演示文稿獨立增量過程

（優(yōu)選）獨立增量過程當前1頁，總共31頁。一、獨立增量過程1．定義

設{X(t),t0}為一隨機過程,對于0s<t,稱隨機變量X(t)-X(s)為隨機過程在區(qū)間[s,t]上的增量.

若對于任意的正整數(shù)n及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n個增量

X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互獨立，稱{X(t),t0}為獨立增量過程。

當前2頁，總共31頁。

若對于任意的實數(shù)s,t和0s+h＜t+h,X(t+h)－X(s+h)與X(t)－X(s)具有相同的分布,則稱增量具有平穩(wěn)性,并稱相應的獨立增量過程為齊次的或時齊的。即：增量X(t)－X(s)的分布函數(shù)實際上只依賴于時間差t-s，而不依賴于t與s本身,即與觀察的起始時刻無關。

2．獨立增量過程的性質(zhì)

(1)獨立增量過程{X(t),t≧0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的有限維分布函數(shù)可以由增量X(t)－X(s)，0s＜t的分布確定.證：令Yk=

X(tk)-X(tk-1),k=1,2,…,n.t0=0.

由條件，增量的分布已知，且具有獨立增量，則當前3頁，總共31頁。(2)獨立增量過程{X(t),t≧0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的協(xié)

方差函數(shù)為

Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布即可確定，而X(t1)=Y1，

X(t2)=Y1+Y2，

……

X(tn)=Y1+Y2+…+

Yn，即X(tn)是Y1，…Yn的線性函數(shù)，推廣結果：Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布確定了{X(t)}的有限維分布函數(shù)。當前4頁，總共31頁。證明:記Y(t)=X(t)-X(t),當X(t)具有獨立增量時，Y(t)也具有獨立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)]=DX(t).所以，當0s＜t時，有

于是可知對于任意的s,t≧0,協(xié)方差函數(shù)可表示為：

同理，當0t＜s時，有當前5頁，總共31頁。二、泊松過程

泊松過程是研究隨機質(zhì)點流的計數(shù)性質(zhì)的基本數(shù)學模型之一，是一類重要的隨機過程。在通信工程、服務行業(yè)、生物學、物理學、公用事業(yè)等領域的許多問題都可以用泊松過程來描述。如：商店接待的顧客流，數(shù)字通信中已編碼信號的誤碼流等當前6頁，總共31頁。隨機質(zhì)點流：質(zhì)點（或事件）陸續(xù)地隨機到達（或隨機發(fā)生），則形成一個隨機質(zhì)點流．例如：商店接待的顧客流、等車的乘客流、數(shù)字通信中已編碼信號的誤碼流、經(jīng)過中國上空的流星流、放射性物質(zhì)所放射出的粒子流、要求在機場降落的飛機流，等等。隨機質(zhì)點流的強度：通常稱單位時間內(nèi)平均出現(xiàn)的質(zhì)點的個數(shù)為隨機質(zhì)點流的強度，記為當前7頁，總共31頁。1.計數(shù)過程定義定義1.

稱隨機過程{N(t),t≧0}為計數(shù)過程,若N(t)表示[0,t]時段內(nèi)“事件A”發(fā)生的次數(shù),且N(t)滿足下列條件(1)N(t)≧0；(2)N(t)取整數(shù)；(3)若0≤s＜t,則N(s)≤N(t)；(4)當s＜t時,N(t)-N(s)等于在間隔(s,t)上“事件A”發(fā)生的次數(shù)。例如：若用N1(t)表示某電話交換臺在[0,t]內(nèi)接到的電話呼喚次數(shù)；當前8頁，總共31頁。

若用N2(t)表示[0,t]這段時間內(nèi)到達某商場的顧客數(shù)；若用N3(t)表示時間[0,t]內(nèi)某放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；若用N4(t)表示在時間[0,t]內(nèi)某地段出現(xiàn)的交通事故次數(shù)等,這些Ni(t)均為計數(shù)過程。

