等直桿的自由扭轉(zhuǎn)課件

第六章等直桿的自由扭轉(zhuǎn)§6-1自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)§6-2等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和位移§6-3矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)§6-4小撓度薄膜比擬法§6-5開口薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn)§6-6閉口薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn)§6-1自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)翹曲變形：矩形截面稈在扭轉(zhuǎn)過程中其橫截面不再保持為平面．而發(fā)生了翹曲。在桿件同一橫截面曲周邊上各處的剪應(yīng)變是變化的。橫截面發(fā)生翹曲以及同一橫截面周邊上各處剪應(yīng)變不同，正是所有非圓截而桿受扭時(shí)區(qū)別于圓截面桿的變形特征。非圓截面等直桿如圖6—2b所示的受力情況下，由于對(duì)稱的緣故，其中央的橫截面不可能發(fā)生翹曲，而兩個(gè)端截面卻可以自由變形，因此各橫截面的翹曲必然受到制約，從而導(dǎo)致橫截面上產(chǎn)生正應(yīng)力。非圓截面桿在圖6—2c所示的受力情況下，橫截面的翹曲同樣也受到相互約束。約束扭轉(zhuǎn)：當(dāng)非圓截面桿受扭時(shí)，如果橫截面的翹曲變形由于受到荷載情況、外加約束條件及至橫截面尺寸的變化（即變截面桿）而發(fā)生相互約束的話，其橫截面上必然產(chǎn)生正應(yīng)力，這類扭轉(zhuǎn)為約束扭轉(zhuǎn)。在實(shí)體桿中約束扭轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的正應(yīng)力是不大的，可以略去；然而對(duì)于開口或閉口薄壁桿件卻是很重要的?！?-2等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和位移

設(shè)有一任意形狀的實(shí)體截面等直桿，其兩端受扭轉(zhuǎn)力偶的作用，如圖6—3所示。假定桿的左端不能轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以自由翹曲，限制其整體析的剛性位移。當(dāng)桿受扭矩時(shí)，桿件的橫截面將繞桿軸z旋轉(zhuǎn)一定的角度，任一距左端為z的橫截面所旋轉(zhuǎn)的角度記為 。自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，相距單位長(zhǎng)度的任何兩個(gè)橫截面其相對(duì)扭角相等，所以（a）任意橫截面上任一點(diǎn)P(x,y)在該平面內(nèi)的位移分量(u,v)可寫作翹曲位移函數(shù)單位扭轉(zhuǎn)角幾何方程平衡方程的結(jié)果用位移函數(shù)表示的桿件側(cè)表面上邊界條件的表達(dá)式為為簡(jiǎn)化用翹曲函數(shù)表達(dá)的如上邊界條件，引入扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。這樣假設(shè)是為了滿足平衡方程圖示邊界的l,m與dx,dy,ds的關(guān)系由(6-6)，(6-3)中的后兩式，有等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力函數(shù)必須滿足的條件應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該滿足的邊界條件選出同時(shí)滿足6－8，6－9，6－10的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)為剪應(yīng)力分量的計(jì)算公式§6-3矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)普朗都指出：薄膜在均勻壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的。假定薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，而只承受均勻的拉力T。

薄膜在邊界上的垂度（a）使薄膜的q/T值等于扭桿的2GK值，可得出如下結(jié)論：（e）其中的顯然就是薄膜沿y方向的斜率。上式也可以改寫成為（1）該扭桿的應(yīng)力函數(shù)等于該薄膜的垂度z。

平面之間的體積的兩倍，即2V。（2）該扭桿所受的扭矩Mt，等于該薄膜及其邊界于該薄膜上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的斜率。（3）該扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的剪應(yīng)力，等結(jié)論推廣如下：在扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的、沿任一個(gè)方向的剪應(yīng)力，就等于該薄膜在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的、沿垂直方向的斜率。由此又可見，扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力，等于該薄膜的最大斜率。但須注意，最大剪應(yīng)力的方向和最大斜率的方向是互相垂直的?！?-5開口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)(a)撓曲膜的等高線(b)撓曲膜的一個(gè)斷面狹長(zhǎng)撓曲看成柱面，撓曲面僅為x的函數(shù)，（6－19）薄膜的平衡微分方程變?yōu)椋簡(jiǎn)挝慌まD(zhuǎn)角及剪力：§6-6閉口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)單