近代平差理論課件

第八章近代平差理論前面介紹的五種平差方法，我們常稱之為經(jīng)典平差方法，隨著計算機技術(shù)的普及和矩陣理論在測量平差中的廣泛應(yīng)用，產(chǎn)生了一些新的測量平差模型，如序慣平差、自由網(wǎng)平差、方差分量估計等理論，為區(qū)別起見，我們稱之為近代平差理論。本章將介紹這些平差理論及其應(yīng)用，部分方法只闡述其原理，詳細內(nèi)容將在后續(xù)課程中進一步學(xué)習(xí)。序慣平差也叫逐次相關(guān)間接平差，它是將觀測值分成兩組或多組，按組的順序分別做相關(guān)間接平差，從而使其達到與兩期網(wǎng)一起做整體平差同樣的結(jié)果。分組后可以使每組的法方程階數(shù)降低，減輕計算強度，現(xiàn)在常用于控制網(wǎng)的改擴建或分期布網(wǎng)的平差計算，即觀測值可以是不同期的，平差工作可以分期進行。本節(jié)的理論公式推導(dǎo)，以分兩組為例?！??1序貫平差一、序慣平差原理設(shè)某平差問題，觀測向量，現(xiàn)把它分為兩組，組內(nèi)相關(guān)，組間互不相關(guān)，即：（8-1-1）按間接平差原理選取參數(shù)，取近似，改正數(shù)為，分組后兩組的誤差方程分別為權(quán)陣（8-1-2a）權(quán)陣

（8-1-2b）

即由上式可得

按分組平差，先對第一組誤差方程行第一次平差（因未顧及第二組觀測值，所以第一次平差只能得到的第一次近似值，用表示）。函數(shù)模型可改寫為權(quán)陣

（8-1-3）按間接平差原理，可以直接給出公式，其法方程為未知參數(shù)的第一次改正數(shù)

（8-1-4）（8-1-5）

未知參數(shù)的第一次平差值（8-1-6）

第一次平差后未知參數(shù)的權(quán)陣為（8-1-7）

將代入（8-1-3）式，得觀測值的第一次改正數(shù)，而。聯(lián)合第二組誤差方程。即：

（8-1-9）

其中或由（8-1-8）、（8-1-9）聯(lián)合組成法方程為即

（8-1-10）將上式代入（8-1-9）即可求得第二組觀測值的整體改正數(shù)。那么第一組觀測值的第二次改正數(shù)如何求呢？我們可以用分別代替（8-1-2)的，即：（8-1-11）

由上式可得參數(shù)的第二次改正數(shù)為因為經(jīng)過第一次平差后，已使成立，所以有（8-1-12）

最后的平差值為：（8-1-13）

（8-1-14）（8-1-15）

下面給出精度評定公式。，但是并顧及

則有

（8-1-17）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣：（8-1-18）

未知參數(shù)函數(shù)的協(xié)因數(shù)及中誤差：設(shè)有參數(shù)函數(shù)的權(quán)函數(shù)式：

（8-1-19）

（8-1-20）解：本題，選兩點高程平差值為未知參數(shù)，并取其近似值為：，，，，，試按逐次間接平差法求兩點高程的平差值及點高程的中誤差?第一期同精度獨立觀測，第二期同精度獨立觀測,觀測值為:例[8-1]如圖8-1水準(zhǔn)網(wǎng)，為已知點，圖8-1h3CDAh1h2Bh4h5列立第一期誤差方程權(quán)陣

寫成的形式為④求第一期觀測值的第一次改正數(shù)列立第二期誤差方程，可用第一期平差后的參數(shù)平差值直接列立，此時誤差方程常數(shù)項就是，即權(quán)陣

寫成矩陣形式

也可以用參數(shù)的初始近似值列出，此時的誤差方程常數(shù)項為，即其中則誤差方程可寫為結(jié)果一樣。⑥顧及第一次平差結(jié)果，組成法方程即⑦求解參數(shù)的第二次改正數(shù)及平差值⑧計算第二期觀測值的改正數(shù)

