第十六講等差、等比數(shù)列原卷版

第十六講：等差、等比數(shù)列【考點梳理】1.數(shù)列的前項和為與通項公式為若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．2.等差數(shù)列（1）如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．（2）通項公式的推廣：．（3）等差中項若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．（4）等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列中，當(dāng)時，．特別地，若，則．（5）等差數(shù)列的前項和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和．（6）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．3.等比數(shù)列（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．（3）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當(dāng)時，．（4）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為【典型題型講解】考點一：等差、等比數(shù)列基本量運算【典例例題】例1．（2022·廣東汕頭·一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．5例2．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【方法技巧與總結(jié)】等差、等比數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略：（1）求公差公比或項數(shù)．在求解時，一般要運用方程思想．（2）求通項．和或是等差數(shù)列的兩個基本元素．（3）求特定項．利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項和．利用等差數(shù)列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東深圳·一模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則數(shù)列的公差_________．2．（2022·廣東中山·高三期末）已知為正項等比數(shù)列，且，設(shè)為該數(shù)列的前項積，則（

）A．8 B．16 C．32 D．643．（2022·廣東潮州·高三期末）等差數(shù)列的前n項和，若的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·廣東汕頭·高三期末）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東中山·高三期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為________．6.（2022·廣東揭陽·高三期末）在等差數(shù)列中，分別是方程的兩個根，則__________.7.（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)是首項為2的等比數(shù)列，是其前n項和．若，則_________．8.（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等差數(shù)列的前n項和是，且，則______．9．（2022·廣東珠?！じ呷谀┑炔顢?shù)列前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，求n的最小值．10．（2022·廣東揭陽·高三期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和.11．（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前n項和．在這兩個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)12．（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項的和.13．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等比數(shù)列滿足是的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.14．（2022·廣東汕頭·高三期末）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，當(dāng)時，，求數(shù)列的前n項和15．（2022·廣東惠州·一模）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若且，求集合A中所有元素的和..考點二：等差、等比數(shù)列的判定或證明【典例例題】例1．（2022·廣東·一模）已知正項數(shù)列，其前n項和滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項，，，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.例2．（2022·廣東茂名·一模）已知數(shù)列，滿足，，且，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列，的通項公式．【方法技巧與總結(jié)】1.等差、等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列；2.等差、等比中項證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列。【變式訓(xùn)練】1．（多選）（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，前項和為，下列判斷正確的有（

）A．為等比數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．若，則2．（多選）（2022·廣東深圳·高三期末）已知d為等差數(shù)列的公差，為其前n項和，若為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列 D．若，，則3．（多選）（2022·廣東佛山·高三期末）數(shù)列中，.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．4.（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；(2)設(shè)，證明：.5．（2022·廣東深圳·一模）已知數(shù)列的首項，且滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．6．（2022·廣東深圳·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記的前n項和為，若，均有，求實數(shù)的最小值．7．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，、、成等差數(shù)列.(1)求證：、、成等差數(shù)列；(2)若，是數(shù)列的前項積，求的最大值及相應(yīng)的值.8.已知數(shù)列{an}滿足(1)問數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.考點三：等差、等比綜合應(yīng)用【典例例題】例1.在①，②這兩個條件中，任選一個補充在下面的問題中，并解答．已知正項等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，_________，求．注：如果選擇兩個條件并分別作答，按第一個解答計分．【方法技巧與總結(jié)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．2.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．3．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．4．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為2的等比數(shù)列，且．設(shè)數(shù)列滿足，其中，其前n項和為．(1)求的值．(2)若，求證：．5．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列，與的等差中項為，且．(1)求的通項公式；(2)從中依次取出第項、第項、第項、…、第項，按照原來的順序組成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【鞏固練習(xí)】一、選擇題：1．若，，，成等比數(shù)列，則下列三個數(shù)列：①；②；③，必成等比數(shù)列的個數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列是首項為1的正項等差數(shù)列，公差不為0，若、數(shù)列的第2項、數(shù)列的第5項恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的前項和為．若，，則（

）A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，，，則下列選項不正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．C．是等比數(shù)列 D．選擇題：6．若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列7．已知等差數(shù)列的公差和首項都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，，則有（

）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．三、填空題：9．在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的公比為______．10．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，且，則λ＝________.四、解答題：11.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，．(1)求，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．12.已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．13.已知數(shù)列和，其中