基本不等式其應(yīng)用知識梳理典型練習(xí)題(含解答)

基本不等式及其應(yīng)用1．基本不等式a＋b若a>0,，b>0，則2≥

ab，當且僅當

時取“＝”．這必定理表達為：兩個正數(shù)的算術(shù)均勻數(shù)

它們的幾何均勻數(shù)．注：運用均值不等式求最值時，一定注意以下三點：(1)各項或各因式均正；（一正）(2)和或積為定值；（二定）(3)等號建立的條件存在：含變數(shù)的各項均相等，獲得最值．（三相等）2．常用不等式22(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)．(2)ababa,b02和ab≥注：不等式a2＋b2≥ab它們建立的條件不一樣，前者只需求、2ab2ab都是實數(shù)，爾后者要求a、b都是正數(shù).其等價變形：ab≤（ab）2.22(3)ab≤ab(a，b∈R)．2ba(4)a＋b≥2(a，b同號且不為0)．(5)a2a2＋b2b2(a，b∈R).2（6）a2b2a2bab21a,b021aba3＋b3＋c3a,b,c0abc≤3;(7)a＋b＋c30(8)3≥abc；a,b,c3．利用基本不等式求最大、最小值問題(1)求最小值：a>0，b>0，當ab為定值時，22＋b≥，a＋b≥.

a＋b，a2＋b2有

，即

a(2)求最大值：

a＞0，b＞0，當

a＋b為定值時，

ab

有最大值，即

；或a2＋b2為定值時，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.設(shè)a，b∈R，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是( )A.6B.42C.22D.26解：因為2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，當且僅當a＝b＝32時取等號，應(yīng)選B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，則ab的最大值為( )1A.2B.11解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤2.當且僅當a1＝1，b＝2時等號建立.應(yīng)選A.小王從甲地到乙地來回的時速分別為a和b(a＜b)，其全程的均勻時速為v，則( )A.a＜v＜abB.v＝aba＋ba＋bC.ab＜v＜2D.v＝2解：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.2s2ab2ab∵a＜b，∴v＝ss＝＋＜2＝ab.a＋b222又v－a＝2ab－a＝ab－a＞a－a＝0，∴v＞a.應(yīng)選A.a＋ba＋ba＋b2014·上海若實數(shù)，知足＝，則2＋2y2的最小值為________.()xyxy1x2，當且僅當＝±4時等號建立故填2xx22.22.點(m，n)在直線x＋y＝1位于第一象限內(nèi)的圖象上運動，則log2m＋log2n的最大值是________.解：由條件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤m＋n212＝，41當且僅當m＝n＝2時取等號，1∴l(xiāng)og2m＋log2n＝log2mn≤log24＝－2，故填－2.種類一利用基本不等式求最值（x＋5）（x＋2）(1)求函數(shù)y＝(x＞－1)的值域.x＋1解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，則m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4＋5≥2m·4＋5＝9，當且僅當m＝2時取等號，故ymin＝9.mm又當m→＋∞或m→0時，y→＋∞，故原函數(shù)的值域是[9，＋∞).(2)以下不等式必定建立的是

(

)A.lg

21x＋4>lgx(x>0)