二、序慣平差的三種特殊情況1．第二次平差增加新的參數(shù)設(shè)兩組的誤差方程為

權(quán)陣

（8-1-21）

權(quán)陣（8-1-22）式中是共同的未知參數(shù)，是新增加的未知參數(shù)。第一次平差可得：

（8-1-23）（8-1-24）

（8-1-25）

第二次平差的誤差方程為權(quán)陣（8-1-26）

權(quán)陣

（8-1-27）

式中：

或（8-1-28）

（8-1-29）

（8-1-30）

解算法方程可得，代入（8-1-27）可求得。最后得參數(shù)平差值為組成法方程為

2．二次平差的參數(shù)僅是第一次平差參數(shù)的一部分設(shè)兩組的誤差方程為：權(quán)陣

（8-1-31）

權(quán)陣

（8-1-32）權(quán)陣

（8-1-37）

式中：或

顧及（8-1-35）式，組成法方程如下：

（8-1-38）

（8-1-39）

由（8-1-38）式可得：

（8-1-40）將代入（8-1-39）式，整理后得

（8-1-41）

式中

（8-1-42）

由（8-1-41）可解得。參數(shù)的平差值為（8-1-43）（8-1-44）

3．上述兩種情況的綜合兩組的誤差方程為：權(quán)陣

權(quán)陣

（8-1-45）（8-1-46）

權(quán)陣試按逐次間接平差法求未知參數(shù)的平差值。解：本題符合第三種特殊情況，即符合如下形式：即第一次平差的法方程為：

即其解為未知參數(shù)的權(quán)陣為第二次平差的法方程為即其解為而參數(shù)的平差值為即§8-2秩虧自由網(wǎng)平差在前面介紹的經(jīng)典平差中，都是以已知的起算數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將控制網(wǎng)固定在已知數(shù)據(jù)上。如水準(zhǔn)網(wǎng)必須至少已知網(wǎng)中某一點的高程，平面網(wǎng)至少要已知一點的坐標(biāo)、一條邊的邊長和一條邊的方位角。當(dāng)網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時，我們稱其為自由網(wǎng)，本節(jié)將介紹網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)時的平差方法，即自由網(wǎng)平差。在經(jīng)典間接平差中，網(wǎng)中具備必要的起算數(shù)據(jù)，誤差方程為（8-2-1）

式中系數(shù)陣為列滿秩矩陣，其秩為。在最小二乘準(zhǔn)則下得到的法方程為

（8-2-2）由于其系數(shù)陣的秩為，所以為滿秩矩陣，即為非奇異陣，具有凱利逆，因此具有唯一解，即（8-2-3）

當(dāng)網(wǎng)中無起算數(shù)據(jù)時，網(wǎng)中所有點均為待定點，設(shè)未知參數(shù)的個數(shù)為u，誤差方程為（8-2-4）式中d為必要的起算數(shù)據(jù)個數(shù)。盡管增加了d個參數(shù)，但B的秩仍為必要觀測個數(shù)，即其中B為不滿秩矩陣，稱為秩虧陣，其秩虧數(shù)為d。組成法方程（8-2-5）式中且所以N也為秩虧陣，秩虧數(shù)為：（8-2-6）由上式知，不同類型控制網(wǎng)的秩虧數(shù)就是經(jīng)典平差時必要的起算數(shù)據(jù)的個數(shù)。即有：在控制網(wǎng)秩虧的情況下，法方程有解但不唯一。也就是說僅滿足最小二乘準(zhǔn)則，仍無法求得的唯一解，這就是秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典平差的根本區(qū)別。為求得唯一解，還必須增加新的約束條件，來達到求唯一解的目的。秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差方法。下面將推導(dǎo)自由網(wǎng)平差常用兩種解法的有關(guān)計算公式。一、直接解法根據(jù)廣義逆理論，相容方程組雖然具有無窮多組解，但它有唯一的最小范數(shù)解，即：（8-2-7）式中，稱為矩陣的最小范數(shù)g逆。稱為矩陣的g逆。代入（8-2-7）式得（8-2-8）上式就是根據(jù)廣義逆理論直接求解參數(shù)的唯一最小范數(shù)解的公式。由于廣義逆計算較為復(fù)雜，下面將公式做進一步改化：令（8-2-9）（8-2-10）式中行滿秩，即，于是有（8-2-11）而，所以為滿秩方陣，按照降階法求矩陣廣義逆的方法，即：如果有矩陣其中存在凱利逆，則有的g逆（8-2-12）根據(jù)上式可得（8-2-13）代入（8-2-8）式，得（8-2-14）或?qū)懗桑?-2-15）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為：（8-2-16）二、附加條件法（偽觀測值法）前面已提及，秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差方法，實際上就是求相容方程組的最小范數(shù)解。附加條件法的基本思想：由于網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)，平差時多選了d個未知參數(shù)，因此在u個參數(shù)之間必定滿足d個附加條件式，即在原平差函數(shù)模型中需要加入d個未知參數(shù)間的限制條件方程，從而可以按附有條件的間接平差法求解。問題的關(guān)鍵是如何導(dǎo)出等價于的限制條件方程的具體形式。為敘述方便，我們先給出該限制條件方程，然后再推導(dǎo)平差計算公式，最后證明，在給定的限制條件方程下所求得的解，就是相容方程組的最小范數(shù)解。設(shè)等價于約束條件的限制條件方程為（8-2-17）

式中且滿足S稱為附加陣。故秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為權(quán)陣為P按照附有條件的間接平差可得法方程（8-2-18）式中且唯一不同的是這里N為秩虧陣。為解決秩虧問題，將（8-2-18）中的第二式左乘S矩陣后，再加到第一組中得：（8-2-19）式中，且

