2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的漢字中有些也具有對(duì)稱性，下列字是軸對(duì)稱圖形的是（）A．誠(chéng) B．信 C．友 D．善2．（3分）已知一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為a+1，則該正方形的面積為（）A．a(chǎn)2+2a+1 B．a(chǎn)2﹣2a+1 C．a(chǎn)2+1 D．2a+13．（3分）已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．10 B．15 C．17 D．194．（3分）下列各式運(yùn)算結(jié)果為a9的是（）A．a(chǎn)6+a3 B．a(chǎn)3?a3 C．（a3）3 D．a(chǎn)18÷a25．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°6．（3分）下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2 C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+17．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，﹣1）8．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若OP＝OC，則下列結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題（每題3分，共24分）9．（3分）若（2x﹣1）0＝1，則x≠．10．（3分）若點(diǎn)A（m，n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n的值是．11．（3分）若（x+m）（x﹣2）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m＝．12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝6，則CE的長(zhǎng)為．13．（3分）若關(guān)于x的代數(shù)式x2+4mx+4是完全平方式，則常數(shù)m＝．14．（3分）已知a2﹣2a＝5，則代數(shù)式（a﹣2）2+2（a+1）的值為．15．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，若BD＝5，AD＝3，P是直線MN上的任意點(diǎn)，則PA+PC的最小值是．16．（3分）一個(gè)大正方形和四個(gè)全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是（用a、b的代數(shù)式表示）．三、解答題（共52分）17．（6分）計(jì)算：（1）2x3y?（﹣3xy2）；（2）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x；（3）（a+b+2c）（a+b﹣2c）．18．（6分）因式分解：（1）2a3+6ab；（2）5x2﹣5y2；（3）﹣3x2+6xy﹣3y2．19．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：DE＝DF．20．（6分）運(yùn)用所學(xué)乘法公式等進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算：（1）（﹣0.125）11×811；（2）9.92；（3）．21．（4分）已知，求代數(shù)式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）的值．22．（5分）如圖，在2×2的正方形格紙中，△ABC是以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，也稱為格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在該正方形格紙中畫(huà)出與△ABC成軸對(duì)稱的所有的格點(diǎn)三角形（用陰影表示）．23．（4分）在等邊△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BD＝2CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，CE交AD于點(diǎn)P，求∠APE的度數(shù)．24．（6分）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：；（2）解決問(wèn)題：如果a+b＝10，ab＝12，求a2+b2的值；（3）類(lèi)比探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．25．（5分）我們規(guī)定：若實(shí)數(shù)a與b的平方差等于80，則稱實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為“雙曲點(diǎn)”；若實(shí)數(shù)a與b的平方差等于0，則稱實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為“十字點(diǎn)”．（1）若P（a，b）為“雙曲點(diǎn)”，則a，b應(yīng)滿足的等量關(guān)系為；（2）在點(diǎn)A（8，4），B（﹣12，8），C（21，19），D（40，4）中，是“雙曲點(diǎn)”的有；（3）若點(diǎn)B（9，k）是“雙曲點(diǎn)”，求k的值；（4）若點(diǎn)A（x，y）為“十字點(diǎn)”，點(diǎn)B（x+5y，5y﹣x）是“雙曲點(diǎn)”，求x，y的值．26．（6分）如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACF與△BCE都是等邊三角形，連接AE，BF．（1）求證：AE＝BF；（2）若點(diǎn)M，N分別是AE，BF的中點(diǎn)，連接CM，MN，NC．①依題意補(bǔ)全圖形；②判斷△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論．四、附加題：（共20分，每題4分）27．（4分）已知a＝817，b＝279，c＝913，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＞c＞a28．（4分）若實(shí)數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝．29．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為54°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．30．（4分）如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝a，則△A2B2A3的邊長(zhǎng)為，△AnBnAn+1的邊長(zhǎng)為．31．（4分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接EB并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形，直接寫(xiě)出∠AFE的度數(shù)；（2）直接寫(xiě)出線段AF，BF，EF之間的等量關(guān)系．

