坐標(biāo)系 教學(xué)設(shè)計

坐標(biāo)系1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ>0，,y′＝μ>0))的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱__________．2．極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個______O，叫做極點；自極點O引一條______Ox，叫做極軸；再選定一個______單位、一個______單位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的______叫做點M的極徑，記為____；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角______叫做點M的極角，記為____．有序數(shù)對______叫做點M的極坐標(biāo)，記為______．一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為ρ____0，θ可取__________．(3)點與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與______________表示同一個點．特別地，極點O的坐標(biāo)為______________．和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有______種表示．如果規(guī)定ρ>0，________，那么除______外，平面內(nèi)的點可用______的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點也是______確定的．3．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為______，x軸的正半軸作為______，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的__________．(2)互化公式：如圖所示，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(ρ，θ)互化公式x＝__________，y＝__________ρ2＝________，tanθ＝_________4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓圓心為(r,0)，半徑為r的圓圓心為(r，eq\f(π,2))，半徑為r的圓過極點，傾斜角為α的直線(1)__________或__________(2)θ＝α(ρ≥0)和________(ρ≥0)過點(a,0)，與極軸垂直的直線過點(a，eq\f(π,2))，與極軸平行的直線1．在極坐標(biāo)系中，若點A，B的坐標(biāo)分別是(3，eq\f(π,3))，(4，－eq\f(π,6))，則△AOB為________三角形．2．在極坐標(biāo)系中，直線ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________．3．(課本習(xí)題改編)極坐標(biāo)方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲線的直角坐標(biāo)方程為________．4．曲線ρ＝4sinθ與ρ＝2的交點坐標(biāo)是________.題型一平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換例1在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))(1)求點A(eq\f(1,3)，－2)經(jīng)過φ變換所得的點A′的坐標(biāo)；(2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得的直線l′的方程；(3)求雙曲線C：x2－eq\f(y2,64)＝1經(jīng)過φ變換后所得到的曲線C′的焦點坐標(biāo)．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y(tǒng)))后的曲線方程為________．題型二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2(2012·湖南)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，則a＝________.(2013·北京)在極坐標(biāo)系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsinθ＝2的距離等于________．題型三求曲線的極坐標(biāo)方程例3已知P，Q分別在∠AOB的兩邊OA，OB上，∠AOB＝eq\f(π,3)，△POQ的面積為8，則PQ中點M的極坐標(biāo)方程為________．(1)(2012·上海)如圖，在極坐標(biāo)系中，過點M(2,0)的直線l與極軸的夾角α＝eq\f(π,6).若將l的極坐標(biāo)方程寫成ρ＝f(θ)的形式，則f(θ)＝________.(2)(2012·江蘇改編)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)與極軸的交點，則圓C的極坐標(biāo)方程為________．

轉(zhuǎn)化與化歸思想在坐標(biāo)系中的應(yīng)用典例：(5分)(2012·安徽)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ的圓心到直線θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)的距離是________．方法與技巧1．我們在使用伸縮變換時，要分清新舊坐標(biāo)：P′(x′，y′)是變換圖形后的點的坐標(biāo)，P(x，y)是變換前圖形的點的坐標(biāo)．注意從三角函數(shù)的圖象變換來理解抽象的坐標(biāo)伸縮變換公式，以加深理解和記憶．2．曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系的互化思路：對于簡單的我們可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2，但有時需要作適當(dāng)?shù)淖兓鐚⑹阶拥膬蛇呁瑫r平方，兩邊同時乘以ρ等．3．如果要判斷曲線的形狀，我們可以將方程化為直角坐標(biāo)方程再進行判斷，這時我們直接應(yīng)用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