弦定理，異面直線所成角的概念，空間想象力，化歸與轉化思想，屬中檔題．12.（多選題，5分）若函數(shù)f（x）=lnx+a（x2-2x+1）（a∈R）存在兩個極值點x1，x2（x1＜x2），則（）A.函數(shù)f（x）至少有一個零點B.a＜0或a＞2C.D.f（x1）+f（x2）＞1-2ln2【正確答案】：ACD【解析】：對于A：當x=1時，f（1）=0，即可判斷A是否正確；

對于B：求導得f′（x）=，若f（x）存在兩個極值點x1，x2（x1＜x2），則2ax2-2ax+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根，f′（x）有兩個變號零點，進而可得Δ＞0且，即可解出a的取值范圍，進而判斷B是否正確；

對于C：由選項B分析可得x1+x2=1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，x2=1-x1，則1-x1＞x1，即可解出答案，進而可判斷C是否正確．

對于D：根據(jù)題意可得f（x1）+f（x2）=lnx1x2+a[（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2]，將x1+x2=1，x1x2=代入上式，進而可得f（x1）+f（x2）=a-lna-ln2-1，令h（a）=a-lna-ln2-1，a＞2，求導分析單調性，推出h（a）＞h（2）=1-2ln2，即可判斷D是否正確．

【解答】：解：對于A：f（x）=lnx+a（x2-2x+1）=lnx+a（x-1）2，

當x=1時，f（1）=ln1+a（1-1）2=0，

所以f（x）至少有一個零點，故A正確；

對于B：f（x）=lnx+a（x2-2x+1），

f′（x）=+a（2x-2）=+2ax-2a=，

因為f（x）存在兩個極值點x1，x2（x1＜x2），

所以2ax2-2ax+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根，

所以f′（x）有兩個變號零點，

所以Δ=（-2a）2-4×2a×1=4a2-8a=4a（a-2）＞0，

所以a＞2或a＜0，

因為x1＞0，x2＞0，

所以，

所以a＞2，故B錯誤；

對于C：由選項B分析可得x1+x2=1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，

所以x2=1-x1，

所以1-x1＞x1，

所以2x1＜1，解得0＜x1＜，故C正確；

對于D：f（x1）+f（x2）=lnx1+a（x12-2x1+1）+lnx2+a（x22-2x2+1）

=lnx1x2+a[x12+x22-2（x1+x2）+2]=lnx1x2+a[（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2]，

將x1+x2=1，x1x2=代入上式，

f（x1）+f（x2）=ln+a（1-2?-2×1+2）=-ln2a+a（1-）

=-ln2-lna+a-1=a-lna-ln2-1，

令h（a）=a-lna-ln2-1，a＞2

h′（a）=1-=＞0，

所以h（a）在（2，+∞）上單調遞增，

所以h（a）＞h（2）=2-ln2-ln2-1=1-2ln2，故D正確，

故選：ACD．

【點評】：本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．13.（填空題，5分）設函數(shù)，若f（a）=1，則a=___．【正確答案】：[1]0或e【解析】：由題意，利用分段函數(shù)，分類討論求得函數(shù)的值．

【解答】：解：∵函數(shù)，若f（a）=1，

則當a≤0時，a2+1=1，∴a=0．

則當a＞0時，lna=1，∴a=e，

故答案為：0或e．

【點評】：本題主要考查分段函數(shù)的應用，求函數(shù)的值，屬于基礎題．14.（填空題，5分）已知角θ的終邊過點A（3，y），且sin（π+θ）=，則tanθ=___．【正確答案】：[1]-【解析】：由題意利用誘導公式，任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．

【解答】：解：因為角θ的終邊過點A（3，y），且sin（π+θ）=-sinθ=，

所以sinθ==-，可得y=-4，

則tanθ==-．

故答案為：-．

【點評】：本題主要考查了誘導公式，任意角的三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題．15.（填空題，5分）已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點，A（t，1）是拋物線第一象限上的點，|AF|=5，直線AF與拋物線的另一個交點為B，則S△AOB=___．【正確答案】：[1]40【解析】：根據(jù)已知求得p，以及A，進而求出直線AF的方程，得到點B的坐標，進而求解結論．