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的漢字中有些也具有對(duì)稱性，下列字是軸對(duì)稱圖形的是（）A．誠(chéng) B．信 C．友 D．善【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義得出答案．如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【解答】解：“誠(chéng)”、“信”，“友”都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；“善”能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）已知一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為a+1，則該正方形的面積為（）A．a(chǎn)2+2a+1 B．a(chǎn)2﹣2a+1 C．a(chǎn)2+1 D．2a+1【分析】根據(jù)正方形的面積公式可求該正方形的面積，再根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可求解．【解答】解：該正方形的面積為（a+1）2＝a2+2a+1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的面積公式．3．（3分）已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．10 B．15 C．17 D．19【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒(méi)有明確說(shuō)明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時(shí)，3+3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是7時(shí)，3+7＞7，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝3+7+7＝17．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時(shí)注意：若沒(méi)有明確腰和底邊，則一定要分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列各式運(yùn)算結(jié)果為a9的是（）A．a(chǎn)6+a3 B．a(chǎn)3?a3 C．（a3）3 D．a(chǎn)18÷a2【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法法則解決此題．【解答】解：A．根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則，a6+a3≠a9，那么A不符合題意．B．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，a3?a3＝a6，那么B不符合題意．C．根據(jù)冪的乘方，（a3）3＝a9，那么C符合題意．D．根據(jù)同底數(shù)冪的除法，a18÷a2＝a16，那么D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝＝70°，∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE＝∠ACB＝35°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線和角平分線以及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．6．（3分）下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2 C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征解決此題．【解答】解：A．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，﹣a2﹣b2不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，那么A不符合題意．B．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，x2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，那么B不符合題意．C．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，（﹣x）2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，那么C不符合題意．D．根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，﹣m2+1＝﹣（m2﹣1）＝﹣（m+1）（m﹣1），﹣m2+1能用平方差公式進(jìn)行因式分解，那么D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公式法是解決本題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，﹣1）【分析】到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而得出其坐標(biāo)．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)O，∴到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．8．（3分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若OP＝OC，則下列結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等邊三角形；④AB＝OA+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①利用等邊對(duì)等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如圖1，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形，故③正確；④如圖2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP，∴AB＝AO+AP，故④正確；正確的結(jié)論有：①③④，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）9．（3分）若（2x﹣1）0＝1，則x≠．【分析】直接利用零指數(shù)冪的定義得出答案．【解答】解：∵（2x﹣1）0＝1，∴2x﹣1≠0，解得：x≠．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．10．（3分）若點(diǎn)A（m，n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱，則m+n的值是5．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，據(jù)此求出m、n的值，代入計(jì)算可得．【解答】解：∵點(diǎn)A（m，n）與點(diǎn)B（﹣3，2）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m＝3、n＝2，所以m+n＝3+2＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查關(guān)于x、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．11．（3分）若（x+m）（x﹣2）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m＝2．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則解決此題．【解答】解：（x+m）（x﹣2）＝x2﹣2x+mx﹣2m＝x2+（m﹣2）x﹣2m．∵（x+m）（x﹣2）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，∴m﹣2＝0．∴m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝6，則CE的長(zhǎng)為5．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和題目的已知條件ASA證得△BAD≌△CAE后即可求得CE的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（ASA），∴BD＝CE，∵BC＝16，DE＝6，∴BD+CE＝10，∴CE＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知和隱含條件證得三角形全等．13．（3分）若關(guān)于x的代數(shù)式x2+4mx+4是完全平方式，則常數(shù)m＝±1．【分析】根據(jù)a2±2ab+b2＝（a±b）2求出m的值．【解答】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，∵x2+4mx+4是完全平方式，∴±4x＝4mx，∴m＝±1．