20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課(一)推理與證明教案(含解析)北師大版

復(fù)習(xí)課(一)推理與證明概括與類比近幾年的高考取概括推理和類比推理有時考察，考察的形式以填空題為主，此中概括推理出現(xiàn)的頻次較高，要點(diǎn)考察概括、猜想、研究、類比等創(chuàng)新能力．[考點(diǎn)精要]1．概括推理的特色及一般步驟2．類比推理的特色及一般步驟[典例](1)察看以下等式：11－2＝2，111111－2＋3－4＝3＋4，1－1＋1－1＋1－1＝1＋1＋1，23456456，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為___________________________________________．S1(2)在平面幾何中有以下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則S21＝4，推行到空間能夠獲取近似結(jié)論：已知正四周體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為2，則V1＝________.VV2[分析](1)等式的左側(cè)的通項(xiàng)為1111111；2－1－2，前n項(xiàng)和為1－2＋3－4＋＋2－1－2nnnn1111右側(cè)的每個式子的第一項(xiàng)為n＋1，共有n項(xiàng)，故為n＋1＋n＋2＋＋n＋n.(2)正四周體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故V1＝1227.V11111111[答案](1)1－2＋3－4＋＋2n－1－2n＝n＋1＋n＋2＋＋2n1(2)27[類題通法]用概括推理可從詳細(xì)案例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅依據(jù)一系列有限的特別案例，所得出的一般結(jié)論不必定靠譜，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過嚴(yán)格的理論證明．進(jìn)行類比推理時，要盡量從實(shí)質(zhì)上思慮，不要被表面現(xiàn)象所誘惑，不然，只抓住一點(diǎn)表面的相像甚至設(shè)想就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤．[題組訓(xùn)練]1．蜜蜂被以為是自然界中最優(yōu)秀的建筑師，單個蜂巢能夠近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．此中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(shù)．則f(4)＝________，f(n)＝________.分析：因?yàn)閒(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋12．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則有性質(zhì)“若Sm＝Sn(m，n∈N＋且m≠n)，則Sm＋n＝0.”類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，當(dāng)數(shù)列

{bn}為等比數(shù)列時，寫出一個正確的性質(zhì)：____________________.答案：數(shù)列

{bn}為等比數(shù)列，

Tm表示其前

m項(xiàng)的積，若

Tm＝Tn(m，n∈N＋，m≠n)，則

Tm＋n＝1綜合法與剖析法綜合法與剖析法是高考要點(diǎn)考察內(nèi)容，一般以某一知識點(diǎn)作為載體，考察由剖析法獲取解題思路以及用綜合法有條理地表達(dá)證明過程．理解綜合法與剖析法的觀點(diǎn)及差別，掌握兩種方法的特色，領(lǐng)會兩種方法的相輔相成、辯證一致的關(guān)系，以便嫻熟運(yùn)用兩種方法解題．[考點(diǎn)精要]綜合法：是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ饰龇ǎ菏怯山Y(jié)論追憶到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)識題時，常把它們聯(lián)合起來使用，用剖析法證明數(shù)學(xué)識題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，經(jīng)常用“要證(欲證)”“即要證”“只需證”平剖析到一個顯然建立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)識題成立．[典例]設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，111求證：a＋b＋ab≥8.[證明]法一：綜合法因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，111所以1＝a＋b≥2ab，ab≤2，ab≤4，所以ab≥4，1111ba又a＋b＝(a＋b)a＋b＝2＋a＋b≥4，1111所以a＋b＋ab≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時等號建立)．法二：剖析法111因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，要證a＋b＋ab≥8.1a＋b只需證a＋b＋ab≥8，只需證