【解答】：解：∵拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點，A（t，1）是拋物線第一象限上的點，|AF|=5，

∴1+=5，可得p=8，

∴拋物線x2=16y的焦點為F（0，4），

y=1代入可得x=4（-4舍去），

∴A（4，1），

∴l(xiāng)AF的方程為：=，即3x+4y-16=0，

聯(lián)立，解得或，

即B（-16，16），

故|AB|==25，

點O到直線AB的距離為：，

∴S△AOB=×25×=40，

故答案為：40．

【點評】：本題主要考查拋物線的性質應用，屬于基礎題．16.（填空題，5分）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎，著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段（，），記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間[0，]，[，1]分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個區(qū)間為___，若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為___.（lg2=0.30，lg3=0.47）【正確答案】：[1][，];[2]9【解析】：先根據(jù)題意把第n次操作所去掉的長度和求出來，然后再求和即可得到前n次操作所去掉的長度，再建立不等式即可求出n的最小值．

【解答】：解：第一次操作去掉了區(qū)間長度的，剩下的區(qū)間：，，

第二次去掉2個長度為的區(qū)間，即長度和為，剩下的區(qū)間：，，，，

第三次去掉4個長度為的區(qū)間，即長度和為，剩下的區(qū)間：，，，，?．

以此類推，

第n次將去掉2n-1個長度為的區(qū)間，即長度和為，

則{an}的前n項和可表示為：

，

由題意知，，，

兩邊同時取對數(shù)，即n（lg2-lg3）≤-3lg3，

解得：n≥8.13，∴n=9，

故答案為：；9．

【點評】：本題主要考查函數(shù)模型及其應用，數(shù)學史中的數(shù)學文化試題等知識，屬于中等題．17.（問答題，10分）已知數(shù)列{an}的首項，且滿足．

（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；

（2）記，求{bn}的前n項和Sn．【正確答案】：

【解析】：（1）對于兩邊取倒數(shù)，可推得，結合等比數(shù)列的通項公式，求得答案；

（2）由（1）求得的表達式，利用錯位相減法，即可求得答案．

【解答】：證明：（1），

所以，

即是等比數(shù)列，

則的首項為，公比為3，

所以，

所以；

解：（2），

所以①，

②，

①-②得，

所以．

【點評】：本題考查了等比數(shù)列的證明和錯位相減求和，屬于中檔題．18.（問答題，12分）2021年12月17日，工信部發(fā)布的“十四五”促進中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立”百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導中小企業(yè)走向“專精特新”、“小巨人”、“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細化、特色化，新穎化優(yōu)勢的中小企業(yè)下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關數(shù)據(jù)：年份（年）20172018201920202021年份代碼（x）12345新增企業(yè)數(shù)量：（y）817292442（1）請根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程，并預測2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；

（2）若在此地進行考察，考察企業(yè)中有4個為“專精特新”企業(yè)，3個為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個企業(yè)中隨機抽取3個，用X表示抽取的3個為“專精特新”全業(yè)個數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望．

參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計公式分別為，．【正確答案】：

【解析】：（1）求得x，y的平均值，根據(jù)最小二乘法估計公式求得回歸方程的系數(shù)，即可求得答案，將x=7代入回歸直線方程，即可預測2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；

（2）由題意可得X可能取值為0，1，2，3，根據(jù)超幾何分布的概率計算求得X的分布列，進而求得期望．

【解答】：解：（1），，

=75，

，

所以，，

所以，

2023年，即當x=7時，由線性回歸方程可得，

所以估計2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量的為54家；

（2）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，

因為，，，，

所以X的分布列為：X123P所以．

【點評】：本題考查了線性回歸方程和離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．19.（問答題，12分）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．

問題：已知△ABC中，D為AB邊上的一點，且BD=2AD，_______．

（1）若，求∠BCD大小；

（2）若CD=CB，求cos∠ACB．【正確答案】：

【解析】：選條件①②③均可得，（1）設腰長AC=BC=x，則，可得CD的長，可得CD2+BC2=BD2，可得結論；（2）取BD的中點E，連接CE，設AC=2t，由余弦定理cos∠ACB=可求值．