為了建模方便，我們把“事件A”發(fā)生一次說成質(zhì)點出現(xiàn)一個，于是計數(shù)過程N(t)看作在時間軸上區(qū)間[0,t]內(nèi)質(zhì)點出現(xiàn)的個數(shù)。當前9頁，總共31頁。隨機事件的來到數(shù)都可以得到一個計數(shù)過程,而同一時刻只能至多發(fā)生一個來到的就是簡單計數(shù)過程.計數(shù)過程的一個典型的樣本函數(shù)如圖tN(t)當前10頁，總共31頁。計數(shù)過程N(t)是獨立增量過程如果計數(shù)過程在不相重疊的時間間隔內(nèi)，事件A發(fā)生的次數(shù)是相互獨立的。計數(shù)過程N(t)是平穩(wěn)增量過程若計數(shù)過程N(t)在(t,t+s]內(nèi)（S>0），事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時間差s有關，而與t無關。當前11頁，總共31頁。例：設為N(t)為[0,t)時段內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)，t>=0，N(t)的狀態(tài)空間為{0,1,2,…}，具有如下性質(zhì)：(1)N(0)=0，即初始時刻未收到任何呼叫；(2)在[t,s)這段時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)只與時間間隔s-t有關，而與時間起點t無關；(3)在任意多個不相重疊的時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)相互獨立；當前12頁，總共31頁。定義2:稱計數(shù)過程{N(t),t≧0}為具有參數(shù)>0的泊松過程，若它滿足下列條件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是(平穩(wěn))獨立增量過程；(3)對于任意的s,t≥0,N(t+s)-N(s)服從參數(shù)為t的泊松分布從條件(3)：泊松過程的均值函數(shù)為

,表示單位時間內(nèi)質(zhì)點出現(xiàn)的平均個數(shù),故稱為此過程的強度。

當前13頁，總共31頁。令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,給出泊松過程的另一定義:定義3.稱計數(shù)過程{N(t),t≥0}為具有參數(shù)>0的泊松過程,若它滿足下列條件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是獨立增量過程；(3)N(t)滿足:定理:定義2與定義3是等價的。

當前14頁，總共31頁。例：設為N(t)為[0,t)時段內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)，t>=0，N(t)的狀態(tài)空間為{0,1,2,…}，具有如下性質(zhì)：(4)在足夠小的時間間隔△t內(nèi)實際上假設了在足夠小的時間間隔內(nèi)出現(xiàn)一個質(zhì)點的概率與時間間隔成正比，而出現(xiàn)質(zhì)點數(shù)不少于2的概率是關于時間間隔的高階無窮小——這一般是與實際情況相吻合的。當前15頁，總共31頁。當前16頁，總共31頁。2．泊松過程數(shù)字特征

當前17頁，總共31頁。3．泊松過程的一些定理

設{N(t),t≥0}為泊松過程，N(t)表示到t時刻時質(zhì)點出現(xiàn)的個數(shù),W1，W2，...分別表示第一個，第二個，…質(zhì)點出現(xiàn)的時間,Tn(n≥1)表示從第n－1個質(zhì)點出現(xiàn)到第n個質(zhì)點出現(xiàn)的時間間隔.當前18頁，總共31頁。

T1T2Tk0W1W2Wk-1Wkt

通常稱Wn為第n個質(zhì)點出現(xiàn)的等待時間,Tn為第n個時間間隔,它們都是隨機變量。

定理1.

設{N(t)，t≥0}是具有參數(shù)的泊松過程,

{Tn,n≥1,2,...}是對應的時間間隔序列,則隨機變量序列Tn,n=1,2,...為獨立的且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布。當前19頁，總共31頁。證明：(1)先確定T1的分布.

為此首先注意到事件{T1>t}發(fā)生當且僅當在時間間隔[0,t]內(nèi)沒有質(zhì)點出現(xiàn),因而

所以,T1具有參數(shù)為的指數(shù)分布。

(2)為求T2的分布,先求T1的條件下T2的條件分布,由獨立增量性有

當前20頁，總共31頁。

所以,可得T2也是一個具有參數(shù)為的指數(shù)分布的隨機變

量且T2獨立于T1,重復同樣的推導可得定理。

下面求等待時間Wn的分布，注意到第n個質(zhì)點出現(xiàn)在時

間t或之前的條件是當且僅當?shù)綍r間t已出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)至少是n，即

上式對t求導，得Wn的概率密度是當前21頁，總共31頁。定理2.設{Wn,n=1,2,…}是與泊松過程{N(t),t≥0}

對應的一等待時間序列，則Wn服從參數(shù)為n與的

分布，其概率密度為定理3.

