知識講解正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用提高

正弦、余弦定理在三角形中的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進一步鞏固正弦定理和余弦定理，并能綜合運用兩個定理解決三角形的有關(guān)問題；2.學(xué)會用方程思想解決有關(guān)三角形的問題，提高綜合運用知識的能力和解題的優(yōu)化意識.【要點梳理】要點一：正弦定理和余弦定理的概念①正弦定理公式： a b c 2R（其中R表示三角形的外接圓半徑）sinAsinBsinC②余弦定理公式：第一形式：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC第二形式：b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2aca2b2c2cosC2ab要點二：三角形的面積公式 1 1 1 ①S ahbhch； ABC2 a2 b2 c 1 1 1 ②S bcsinAabsinCacsinB； ABC2 2 2要點三：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形.特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論.在ABC中，已知a,b和A時，解的情況主要有以下幾類： absinA 無解absinA 一解(直角)①若A為銳角時： bsinAab二解(一銳，一鈍) ab 一解(銳角)absinAab一解一解bsinAababsinA兩解無解ab無解 ②若A為直角或鈍角時： 要點四：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：a2b2c2，互余關(guān)系：AB900，cosC0，sinC1；（2）等腰三角形ab，AB；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角A的余弦值的符號）b2c2a2在ABC中，00A900cosA0b2c2a2；2bcb2c2a2在ABC中，A900cosA0b2c2a2；2bcb2c2a2在ABC中，900AcosA0b2c2a2；2bc要點五：解三角形時的常用結(jié)論ABC在ABC中，ABC1800，9002在ABC中ABabsinAsinBcosAcosB;互補關(guān)系：sin(A+B)=sin(1800C)sinC，cos(A+B)cos(1800C)cosC，tan(A+B)tan(1800C)tanC； AB C C互余關(guān)系：sinsin(900)cos， 2 2 2 AB C Ccoscos(900)sin， 2 2 2 AB C Ctantan(900)cot. 2 2 2【典型例題】類型一：利用正、余弦定理解三角形例1.△ABC中，c6,A=45°，a=2，求b和B，C.【思路點撥】本題已知邊邊角，用正弦定理比較簡單，但要注意結(jié)合三角形中大邊對大角定理以及有解、無解的圖形來考慮。【解析】解法一：正弦定理 a c26=3由 得 ，所以sinC= .26=3若C=60°，則B=75°，bsinBsin7531,sinA sin45a 2若C=120°，則B=15°，bsinBsin1531.sinA sin45解法二：余弦定理a2b2c22bccosAb2623b4，解得b=31, a2c2b2 6-2 若b31，則cosB= = ，所以B=75，C=60 2ac 4 a2c2b2 6+2 若b31,則cosB= = ，所以B=15，C=120. 2ac 4解法三：正余弦定理a2b2c22bccosAb2623b4，解得b=313 a b c 6+23 若b31，則由 = = ，得sinB= ,sinC= , sinAsinBsinC 4 2∵b>c>a，所以B>C>A，所以B=75°，C=60°；3 a b c 6-23 若b31，則由 = = ，得sinB= ,sinC= , sinAsinBsinC 4 2∵c>a>b，所以C>A>B，所以B=15°，C=120°.【總結(jié)升華】①解三角形時，對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路.但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論.②解三角形時，要留意三角形內(nèi)角和為180°、同一個三角形中大邊對大角等性質(zhì)的應(yīng)用。舉一反三：【變式1】在ABC中，若a2，b22，c62，求角A和sinC． b2c2a2 88434 3 【答案】根據(jù)余弦定理：cosA ， 2bc 222(62)2∵0oA180o，csinA(62)sin30o(62)∴A30o，sinC 。a 2 4【變式2】（2015天津高考）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知ABC的面1積為315，bc2,cosA,則a的值為.4【答案】因為0A，所以sinA1cos2A15，4 1 15bc2又S bcsinAbc315,bc24，解方程組 得b6,c4，由余弦定理得 ABC2 8bc241 a8.a2b2c22bccosA624226464，所以4例2．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．(Ⅰ)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(Ⅱ)若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值．【思路點撥】(1)因為a，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,利用正弦定理用角表示邊。（2）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以ac=b2,利用余弦定理用邊表示角，然后利用基本不等式求解。