【解答】：解：若選①：

因為asinC=csinA，所以2c=asinC+ccosA=csinA+csinA，

所以，所以，

所以，因為0＜A＜π，所以，

所以，

若選②：

因為，

所以，所以，

因為0＜A＜π，所以，

若選③：

因為ccosB+bcosC=a，

所以，

所以，因為0＜A＜π，

所以，

（1）若，△ABC為等腰三角形，且，

設腰長AC=BC=x，則，

所以，

由余弦定理CD2=BC2+BD2-2BC?BDcosB=x2+x2-2x2=x2，

所以CD2+BC2=BD2，

所以CD⊥BC

所以∠BCD=90°，

（2）取BD的中點E，連接CE，由CB=CD得CE⊥AB，

設AC=2t，在Rt△ACE中，，

，，

AE==t，AB=AE+BE=t，

由余弦定理得．

【點評】：本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．20.（問答題，12分）《九章算術》是中國古代張蒼，耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學專著，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系．在《九章算術?商功》篇中提到“陽馬”這一幾何體，是指底面為矩形，有一條側棱垂直于底面的四棱錐，現(xiàn)有“陽馬”P-ABCD，底面為邊長為2的正方形，側棱PA⊥面ABCD，PA=2，E、F為邊BC、CD上的點，，，點M為AD的中點．

（1）若，證明：面PBM⊥面PAF；

（2）是否存在實數(shù)λ，使二面角P-EF-A的大小為45°？如果不存在，請說明理由；如果存在，求此時直線BM與面PEF所成角的正弦值．【正確答案】：

【解析】：（1）證明面面垂直即證BM⊥面PAF線面垂直，證明線面垂直即證BM⊥AF、PA⊥BM線線垂直；

（2）首先利用二面角PEFA的大小為45°，求出CF、CE的長，然后建立空間直角坐標系，求平面的法向量，然后再求其線面角．

【解答】：（1）證明：時，點E、F為BC及CD的中點．

連接AF與BM交于點G，

在△ABM和△DAF中，AB=ADAM=DF∠BAM=∠ADF=90°，

所以△ABM?△DAF，于是∠ABM=∠FAD．

而∠FAD+∠BAF=90°，

所以∠ABM+∠BAF=90°，

故∠AGB=90°，即BM⊥AF．

又PA⊥面ABCD，BM?面ABCD，

所以PA⊥BM．

因為BM⊥PA，BM⊥AF，PA?面PAF，AF?面PAF，PA∩AF=A，

所以BM⊥面PAF．

又因為BM?面PBM，所以面PBM⊥面PAF．

（2）解：連接AC，交EF于點Q，連接PQ，記BD與AC交于點O，如圖：

因為，，

所以EF||BD，

因為AC⊥BD，

所以AC⊥EF，從而PQ⊥EF，

所以∠AQP為二面角PEFA的一個平面角．

由題意，∠AQP=45°，從而AQ=PA=2，

所以，

于是，

所以，．

如圖，以AB方向為x軸，AD方向為y軸，AP方向為z軸建立空間直角坐標系，

于是P（0，0，2），，，B（2，0，0），M（0，1，0），

，，，

設面PEF的一個法向量是，

由，

取x=1，則y=1，，則．

所以直線BM與面PEF所成角為θ，

則=．

【點評】：本題主要考查線面垂直的證明，空間想象能力的培養(yǎng)，二面角的相關計算，空間向量及其應用等知識，屬于中等題．21.（問答題，12分）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-，0），（，0），圓E是△ABC的內切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，，動點C的軌跡為曲線G．

（1）求曲線G的方程；

（2）設直線l與曲線G交于M、N兩點，點D在曲線G上，O是坐標原點，判斷四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由．【正確答案】：

【解析】：（1）由題意得|CA|+|CB|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，根據(jù)橢圓的定義，即可得a，c的值，根據(jù)a，b，c的關系，可得b值，即可得答案．

（2）由題意得直線l的斜率存在，設直線l方程是y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得x1