無窮限反常積分

關(guān)于無窮限反常積分22.03.20231第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.2023210.1無窮限的反常積分

([積分區(qū)間無限]無窮積分)10.2無界函數(shù)的反常積分

([被積函數(shù)無界]瑕積分)第十章反常積分(廣義積分)第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20233

引例一、無窮積分的概念二、無窮積分的性質(zhì)

三、無窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系四、無窮積分收斂性判別法第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20234

引例：問題：0xy1b即這是積分區(qū)間為[1，+∞）的積分。解：由于這個(gè)圖形不是封閉的曲邊梯形,而在x軸的正方向是開口的，第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20235顯然當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形的面積也隨之改變，則所求曲邊梯形的面積為1.第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20236一、無窮積分的概念.

定義:設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,+)上連續(xù),任取b>a,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在無窮區(qū)間[a,+)上的廣義積分,記作(1)第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20237這時(shí)記號(hào)

不再表示數(shù)值了。

例如：oyxb1這時(shí)也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散,第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20238

類似地,

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù),取a<

b,如果極限存在,(2)

這時(shí)也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散.即f(x)在無窮區(qū)間(,b]上廣義積分,記作則稱此極限為函數(shù)第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.20239設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上連續(xù),

都收斂,則稱上述兩個(gè)廣義積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上廣義積分.(3)如果廣義積分

記作即第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202310

這時(shí),也稱廣義積分收斂;

否則就稱廣義積分發(fā)散.

上述三種廣義積分統(tǒng)稱為:

無窮限的廣義積分（無窮積分）.第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202311解：注:為方便起見,把a(bǔ)boxy第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202312第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202313解:加第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202314證:

當(dāng)

p=1時(shí)當(dāng)

p1時(shí)第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202315結(jié)論類似于p級(jí)數(shù)第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202316練習(xí)1.確定下列無窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202317第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202318第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202319作業(yè)1：下列無窮積分是否收斂？若收斂，算出它們的值.作業(yè)2：求下列無窮積分：第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202320二、無窮積分的性質(zhì)（1）、對(duì)于無窮限積分也有換元法則.（2）、（3）、（4）、第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202321Cauchy收斂原理(準(zhǔn)則)：

和無窮級(jí)數(shù)類似，反常積分也有絕對(duì)收斂和條件收斂的概念：第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202322定理：絕對(duì)收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對(duì)收斂.(見例題8)第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202323三、無窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系知：并且有同一極限值.海涅定理第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202324分析:第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202325第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202326oyx12345第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202327四.無窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.2023282.極限形式:則:第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202329３.柯西判別法:第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.2023304.極限形式:第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202331例4：解：參考函數(shù)第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202332例5：解：第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202333解：加.

討論的收斂性，根據(jù)比較判別法第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202334例6：解：故由柯西判別法極限形式第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202335※第二中值定理（作用相當(dāng)于級(jí)數(shù)中的阿貝爾變換）有阿貝爾判別法判別法與狄利克雷判別法兩種判別法證明需要用如下中值定理第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202336特別地利用第二中值定理可以證明A-判別法和D-判別法第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202337*.阿貝爾判別法了解內(nèi)容第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202338例8：證明：∴由A-判別法知，所討論級(jí)數(shù)收斂.第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202339*.狄利克雷判別法了解內(nèi)容第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202340例7：證明：先證明此積分收斂第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一22.03.202341再證明此積分收斂非絕對(duì)收斂第四十一頁，共