2019年山東省中考數(shù)學真題分類匯編-專題04-三角形-(解析版)

專題04三角形一、選擇題1．（2019山東棗莊）將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C．【解析】解：如圖，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，則∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故選：C．2．（2019山東淄博）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D為BC邊上的一點，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為（）A．2a B．a(chǎn) C．3a D．a(chǎn)【答案】C．【解析】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，解得，△BCA的面積為4a，∴△ABD的面積為：4a﹣a＝3a，故選：C．3．（2019山東青島）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故選：A．4．（2019山東臨沂）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝4，CF＝3，則BD的長是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．故選：B．5．（2019山東棗莊）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′＝1，則A′D等于（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】B．【解析】解：∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD為BC邊的中線，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，則，即，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），故選：B．6．（2019山東泰安）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（）km．A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30【答案】B．【解析】解：根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，如圖，過B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km，故選：B．7．（2019山東聊城）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點A和點B，將三角尺繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)時，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180° C．OE+OF＝BC D．S四邊形AEOF＝S△ABC【答案】C．【解析】解：連接AO，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，點O為BC的中點，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，選項A正確；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，選項B正確；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四邊形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，選項D正確．故選：C．8．（2019山東淄博）如圖，在以A為直角頂點的等腰直角三角形紙片ABC中，將B角折起，使點B落在AC邊上的點D（不與點A，C重合）處，折痕是EF．如圖1，當CD＝AC時，tanα1＝；如圖2，當CD＝AC時，tanα2＝；如圖3，當CD＝AC時，tanα3＝；……依此類推，當CD＝AC（n為正整數(shù)）時，tanαn＝．【答案】．【解答】解：觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母與勾股數(shù)有關(guān)系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中間一個．∴tanαn＝＝．故答案為：．9．（2019山東濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正確；正確的個數(shù)有3個；故選：B．二、填空題10．（2019山東棗莊）如圖，小明為了測量校園里旗桿AB的高度，將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置，在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°，若測角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：過D作DE⊥AB，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案為：9.511．（2019山東德州）如圖，一架長為6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時測得∠ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，則梯子頂端A下移到C，這時又測得∠CDO=50°，那么AC的長度約為米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

【答案】1.02．【解析】解：由題意可得：∵∠ABO=70°，AB=6m，∴sin70°=≈0.94，解得：AO=5.64（m），∵∠CDO=50°，DC=6m，∴sin50°=≈0.77，解得：CO=4.62（m），則AC=5.64-4.62=1.02（m），答：AC的長度約為1.02米．故答案為：1.02．12．（2019山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】8．【解析】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點，∴AD＝BD，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案為：8．13．（2019山東棗莊）把兩個同樣大小含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點A，且另外三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB＝2，則CD＝．【答案】﹣．【解析】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案為：﹣．14．（2019山東聊城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE為△ABC的中位線，延長BC至F，使CF＝BC，連接FE并延長交AB于點M．若BC＝a，則△FMB的周長為．【答案】．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC＝a．∵DE是中位線，∴CE＝a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周長＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．故答案為．三、解答題15．（2019山東淄博）已知，在如圖所示的“風箏”圖案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠E＝∠C．【答案】見解析【解析】證明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠C＝∠E．16．（2019山東菏澤）由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達A處時，測得小島B位于它的北偏東30°方向，且與航母相距80海里再航行一段時間后到達C處，測得小島B位于它的西北方向，求此時航母與小島的距離BC的長．【答案】（120﹣40）海里．【解析】解：過點C作CD⊥AB于點D，由題意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴tan60°＝，∴AD＝，在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝+BD＝80，∴BD＝120﹣40，∴BC＝BC＝120﹣40，答：BC的距離是（120﹣40）海里．17．（2019山東聊城）某數(shù)學興趣小組要測量實驗大樓部分樓體的高度（如圖①所示，CD部分），在起點A處測得大樓部分樓體CD的頂端C點的仰角為45°，底端D點的仰角為30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到達B處，測得頂端C的仰角為63.4°（如圖②所示），求大樓部分樓體CD的高度約為多少米？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）【答案】17米．【解析】解：設(shè)樓高CE為x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE?tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°＝40×，∴CD＝CE﹣DE＝40﹣≈17（米），答：大樓部分樓體CD的高度約為17米．18．（2019山東臨沂）魯南高鐵臨沂段修建過程中需要經(jīng)過一座小山．如圖，施工方計劃沿AC方向開挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側(cè)D（A、C、D共線）處同時施工．測得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的長．【答案】2km．【解析】解：作BE⊥AD于點E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝2km，即BD的長是2km．19．（2019山東濰坊）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度為1：；將斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4．求斜坡CD的長．（結(jié)果保留根號）【答案】米．【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度為1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度為1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝米，答：斜坡CD的長是米．20．（2019山東青島）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB，棧道AB與景區(qū)道路CD平行．在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得棧道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木棧道AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）【答案】134米．【解析】解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延長線于F，則CE∥DF，∵AB∥CD，∴四邊形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°?BD＝80×≈68，BF＝sin32°?BD＝80×≈，∴BE＝EF﹣BF＝，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE?tan42°＝68×＝，∴AB＝AE+BE＝+≈134m，答：木棧道AB的長度約為134m．21．（2019山東威海）如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進汽車貨廂的示意圖．已知汽車貨廂高度BG＝2米，貨廂底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面與地面的夾角∠BAH＝α，木箱的長（FC）為2米，高（EF）和寬都是1.6米．通過計算判斷：當sinα＝，木箱底部頂點C與坡面底部點A重合時，木箱上部頂點E會不會觸碰到汽車貨廂頂部．【答案】不會觸碰到汽車貨廂頂部，理由見解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝，∴AB＝米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于點J，作EK⊥FJ于點K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部頂點E不會觸碰到汽車貨廂頂部．22．（2019山東菏澤）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖1，連接BE，CD，BE的廷長線交AC于點F，交CD于點P，求證：BP⊥CD；（2）如圖2，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當點D落在AB上時，連接BE，CD，CD的延長線交BE于點P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝∠ABE+∠CFP＝90°，∴∠CPF＝90°，∴BP⊥CD；（2）在△ABE與△ACD中，，