11a＋b＋

11b＋a

≥8，1即證a＋b≥4.a＋ba＋b也就是證a＋b≥4.a即證a＋b≥2，a由基本不等式可知，當(dāng)a>0，b>0時，a＋b≥2建立，所以原不等式建立．[類題通法]綜合法和剖析法的特色綜合法和剖析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)識題的常用的方法，綜合法是由因?qū)Ч乃枷敕绞剑饰龇ǖ乃悸非『孟喾?，它是?zhí)果索因的思想方式．剖析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：剖析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)弊端．剖析法簡單探路，且探路與表述合一，弊端是表述易錯；綜合法條理清楚，易于表述，所以關(guān)于難題常把二者交互運(yùn)用，互補(bǔ)優(yōu)缺，形成剖析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必需條件．[題組訓(xùn)練]1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求證：d＋a＜b＋c.證明：要證d＋a＜b＋c，22只需證(d＋a)＜(b＋c)，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需證ad＜bc，即ad＜bc，設(shè)a＋d＝b＋c＝t，則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故＜bc建立，進(jìn)而d＋a＜＋c建立．a(chǎn)db2．定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x>0時，f(x)>1，且對隨意的a，b∈R有(a＋b)＝f(a)·f(b)．證明：f(0)＝1；證明：對隨意的x∈R，恒有f(x)>0.證明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.由已知當(dāng)x>0時，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故當(dāng)x≥0時，f(x)>0建立．當(dāng)x<0時，－x>0，所以f(－x)>1，1而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝f－x，可得0<f(x)<1.綜上，對隨意的x∈R，恒有f(x)>0建立．反證法反證法是證明問題的一種方法，在高考取極少獨(dú)自考察，常用來證明解答題中的一問．反證法是間接證明的一種基本方法，使用反證法進(jìn)行證明的要點(diǎn)是在正確的推理下得出矛盾．[考點(diǎn)精要]1．使用反證法應(yīng)注意的問題：利用反證法證明數(shù)學(xué)識題時，要假定結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒實(shí)用假定命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的．2．一般以下題型用反證法：當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”自己更簡單、更詳細(xì)、更明確；否認(rèn)性命題、獨(dú)一性命題，存在性命題、“至多”“起碼”型命題；有的必定形式命題，因?yàn)橐阎蚪Y(jié)論波及無窮個元素，用直接證明比較困難，常常用反證法．[典例](1)否認(rèn)：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為( )A．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)C．a(chǎn)，b，c中起碼有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或起碼有兩個偶數(shù)已知：ac≥2(b＋d)．求證：方程x2＋ax＋b＝0與方程x2＋cx＋d＝0中起碼有一個方程有實(shí)數(shù)根．[分析](1)自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情況：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否認(rèn)“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為“，，c中都是奇數(shù)或起碼有兩個偶數(shù)．”ab[答案]D(2)證明：假定雙方程都沒有實(shí)數(shù)根．則1＝a2－4b<0與2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋)，而a2＋c2≥2，dac進(jìn)而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，與已知矛盾，故原命題建立．[類題通法]反證法是利用原命題的否命題不建立則原命題必定建立來進(jìn)行證明的，在使用反證法時，一定在假定中排列出與原命題相異的結(jié)論，缺乏任何一種可能，反證法都是不完整的．[題組訓(xùn)練]2121．已知x∈R，a＝x＋，b＝2－x，c＝x－x＋1，試證明a，b，c起碼有一個不小于1.證明：假定a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則有a＋b＋c＜3，而a＋＋＝2x2－2＋1＋3＝2x－12＋3≥3，bcx22二者矛盾，所以假定不建立，故a，b，c起碼有一個不小于1.2．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都為整數(shù)，已知f(0)，f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)＝0無整數(shù)根．證明：假定方程f(x)＝0有一個整數(shù)根k，則ak2＋bk＋c＝0，f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都為奇數(shù)，∴a＋b必為偶數(shù)，ak2＋bk為奇數(shù)．