根據(jù)附有條件的間接平差原理，上式的解為（8-2-20）（8-2-21）由于上述解是通過增加未知參數(shù)間滿足的d個附加條件，按照附有條件的間接平差法而實現(xiàn)的，因此人們把此法稱為附加條件法。但它又不同于經(jīng)典的附有條件的間接平差法，其主要表現(xiàn)為：當(dāng)S陣滿足BS=0時，必定有下式成立（證明從略）（8-2-22）將（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得參數(shù)的解為（8-2-23）就是法方程的最小范數(shù)解。為此只需證明是的最小范數(shù)g逆中的一個即可，即只需證明滿足以下兩式：現(xiàn)在只需證明，按（8-2-23）式求得的解（8-2-24）現(xiàn)證明如下：因為所以有右乘S陣并展開，則有而，所以有（8-2-25）由于，存在逆陣，則有（8-2-26）所以有（8-2-28）（8-2-27）因此（8-2-24）第一式得到驗證由（8-2-27）式得考慮到（8-2-26）式，則上式為（8-2-29）（8-2-28）、（8-2-29）兩式說明是的最小范數(shù)g逆中的一個，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程組的最小范數(shù)解。三、精度評定單位權(quán)中誤差估值的計算（8-2-30）式中可以直接計算，也可以按下式求得（8-2-31）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為

（8-2-32）實際計算時，通常要對S進行標(biāo)準(zhǔn)化，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化后的S陣用G表示,即不僅要求滿足BG=0，還要求滿足,此時(8-2-26)式變成，轉(zhuǎn)置后有，因此（8-2-32）式將變成如下形式（8-2-33）四、兩點說明①若將代入法方程，則法方程變?yōu)樯鲜较喈?dāng)于下列誤差方程聯(lián)合組成的法方程上式的第一式為觀測值的誤差方程，第二式可以看作是為求最小范數(shù)解而人為增設(shè)的d個虛擬誤差方程，因此附加條件法又叫偽觀測值法。②該方法的特點就是用求凱利逆替代了求廣義逆，因此便于計算和計算機編程，但首要條件是必須知道附加陣S，關(guān)于附加陣的確定問題，本教材不準(zhǔn)備作詳細討論，下面直接給出常見控制網(wǎng)的附加陣S及其標(biāo)準(zhǔn)化后G的矩陣的具體形式：水準(zhǔn)網(wǎng)（設(shè)有u個點）（8-2-34）測邊網(wǎng)（設(shè)有m個點）（8-2-35）式中為第I點的近似坐標(biāo)（8-2-36）式中是以中心坐標(biāo)為原點的第I點的近似坐標(biāo)，它們的計算如下：元素,在（8-2-36）式中增加一行元素即可得到相應(yīng)的S陣和G陣。測角網(wǎng)（設(shè)有m個點）只需在（8-2-35）式中增加一行例[8-3]如圖8-2水準(zhǔn)網(wǎng)，A,B,C點全為待定點，同精度獨立高差觀測值為，，平差時選取A,B,C三個待定點的高程平差值為未知參數(shù)，并取近似值試分別用直接法和附加條件法求解參數(shù)的平差值及其協(xié)因數(shù)陣。解：1．直接解法誤差方程為法方程為由法方程易知所以有未知參數(shù)的改正數(shù)為未知參數(shù)的平差值為未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為2．附加條件法解法一中已求得法方程為的具體形式為：該水準(zhǔn)網(wǎng)有3個待定點，所以附加陣為

則有

所以有未知參數(shù)的的協(xié)因數(shù)陣為結(jié)果與直接解法完全相同。§8-3附加系統(tǒng)參數(shù)的平差經(jīng)典平差中總是假設(shè)觀測值中不含系統(tǒng)誤差，但測量實踐表明，盡管在觀測過程中采用各種觀測措施和預(yù)處理改正，仍會含有殘余的系統(tǒng)誤差。消除或減弱這種殘余系統(tǒng)誤差可借助于平差方法，即：通過在經(jīng)典平差模型中附加系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)誤差進行補償，這種平差方法稱為附加系統(tǒng)參數(shù)的平差法。經(jīng)典的高斯—馬爾可夫模型為