1B.sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R)D.x2＋11>1(x∈R)解：A中，x2＋14≥x(x＞0)，當x＝12時，x2＋14＝x.1B中，sinx＋sinx≥2(sinx∈(0，1])；1sinx＋sinx≤－2(sinx∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).1D中，x2＋1∈(0，1](x∈R).故C必定建立，應(yīng)選C.點撥：這里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋c的最值問題，只需分母x＋d＞0，都能夠?qū)＋def(x)轉(zhuǎn)變?yōu)閒(x)＝a(x＋d)＋x＋d＋h(這里ae＞0；若ae＜0，能夠直接利用單一性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)切記基本不等式使用條件——一正、二定、三相等，特別注意等號建立條件要存在.t2－4t＋1(1)已知t＞0，則函數(shù)f(t)＝的最小值為.t2解：∵t＞0，∴f(t)＝t－4t＋1＝t＋1－4≥－2，tt當且僅當t＝1時，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.82解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x＞0，y＞0，則1＝8＋2≥28·2＝8，得xy≥64，xyxyxy當且僅當x＝4y，即x＝16，y＝4時等號建立.8y(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝y(tǒng)－2，∵x＞0，∴y＞2，則x＋y＝y(tǒng)＋y－8y2＝(y－2)＋y16－2＋10≥18，當且僅當y－2＝y(tǒng)16－2，即y＝6，x＝12時等號建立.2解法二：由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，822x8y2x8y則x＋y＝x＋y·(x＋y)＝10＋y＋x≥10＋2y·x＝18，當且僅當y＝6，x＝12時等號建立.種類二利用基本不等式求相關(guān)參數(shù)范圍若對于x的不等式(1＋k2≤4＋4的解集是M，則對隨意實常數(shù)k，)xk總有( )A.2∈M，0∈MB.2?M，0?MC.2∈M，0?MD.2?M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2≤4＋4?x≤k4＋4＝(k2＋1)＋25－2)xkk＋1k＋12?x≤（k2＋1）＋25－2＝25－2(當且僅當k2＝5－1時取等號).k＋1min解法二(代入法)：將x＝2，x＝0分別代入不等式中，判斷對于k的不等式解集能否為R.應(yīng)選A.點撥：一般地，對含參的不等式求范圍問題往常采納分別變量轉(zhuǎn)變?yōu)楹憬栴}，對于“恒建立”的不等式，一般的解題方法是先分別而后求函數(shù)的最值.此外，要記著幾個常有的相關(guān)不等式恒建立的等價命題：(1)a＞f(x)恒建立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒建立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，此中e是自然對數(shù)的底數(shù).若對于x的不等式－xmf(x)≤e＋m－1在(0，＋∞)上恒建立，務(wù)實數(shù)m的取值范圍.x－x－x解：由條件知m(e＋e－1)≤e－1在(0，＋∞)上恒建立.令t＝ex＞0)，則＞，且≤－2t－1＝－1對隨意t＞1(xt1mt－t＋11t－1＋t－1＋1建立.∵t－1＋1＋1≥2（t－1）·1＋1＝3，t－1t－111∴－1≥－3，t－1＋t－1＋1當且僅當t＝2，即x＝ln2時等號建立.故實數(shù)m的取值范圍是－∞，－13.種類三利用基本不等式解決實質(zhì)問題圍建一個面積為360m2的矩形場所，要求矩形場所的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其余三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的出入口，如下圖，已知舊墻的維修花費為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)，修筑此矩形場所圍墻的總花費為y(單位：元).(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確立x，使修筑此矩形場所圍墻的總花費最小，并求出最小總花費.解：(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長為am，則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.360由已知xa＝360，得a＝x，2所以y＝225x＋360x－360(x≥2).36022(2)∵x≥0，∴225x＋x≥2225×360＝10800，3602∴y＝225x＋x－360≥10440，當且僅當225x＝3602，即x＝24時等號建立.x答：當x＝24m時，修筑圍墻的總花費最小，最小總花費是10440元.如圖，為辦理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2m的無蓋長方體的積淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)積淀后從B孔排出，設(shè)箱體的長度為am，高度為bm，已知排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱資料60m2，問a，b各為多少m時，經(jīng)積淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔面積忽視不計).