當(dāng)k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)，則ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必為偶數(shù)，與ak2＋bk為奇數(shù)矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，則ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與ak2＋bk為奇數(shù)矛盾．綜上可知方程f(x)＝0無整數(shù)根.數(shù)學(xué)概括法數(shù)學(xué)概括法在近幾年高考試題中都有所表現(xiàn)，常與數(shù)列、不等式聯(lián)合在一同考察，一般波及通項(xiàng)公式的求解，有關(guān)等式、不等式的證明等，考察模式一般為“概括——猜想——證明”．?dāng)?shù)學(xué)概括法是一種特別的直接證明的方法，在證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時，常常是特別實(shí)用的研究工具．在使用時注意“概括奠定”和“概括遞推”兩個步驟缺一不可．[考點(diǎn)精要]定義：數(shù)學(xué)概括法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)識題．證明時，它的兩個步驟缺一不行．它的第一步(概括奠定)n＝n0時結(jié)論建立．第二步(概括遞推)假定n＝k時，結(jié)論建立，推得n＝k＋1時結(jié)論也建立．注意問題：①＝0時建立，要弄清楚命題的含義．nn②由假定n＝k建立證n＝k＋1時，要推導(dǎo)詳確，而且必定要運(yùn)用n＝k建立的結(jié)論．③要注意n＝k到n＝k＋1時增添的項(xiàng)數(shù)．[典例]axn＋1n1＋設(shè)a>0，f(x)＝a＋x，令a＝1，a＝f(a)，n∈N.寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；用數(shù)學(xué)概括法證明你的結(jié)論．[解](1)∵a1＝1，a∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a；aaa3＝f(a2)＝2＋a；a4＝f(a3)＝3＋a.a猜想an＝n－＋a(n∈N＋)．證明：①易知，n＝1時，猜想正確．②假定n＝k(k∈N＋)時猜想正確，即a，ak＝k－＋aa·a·ak－＋a則ak＋1＝f(ak)＝a＝＋aaa＋k－＋aaa＝k－＋a＋1＝k＋－1]＋a.這說明，n＝k＋1時猜想正確．由①②知，關(guān)于任何nn－an∈N＋，都有a＝＋a.[類題通法]與“概括—猜想—證明”有關(guān)的常用題型的辦理策略與函數(shù)有關(guān)的證明：由已知條件考證前幾個特別值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)概括法證明．與數(shù)列有關(guān)的證明：利用已知條件，當(dāng)直接證明遇阻時，可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)概括法．[題組訓(xùn)練]1．設(shè)數(shù)列nnn都有：n2nn{a}的前n項(xiàng)和為S，且對隨意的自然數(shù)(S－1)＝aS，經(jīng)過計算1，2，3，猜想n＝________.SSSS分析：由(1－1)221＝1得：1＝；SSS2由(S－1)2＝(S－S)S得：S＝3；221222由(S－1)2＝(S－S)S得：S＝4.332333n猜想Sn＝n＋1.n答案：n＋12．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，關(guān)于全部的2建立．n∈N＋均有an≤an－an＋1(1)證明：數(shù)列{an}中的隨意一項(xiàng)都小于1；1(2)研究an與n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：由a2得n＋12n≤n－n＋1≤n－n.aaaaa∵在數(shù)列{an}中，an>0，an＋1>0，2>0，∴n－naa∴0<an<1，故數(shù)列{a}中的任何一項(xiàng)都小于1.n(2)由(1)知0<a<1，1212111那么a2≤a1－a1＝－a1－2＋4≤4<2，1由此猜想an<n.下邊用數(shù)學(xué)概括法證明：當(dāng)n≥2，且n∈N＋時猜想正確．①當(dāng)n＝2時已證；②假定當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時，111有ak<k建立，即k≤2，那么a≤a2a121112111k－1k－11k＋1kkk－－∴當(dāng)n＝k＋1時，猜想正確．1綜上所述，關(guān)于全部n∈N＋，都有an<n.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，所以f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理( )A．結(jié)論正確B．大前提不正確C．小前提不正確D．全不正確分析：選C因?yàn)閒(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.2．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝an－1＋2n－1，挨次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()nn2A．a(chǎn)＝3n－2B．a(chǎn)＝nn－1D．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝3分析：選B求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.xy3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程a＋b＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，在，，軸上的截距分別為，，(≠0)的平面方程為( )xyzabcabcxyzxyzA.a＋b＋c＝1B.ab＋bc＋ca＝1xyyzzxD．