故答案為：±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2的熟練應(yīng)用，兩種情況是求m值得關(guān)鍵．14．（3分）已知a2﹣2a＝5，則代數(shù)式（a﹣2）2+2（a+1）的值為11．【分析】先利用完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則化簡(jiǎn)代數(shù)式，再代入求值．【解答】解：（a﹣2）2+2（a+1）＝a2﹣4a+4+2a+2＝a2﹣2a+6．∵a2﹣2a＝5，∴原式＝5+6＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，掌握完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，若BD＝5，AD＝3，P是直線MN上的任意點(diǎn)，則PA+PC的最小值是8．【分析】如圖，連接PB．利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，可知PC＝PB，推出PA+PC＝PA+PB≥AB，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接PB．∵M(jìn)N垂直平分線段BC，∴PC＝PB，∴PA+PC＝PA+PB，∵PA+PB≥AB＝BD+DA＝5+3＝8，∴PA+PC≥8，∴PA+PC的最小值為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇?wèn)題，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．（3分）一個(gè)大正方形和四個(gè)全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是ab（用a、b的代數(shù)式表示）．【分析】利用大正方形的面積減去4個(gè)小正方形的面積即可求解．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x1，小正方形的邊長(zhǎng)為x2，由圖①和②列出方程組得，解得，②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積＝（）2﹣4×（）2＝ab．故答案為：ab．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確求出大小正方形的邊長(zhǎng)列代數(shù)式，以及整式的化簡(jiǎn)，正確對(duì)整式進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．三、解答題（共52分）17．（6分）計(jì)算：（1）2x3y?（﹣3xy2）；（2）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x；（3）（a+b+2c）（a+b﹣2c）．【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘法，然后算括號(hào)里面的，最后再算括號(hào)外面的；（3）將原式進(jìn)行整理后利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：原式＝2×（﹣3）x3+1y1+2＝﹣6x4y3；（2）原式＝（x2+2x+x+2﹣2）÷x＝（x2+3x）÷x＝x+3；（3）原式＝[（a+b）+2c][（a+b）﹣2c]＝（a+b）2﹣（2c）2＝a2+2ab+b2﹣4c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．18．（6分）因式分解：（1）2a3+6ab；（2）5x2﹣5y2；（3）﹣3x2+6xy﹣3y2．【分析】（1）直接提公因式2a即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式即可；（3）先提公因式，再利用完全平方公式即可．【解答】解：（1）原式＝2a（a2+3b）；（2）原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）；（3）原式＝﹣3（x2﹣2xy+y2）＝﹣3（x﹣y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．19．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：DE＝DF．【分析】連接AD，D是BC的中點(diǎn)，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么DE＝DF．【解答】證明：如圖，連接AD．∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F．∴DE＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．20．（6分）運(yùn)用所學(xué)乘法公式等進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算：（1）（﹣0.125）11×811；（2）9.92；（3）．【分析】（1）根據(jù)積的乘方、有理數(shù)的乘方解決此題．（2）根據(jù)完全平方公式解決此題．（3）根據(jù)平方差公式解決此題．【解答】解：（1）（﹣0.125）11×811＝＝＝（﹣1）11＝﹣1．（2）9.92＝（10﹣0.1）2＝102﹣2×10×0.1+0.12＝100﹣2+0.01＝98.01．（3）＝＝＝502+1+502﹣1＝5000．解法二：原式＝（512+2×51×49+492）＝（51+49）2＝50000．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積的乘方、有理數(shù)的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟練掌握積的乘方、有理數(shù)的乘方、完全平方公式、平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．21．（4分）已知，求代數(shù)式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）的值．【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入求出答案即可．【解答】解：（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2x+1+x2﹣4x+x2﹣4＝3x2﹣6x﹣3，當(dāng)x＝﹣時(shí)，原式＝3×（﹣）2﹣6×（﹣）﹣3＝+2﹣3＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．22．（5分）如圖，在2×2的正方形格紙中，△ABC是以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，也稱為格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在該正方形格紙中畫(huà)出與△ABC成軸對(duì)稱的所有的格點(diǎn)三角形（用陰影表示）．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，結(jié)合網(wǎng)格作圖即可．【解答】解：如圖所示．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的概念．23．（4分）在等邊△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BD＝2CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，CE交AD于點(diǎn)P，求∠APE的度數(shù)．【分析】如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，再由直角三角形BED中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到BD＝2BE，由BD＝2CD，等量代換得到BE＝CD，利用SAS得到三角形BEC與三角形ADC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠BCE＝∠DAC，利用內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)即可確定出所求角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴BD＝2BE，∵BD＝2DC，∴BE＝DC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（SAS），∴∠BCE＝∠CAD，∴∠ADC+∠BCE＝∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠ACB＝120°，∵∠APC為△PDC的外角，∴∠APC＝∠ADC+∠BCE＝120°，則∠APE＝60°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24．