（8-3-1）當(dāng)觀測值中含有系統(tǒng)誤差時，顯然在這種情況下，需要對經(jīng)典的高斯—馬爾可夫模型進行擴充。設(shè)觀測誤差包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，即考慮平差是線性模型，可設(shè)，于是有（8-3-2）及將（8-3-2）式代入（8-3-1）式，即得附加系統(tǒng)參數(shù)的平差函數(shù)模型為：（8-3-3）由（8-3-3）式得誤差方程為（8-3-4）其法方程為（8-3-5）令上式可簡寫為（8-3-6）由分塊矩陣求逆公式得（8-3-7）式中（8-3-8）如果平差模型中不含有系統(tǒng)誤差，即，則有考慮到此關(guān)系式，則（8-3-7）式可寫成（8-3-9）和（8-3-10）由（8-3-7）式知，和的協(xié)因數(shù)陣為（8-3-11）（8-3-12）單位權(quán)中誤差為（8-3-13）§8-4方差分量估計我們知道，平差前觀測值向量的方差陣一般是未知的，因此平差時隨機模型都是使用觀測值向量的權(quán)陣。而權(quán)的確定往往都是采用經(jīng)驗定權(quán)，也稱為隨機模型的驗前估計，對于同類觀測值可按第一章介紹的常用定權(quán)方法定權(quán)；對于不同類的觀測值，就很難合理地確定各類觀測值的權(quán)。為了合理地確定不同類觀測值的權(quán)，可以根據(jù)驗前估計權(quán)進行預(yù)平差，用平差后得到的觀測值改正數(shù)來估計觀測值的方差，根據(jù)方差的估計值重新進行定權(quán)，以改善第一次平差時權(quán)的初始值，再依據(jù)重新確定的觀測值的權(quán)再次進行平差，如此重復(fù)，直到不同類觀測值的權(quán)趨于合理，這種平差方法稱為驗后方差分量估計。此概念最早由赫爾默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又稱為赫爾默特方差分量估計。一、赫爾默特方差分量估計公式為推導(dǎo)公式簡便起見，設(shè)觀測值由兩類不同的觀測量組成，不同類觀測值之間認為互不相關(guān)，按間接平差時的數(shù)學(xué)模型為（函數(shù)模型）（隨機模型）（8-4-1）（8-4-2）其誤差方程為權(quán)陣P1

（8-4-3）權(quán)陣P2

（8-4-4）作整體平差時，法方程為（8-4-5）式中

一般情況下，由于第一次給定的權(quán)P1、P2是不恰當(dāng)?shù)模蛘哒f它們對應(yīng)的單位權(quán)方差是不相等的，設(shè)為和，則有（8-4-6）但只有才認為定權(quán)合理。方差分量估計的目的就是根據(jù)事先初定的權(quán)P1、P2進行預(yù)平差，然后利用平差后兩類觀測值的、來求估計量，再根據(jù)（8-4-6）式求出，由這個方差估值再重新定權(quán)，再平差，直到為止。為此需要建立、與估計量之間的關(guān)系式。由數(shù)理統(tǒng)計知識可知，若有服從任一分布的q維隨機變量,已知其數(shù)學(xué)期望為,方差陣為，則向量的任一二次型的數(shù)學(xué)期望可以表達為：（8-4-7）式中B為任意q階的對稱可逆陣?，F(xiàn)用V向量代替上式中的Y向量，則其中的應(yīng)換為，應(yīng)換為，B陣可以換成權(quán)陣P，于是有（8-4-8）前面已經(jīng)證明，于是有：（8-4-9）而

對上式應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律得

將代入上式，整理后得將上式代入（8-4-9）式，得顧及矩陣跡的性質(zhì)，上式可寫為同理可得也改用估值符號表示，整理順序去掉上面兩式的期望符號，相應(yīng)的單位權(quán)方差后得（8-4-10）（8-4-11）其矩陣形式可寫為（8-4-13）（8-4-12）式中

（8-4-12）、（8-4-13）兩式即為赫爾默特方差分量估計的嚴密公式。由此式可以求得兩類觀測值的單位權(quán)方差估值，從而可以根據(jù)（8-4-6）式求得觀測值方差的估值，以此方差估值再次定權(quán)，再次平差，直至滿足要求為止。

現(xiàn)將以上推導(dǎo)擴展至m組觀測值。誤差方程為令則得參數(shù)的估值為按照上述類似的推導(dǎo)，則有去掉期望符號，相應(yīng)的單位權(quán)方差也改為用估值符號，則有（8-4-14）式中

二、計算步驟1.將觀測值分類，并進行驗前權(quán)估計，即確定各類觀測值的權(quán)的初值；2.進行第一次平差，求得；3.按（8-4-14）式求各類觀測值單位權(quán)方差估值；4.按（8-4-6）式計算各類觀測值方差的估值；5.依據(jù)定權(quán)公式再次定權(quán)，再次平差，如此反復(fù)，直到各類單位權(quán)方差的估值相等或接近相等為止§8-5習(xí)題

8.1設(shè)有兩組誤差方程：－（mm）－（mm）其中，L1與L2的權(quán)為，未知數(shù)的近似值為(m)，試按序貫平差求及。8.2在圖8.1的水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知A，B，C點的高程為m，m，m，P為待定點，各路線觀測高差為：設(shè)h