如果相繼出現(xiàn)的兩個質(zhì)點的時間間隔是相互獨立，且服從同一指數(shù)分布，則質(zhì)點流構成了強度為的泊松過程。該定理告訴我們確定一個過程是不是泊松過程只要用統(tǒng)計方法檢驗點間間距是否獨立且服從同一指數(shù)分布。注：泊松過程或泊松流是研究排隊理論的工具，在技術領域內(nèi)它又是構造一類重要噪聲(散粒噪聲)的基礎。當前22頁，總共31頁。例.設{X(t)}是強度為的泊松過程，定義Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L>0為常數(shù)，求Y(t),RY(s,t).

解：Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L；

RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),對任意0≤s<t，有當前23頁，總共31頁。當前24頁，總共31頁。引言

維納過程是布朗運動的數(shù)學模型.英國植物學家布朗在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發(fā)現(xiàn)它們不斷地進行著雜亂無章的運動,這種現(xiàn)象后來稱為布朗運動.

以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標(同樣也可以討論縱坐標),且設W(0)=0,根據(jù)愛因斯坦1905年提出的理論,微粒的這種運動是由于受到大量隨機的相互獨立的分子的碰撞的結果.于是,粒子在時段(s,t]上的位移可以看作是許多微小位移的代數(shù)和.則W(t)-W(s)服從正態(tài)分布.三、維納過程又稱布朗運動

當前25頁，總共31頁。1．維納過程的定義給定過程{W(t),t≥0}，如果它滿足(1)具有平穩(wěn)的獨立增量；(2)對任意的t>s≥0，W(t)-W(s)服從正態(tài)分布N(0,2(t-s))；(3)W(0)=0.

三、維納過程又稱布朗運動

則稱此過程為維納過程，下圖展示了它的一條樣本曲線。

維納過程不只是布朗運動的數(shù)學模型,電子元件在恒溫下的熱噪聲也可歸結為維納過程。當前26頁，總共31頁。2．維納過程的性質(zhì)(1).維納過程{W(t)，t≥0}為正態(tài)過程(每一個有限維分布均為正態(tài)分布)。

證明:對于任意正整數(shù)n和任意時刻t1,t2,…,tn(0≤t1<t2<…<tn)以及任意實數(shù)u1，u2，…，un，記

當前27頁，總共31頁。

它是獨立正態(tài)隨機變量之和，所以它是正態(tài)隨機變量，由正態(tài)分布的性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，…，W(tn))服從n維正態(tài)分布，因此W(t)為正態(tài)過程。

(2).維納過程增量的分布只與時間差有關,所以它是齊次的獨立增量過程.它又是正態(tài)過程.其分布完全由它的均值函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)所確定.維納過程的均值函數(shù)、自協(xié)差函數(shù)、自相關函數(shù)分別為

方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。當前28頁，總共31頁。

四高斯過程（正態(tài)過程）

一、定義：

設{X(t)}為隨機過程，如果對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tnT，n維隨機變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布，則稱{X(t)}為正態(tài)過程。正態(tài)過程是二階矩過程。記其均值函數(shù)為μX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t)。

二、正態(tài)過程的性質(zhì)：

對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tnT，n維隨機變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的分布由其相應的均值及協(xié)方差矩陣完全確定，所以μX(t)和CX(s,t)完全確定了{X(t)}的有限維分布，也就確定了它的全部統(tǒng)計特性。因而有：當前29頁，總共31頁。1．{X(t),tT}為正態(tài)過程，其統(tǒng)計特性由μX(t)和CX(s,t)確定。反之，可以證明，T=[0,+∞],給定μ(t)