（6分）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）解決問(wèn)題：如果a+b＝10，ab＝12，求a2+b2的值；（3）類(lèi)比探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．【分析】（1）根據(jù)圖形的面積的兩種不同計(jì)算方法得到完全平方公式；（2）根據(jù)完全平方公式變形即可求解；（3）根據(jù)矩形的周長(zhǎng)和面積公式以及完全平方公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝10，ab＝12，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；（3）設(shè)8﹣x＝a，x﹣2＝b，∵長(zhǎng)方形的兩鄰邊分別是8﹣x，x﹣2，∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，∴ab＝8，∴這個(gè)長(zhǎng)方形的面積＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．25．（5分）我們規(guī)定：若實(shí)數(shù)a與b的平方差等于80，則稱實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為“雙曲點(diǎn)”；若實(shí)數(shù)a與b的平方差等于0，則稱實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為“十字點(diǎn)”．（1）若P（a，b）為“雙曲點(diǎn)”，則a，b應(yīng)滿足的等量關(guān)系為a2﹣b2＝80；（2）在點(diǎn)A（8，4），B（﹣12，8），C（21，19），D（40，4）中，是“雙曲點(diǎn)”的有B（﹣12，8），C（21，19）；（3）若點(diǎn)B（9，k）是“雙曲點(diǎn)”，求k的值；（4）若點(diǎn)A（x，y）為“十字點(diǎn)”，點(diǎn)B（x+5y，5y﹣x）是“雙曲點(diǎn)”，求x，y的值．【分析】（1）根據(jù)題意解決此題．（2）根據(jù)定義判定．（3）根據(jù)“雙曲點(diǎn)”定義，列出等式92﹣k2＝80，從而解決此題．（4）根據(jù)“雙曲點(diǎn)”、“十字點(diǎn)”定義，列出等式x2﹣y2＝0，（x+5y）2﹣（5y﹣x）2＝80，從而求得x與y．【解答】解：（1）由題意得：a2﹣b2＝80．故答案為：a2﹣b2＝80．（2）∵82﹣42＝48，（﹣12）2﹣82＝80，212﹣192＝（20+1）2﹣（20﹣1）2＝80，402﹣42＝1584，∴B（﹣12，8），C（21，19）是“雙曲點(diǎn)”．故答案為：B（﹣12，8），C（21，19）．（3）∵點(diǎn)B（9，k）是“雙曲點(diǎn)”，∴92﹣k2＝80．∴k2＝1．∴k＝±1．（4）∵點(diǎn)A（x，y）為“十字點(diǎn)”，點(diǎn)B（x+5y，5y﹣x）是“雙曲點(diǎn)”，∴x2﹣y2＝0，（x+5y）2﹣（5y﹣x）2＝80．∴x2﹣y2＝0，xy＝4．∴x＝y(tǒng)＝±2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方、完全平方公式，熟練掌握有理數(shù)的乘方、完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．26．（6分）如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACF與△BCE都是等邊三角形，連接AE，BF．（1）求證：AE＝BF；（2）若點(diǎn)M，N分別是AE，BF的中點(diǎn)，連接CM，MN，NC．①依題意補(bǔ)全圖形；②判斷△CMN的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）證明△ACE≌△FCB可得證；（2）①根據(jù)題干要求作圖；②由（1）可得∠CAM＝∠CN，AM＝FN，進(jìn)而證明△ACM≌△FCN可得證．【解答】（1）證明：△ACF和△BCE是等邊三角形，∴AC＝CF，∠ACF＝60°，∠BCE＝60°，BC＝CE，∴∠ACF+∠FCE＝∠BCE+∠FCE，∴∠ACE＝∠FCB，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴AE＝BF；（2）①如圖，②△CMN是等邊三角形，理由如下：由（1）得，△ACE≌△FCB，AE＝BF，∴∠CAM＝∠CFN，∵M(jìn)、N分別是AE和BF的中點(diǎn)，∴AM＝AE，F(xiàn)N＝BF，∴AM＝FN，∵AC＝CF，∴△ACM≌△FCN（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠FCN，∴∠ACM﹣∠FCM＝∠FCN﹣∠FCM，∴∠MCN＝∠ACF＝60°，∴△CMN是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)及第二問(wèn)的證明用到第一問(wèn)的結(jié)論．四、附加題：（共20分，每題4分）27．（4分）已知a＝817，b＝279，c＝913，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＞c＞a【分析】根據(jù)冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系解決此題．【解答】解：∵a＝817，b＝279，c＝913，∴a＝（34）7＝328，b＝（33）9＝327，c＝（32）13＝326．又∵328＞327＞326，∴a＞b＞c．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小比較，熟練掌握冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．28．（4分）若實(shí)數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝2022．【分析】先將x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入計(jì)算可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x?x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+2020＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，整體代入是解題的關(guān)鍵．29．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為54°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為72°或18°．【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝54°，討論：當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出∠BAD＝36°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠ACB；當(dāng)BD在△ABC外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出∠BAD＝36°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝54°，當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣54°＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°；當(dāng)BD在△ABC外部時(shí)，如圖2，∵B