1【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)2【解析】(Ⅰ)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，利用正弦定理化簡得：2sinB＝sinA＋sinC，∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sinB＝2sin(A＋C)；(Ⅱ)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，a2c2b2a2c2ac2acac1∴cosB ， 2ac 2ac 2ac 2當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立，1∴cosB的最小值為．2【總結(jié)升華】對于三角形中邊角的最大值或最小值問題可以運用正弦定理或余弦定理建立所求變量與三角形的角或邊之間的函數(shù)關(guān)系，利用正、余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)或基本不等式的知識解決問題。舉一反三：【變式】在ABC中，三內(nèi)角滿足的方程(sinBsinA)x2(sinAsinC)x(sinCsinB)0有兩個相等的根。求證：角B不大于3當(dāng)角B取最大值時，判斷ABC的形狀【答案】sinCsinB由韋達定理得1,即2sinBsinAsinC，sinBsinA由正弦定理，有2b=a+cac)a2c2b2a2c2(2)23(a2c2)2ac6ac2ac1 由余弦定理得cosB= 2ac 2ac 8ac 8ac 2∴0B3當(dāng)角B取最大值時，B，且a=c，易知ABC為正三角形3類型二：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3．在△ABC中，根據(jù)下面條件決定三角形形狀.(a2b2)sinA(B)(a2b2)sinA(B).【思路點撥】題目中給的是角與邊的混合關(guān)系式，可用正弦定理化簡成單一的角的關(guān)系，然后判斷.【解析】∵(a2b2)sinA(B)(a2b2)sinA(B),∴2a2sinBcosA2b2sinAcosB，由正弦定理得：sin2AsinBcosAsin2BsinAcosB,∵ABC中，sinA0,sinB0,∴sinAgcosAsinBgcosB,即sin2Asin2B，∴2A=2B或2A2B,即：A=B或AB，2∴ABC是等腰三角形或直角三角形.【總結(jié)升華】要判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？是否符合勾股定理？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩個角相等？是否三個角相等？有無直角或鈍角？解題的思想方法是：從條件出發(fā)，利用正、余弦定理等進行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運算，找出邊與邊的關(guān)系或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷。一般有兩種轉(zhuǎn)化方向：要么轉(zhuǎn)化為邊，要么轉(zhuǎn)化為角。判斷三角形形狀時，用邊做、用角做均可。一般地，題目中給的是角，就用角做；題目中給的是邊，就用邊做，邊角之間的轉(zhuǎn)換可用正弦定理或余弦定理。sinsin或，不要丟解。舉一反三：【變式】已知△ABC中acosAbcosB，試判斷△ABC的形狀.【答案】方法一：用余弦定理化角為邊的關(guān)系 b2c2a2 a2c2b2由acosAbcosB得ab， 2bc 2ac整理得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2)0，當(dāng)a2b20時，ABC為等腰三角形；當(dāng)a2b2c20即a2b2c2時，則ABC為直角三角形；綜上：ABC為等腰三角形或直角三角形。方法二：用正弦定理化邊為角的關(guān)系 a b 由正弦定理得： 2RsinAsinB即a2RsinA，b2RsinB∵acosAbcosB，∴2RsinAcosA2RsinBcosB即sin2Asin2B∵A、B（0，）∴2A2B或2A2B，即AB或AB2故ABC為等腰三角形或直角三角形。例4.(2016平果縣模擬)已知在銳角ABC中,a,b,c為角A,B,C所對的邊,且b2ccosAa2acos2B2(1)求角A的值;(2)若a3,則求bc的取值范圍.【答案】（1）3（2）3,23【思路點撥】（1）在銳角ABC中，根據(jù)條件利用正弦定理可得sinB2sinCcosAsinA(cosB)，化簡可得cosA1，由此可得A的值。2（2）由正弦定理可得bca2，可得bc2sinBsinC23sin(B)，sinBsinCsinA60B2 再由 ，求得B的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得bc的取值范圍。02B 3 2【解析】（1）在銳角ABC中，根據(jù)b2ccosAa2acos2Ba2a1cosB, 2 2利用正弦定理可得sinB2sinCcosAsinA(cosB)，即sinBcosAcosBsinA2sinCcosA，即sin(AB)2sinCcosA，即sinC2sinCcosA,cosA,A.3 b c a 若a3,則由正弦定理可得 2，sinBsinCsinA 2bc2(sinBsinC)2sinBsin(3B)=3sinB3cosB23sin(B)。6 0B2 2 由于 ，求得B,B. 02B6 2 3 6 3 3 2sin(B6)23,1,bc3,23.舉一反三：【變式】（2016唐山一模）在如圖所示的四邊形ABCD中，BAD900,BCD1200,（1）求用含的代數(shù)式表示DC；（1）求用含的代數(shù)式表示DC；（2）求BCD面積S的最小值【答案】（1）在ADC中，ADC360090012001500， DC AC DC 2 由正弦定理可得 ，即 ， sinDAC sinADC sin300sin(1500)1于是：DC .sin(1500)3AC BC（2）在ABC中，由正弦定理得