a(chǎn)x＋by＋cz＝1C.ab＋bc＋ca＝1分析：選A類比到空間應(yīng)選A.此外也可將點(diǎn)(a,0,0)代入考證．4．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0起碼有一個實(shí)根”時，要做的假定是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰巧有兩個實(shí)根分析：選A起碼有一個實(shí)根的否認(rèn)是沒有實(shí)根，故要做的假定是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”．5．來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，恰巧碰在一同．他們除懂本國語言外，每人還會說其余三國語言中的一種．有一種語言是三個人會說的，但沒有一種語言四人都懂，現(xiàn)知道：①甲是日自己，丁不會說日語，但他倆能自由談話；②四人中沒有一個人既能用日語談話，又能用法語談話；③乙、丙、丁談話時，不可以只用一種語言；④乙不會說英語，當(dāng)甲與丙談話時，他能做翻譯．針對他們懂的語言，正確的推理是( )A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英分析：選A剖析題目和選項(xiàng)，由①知，丁不會說日語，清除B選項(xiàng)；由②知，沒有人既會日語又會法語，清除D選項(xiàng)；由③知乙、丙、丁不會同一種語言，清除C選項(xiàng)，應(yīng)選A.6．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則AGABCD中，若△BCD＝2”．若把該結(jié)論推行到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四周體GD的中心為M，四周體內(nèi)部一點(diǎn)O到四周體各面的距離都相等”，則AO)＝(OMA．1B.2C．3D．46分析：選C如圖，設(shè)正四周體的棱長為1，則易知其高AM＝3，此1時易知點(diǎn)O即為正四周體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等積法有4×33136?r＝6666×r＝×4×，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM43312312464∶12＝3.7．圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，依據(jù)這樣的規(guī)律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是.分析：分別察看正方體的個數(shù)為：1,1＋5,1＋5＋9，概括可知，第n個疊放圖形中共有n層，組成了以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以n＝n＋[(－1)×4]÷2＝22－，Snnnn72所以S＝2×7－7＝91.答案：918．用數(shù)學(xué)概括法證明：(n＋1)＋(＋2)＋＋(＋)＝nn＋(n∈N＋)的第二步中，nnn2當(dāng)n＝k＋1時等式左側(cè)與n＝k時的等式左側(cè)的差等于________．分析：當(dāng)＝＋1時，左側(cè)＝(k＋2)＋(k＋3)＋＋(2k＋2)；當(dāng)n＝k時，左側(cè)＝(knk1)＋(k＋2)＋＋2k，其差為(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.答案：3k＋29．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上同樣的數(shù)字不是

和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上同樣的數(shù)字不是

1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是

5”，則甲的卡片上的數(shù)字是

________．分析：法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是

2和

3.若丙的卡片上的數(shù)字是

1和

2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是

2和

3，則甲的卡片上的數(shù)字是

1和

3，知足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是

1和

3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是

2和

3，則甲的卡片上的數(shù)字是

1和

2，不知足甲的說法．故甲的卡片上的數(shù)字是

1和

3.法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上同樣的數(shù)字不是

2，所以丙的卡片上必有數(shù)字

2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是

5，所以丙的卡片上的數(shù)字是

1和

2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上同樣的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是

2和

3，所以甲的卡片上的數(shù)字是

1和3.答案：1和

310．已知|

x|≤1，|y|≤1，用剖析法證明：

|

x＋y|≤|1＋xy|.證明：要證

|

x＋y|≤|1＋xy|

，即證(x＋y)2≤(1＋xy)2，2222即證x＋y≤1＋xy，因?yàn)閨x|≤1，|y|≤1，22所以x－1≤0,1