解法一：設(shè)y為排出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，k依據(jù)題意可知：y＝ab，此中k是比率系數(shù)且k＞0.依題意要使y最小，只需ab最大.由題設(shè)得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.當且僅當a＝2b時取“＝”號，ab最大值為18，此時得a＝6，b＝3.故當a＝6m，b＝3m時經(jīng)積淀后排出的水中雜質(zhì)最少.30－ak解法二：同解法一得b≤a＋2，代入y＝ab求解.11.若a＞1，則a＋a－1的最小值是()2aD.a－1解：∵a＞1，∴a＋1＝a－1＋1＋1≥2（a－1）·1＋1＝2＋1＝a－1a－1a－13，當a＝2時等號建立.應(yīng)選C.2.設(shè)a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，則以下各式正確的選項是()22＜222222a＋b≤a＋b＜＜a＋ba＋b≤1A.ab＜1＜2B.ab12C.1ab2D.ab≤2解：運用不等式ab≤a＋b2222≤22由?ab≤1以及(a＋b)≤2(a＋b＋b(2)?2a2＋b2于a≠b，所以不可以取等號)得，ab＜1＜a2，應(yīng)選A.函數(shù)f(x)＝5－4x＋x2在(－∞，2)上的最小值是()3.2－xA.0B.1C.2D.31＋（4－4x＋x2）1解：當x＜2時，2－x＞0，所以f(x)＝2－x＝2－x＋(2－x)≥2·11＝2－x時上式取等號.而此方程有解x2－x·（2－x）＝2，當且僅當2－x＝1∈(－∞，2)，所以f(x)在(－∞，2)上的最小值為2，應(yīng)選C.4.(2014·福建)要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A.80元B.120元C.160元D.240元4解：假定底面的長、寬分別為xm，xm，由條件知該容器的最低總造價為80y＝80＋20x＋x≥160，當且僅當?shù)酌孢呴Lx＝2時，總造價最低，且為160元.應(yīng)選C.5.以下不等式中正確的選項是()babaA.若a，b∈R，則a＋b≥2a·b＝2B.若x，y都是正數(shù)，則lgx＋lgy≥2lgx·lgy44C.若x<0，則x＋x≥－2x·x＝－4D.若x≤0，則x－xx－x＝22＋2≥22·2解：對于A，a與b可能異號，A錯；對于B，lgx與lgy可能是負數(shù)，B錯；對于C，應(yīng)是x＋4＝－（－x）＋4≤－2（－x）·4＝－4，C錯；對于x－x－xx－xx－x＝2建立(x＝0時取等號).應(yīng)選D.D，若x≤0，則2＋2≥22·26.(2014·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2ab，則a＋b的最小值是()A.6＋23B.7＋23C.6＋43D.7＋43解：因為log4＋4b)＝log2ab，所以44(3alog(3a＋4b)＝log(ab)，即3a＋4b3a＋4b＞0，43＝ab，且ab＞0，即a＞0，b＞0，所以a＋b＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋4＋3＝7＋4b3a7＋24b3a＝7＋43，當且僅當4b＝3ab)aba＋b≥a·ab時取等號.應(yīng)選bD.x7.若對隨意x＞0，x2＋3x＋1≤a恒建立，則a的取值范圍是.1解：因為x＞0，所以x＋x≥2(當且僅當x＝1時取等號)，所以有2＋x111＋＝1≤＝5，x3x1x＋x＋32＋3x11即x2＋3x＋1的最大值為5，故填a≥5.(2014·四川)設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________.解：易知定點A(0，0)，B(1，3).且不論m取何值，兩直線垂直.所以不論P與A，B重合與否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB為直徑的圓上).122所以|PA|·|PB|≤2(|PA|＋|PB|)＝5.當且僅當|PA|＝|PB|＝

5時，等號建立

.故填

5.49.(1)已知0＜x＜3，求x(4－3x)的最大值；(2)點(x，y)在直線x＋2y＝3上挪動，求2x＋4y的最小值.4解：(1)已知0＜x＜3，∴0＜3x＜4.113x＋4－3x24∴x(4－3x)＝3(3x)(4－3x)≤32＝3，2當且僅當3x＝4－3x，即x＝3時“＝”建立.24∴當x＝3時，x(4－3x)取最大值為3.(2)已知點(x，y)在直線x＋2y＝3上挪動，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝223＝42.2x＝4y，33當且僅當x＋2y＝3，即x＝2，y＝4時“＝”建立.∴當x＝32，y＝34時，2x＋4y取最小值為42.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤42，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2－1112ab＋4ab－1≤2.當且僅當a＝4，b＝2時，等號建立.11.如圖，動物園要圍成同樣的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其余各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的資料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24