高中數(shù)學(xué)易錯易混易忘題分類匯編

高中數(shù)學(xué)易錯易混易忘題分類匯編

【易錯點1］忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思

維不全面。

例1、設(shè)4=卜1尤2—8x+15=o},S={xlax-l=O},若=

求實數(shù)a組成的集合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件408=8易知85,由于空

集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種

特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡得A={3,5},由An8=6知8口4故（I）

當(dāng)8=。時，即方程辦-1=0無解，此時a=0符合已知條件

（II）當(dāng)8"時，即方程辦-1=。的解為3或5,代入得

或！。綜上滿足條件的a組成的集合為故

JIJ

其子集共有2:8個。

【知識點歸類點拔】（1）在應(yīng)用條件AUB=BoAGB

=AoA,B時，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集

合A是空集中的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定

性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限

制。有時需要進(jìn)行檢驗求解的結(jié)果是滿足集合中元素

的這個性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)

學(xué)語言)和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：A={(x,y)lf+y2=4},

8={(x,y)l(x-3)2+(>-4)2=/},其中廠>o,若A口8=。求X的取值

范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化

就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集

合B表示以(3,4)為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩

圓無公共點即兩圓相離或內(nèi)含時，求半徑r的取值范

圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外

如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用。_

【練1】已知集合A={xlx2+4x=0}、

*2*42

B=［x\x+2(a+l)x+a-1=0},若BgA,則實數(shù)a的取值范圍

是o答案：a=］或aV-1o

【易錯點2］求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域

優(yōu)先的原則。

2_

例2、已知(x+2y+?=l,求d+寸的取值范圍

【易錯點分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路

將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的函數(shù)最值求解，但極易忽略X、

y滿足("以+學(xué)句這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系

而造成定義域范圍的擴大。

解析：由于(x+27+'=1得(x+2)Ji-匯Wl,.??-3WxW

44

-1從而x?+y2=-3x2-16x-12二

+g因此當(dāng)x=T時x?+y2有最小值1,當(dāng)x=-|時,x?+y2

'有最大值日。故x?+y2的取值范圍是[1「弓]

【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角

度來理解條件(X+2)2+[=I對x、y的限制，顯然方程表

示以(-2,0)為中心的橢圓，則易知-3WXW-1,-2"42。

此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。_

【練2](05高考重慶卷)若動點(x,y)在曲線

亍+方=1伍〉0)上變化，則d+2y的最大值為()

A2、b2、

(A)]+4(0<b<4)(B)-+4(0<&<2)(C)%4(D)2b

2&(&>4)[2b(b>2)

答案:A

【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性

的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱。

例5、判斷函數(shù)=的奇偶性。

\x-2\-2

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而

按如下步驟求解：/(-x)=g*w/(x)從而得出函數(shù)“X)

x+2-2

為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。

解析：由函數(shù)的解析式知X滿足仁即函數(shù)的定義

,-2卜±2

域為(-i,o)U(?！?定義域關(guān)于原點對稱，在定義域下

“上直3易證⑺即函數(shù)為奇函數(shù)。

-X

;【知識點歸類點拔[(1)函數(shù)的定義庇關(guān)于原點對稱:

I是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷I

:函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。

(2)函數(shù)/(X)具有奇偶性，則/(x)=/(-x)或=是:

;對定義域內(nèi)X的恒等式。常常利用這一點求解函數(shù)中;

:字母參數(shù)的值。

1+sinx+cosx

①"x)="_彳2

1+sinx-cosx

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非

奇非偶函數(shù)

【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā),

注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)小二;加二0^0)的單調(diào)性并給出證

明。

【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義

X]eD,x2eD/&)>/5乂/(/)</(》2))中的XL的任意性。以及

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義

域優(yōu)先的意識。

解析：由于〃-)=-“力即函數(shù)"X)為奇函數(shù),因此只需

判斷函數(shù)在（。,+8）上的單調(diào)性即可。設(shè)』x＞。，

2

/（%）-/（工2）=（芯一了2嚴(yán)'”由于丹-馬〉。故當(dāng)尤1，N24^+0°］

XlX2IV。,

時f（%）7（w）＞o，此時函數(shù)/（x）在（g^+°o上增函數(shù)，同

理可證函數(shù)“X）在l,jfj上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇

函數(shù)，故函數(shù)在用,0）為減函數(shù)，在卜。,—用為增函數(shù)。

綜上所述：函數(shù)“X）在卜,-噲）和［丹上分別為增函

數(shù)，在I。冏和上分別為減函數(shù).

【知而歸類謂拔】⑴函數(shù)的單調(diào)性7泛正用于比較;

大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)|

引起足夠重視。

（2）單調(diào)性的定義等價于如下形式：“X）在［〃回上是:

增函數(shù)0"XJT（X2）＞。，“X）在［則上是減函數(shù):

元］-x2

=〃*）—〃々）＜0,這表明增減性的幾何意義：增（減）；

須-x2

函數(shù)的圖象上任意兩點（和〃玉））,（々,/（々））連線的斜率都;

大于（小于）零。I

（3）/（%）=ax+—（a＞0,b＞。）是一種重要的函數(shù)模型，要弓I；

起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說“X）在;

一書U[E+Oo）上為增函數(shù)，在卜和”一軻上為減

函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時不能在多個單調(diào)區(qū)間

之間添加符號“U”和“或”，

【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）/（x）=axl^（?>o）（1）

+ax

用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在（。,+8）上的單調(diào)性。（2）

設(shè)“力在。<X41的最小值為g（a）,求八g⑷的解析式。

答案：（1）函數(shù)在+00）為增函數(shù)在（o,「為減函數(shù)。（2）

2--(a>l)

y=g(a)=<

〃(0<Q<1)

（2）（2001天津）設(shè)〃>0且4）.+/為R上的偶函

數(shù)。（1）求a的值（2）試判斷函數(shù)在（o,+8）上的單調(diào)

性并給出證明。

答案：（1）?=i（2）函數(shù)在（o,+8）上為增函數(shù)（證明略）

【易錯點8]在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)?/p>

既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤

結(jié)論。

例8、（2004全國高考卷）已知函數(shù)〃X）=/+3X2T+I上

是減函數(shù)，求a的取值范圍。

（易錯點分析】尸（x）<0（xe（”M）是“X）在（a⑼內(nèi)單調(diào)遞減

的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條

件，如=在R上遞減，但:(x)=-3x?40。

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=3a/+6x-l(1)當(dāng)((x)<0時，“X)

是減函數(shù)，貝！jr(x)=3ox2+6x_l<0(xeR)故<解得a<-3o

(2)當(dāng)a=-3時，/")=-3/+3/一工+1=一30-易知此時

函數(shù)也在R上是減函數(shù)。(3)當(dāng)〃>一3時，在R上存在

一個區(qū)間在其上有尸(x)>0,所以當(dāng)a>-3時，函數(shù)“X)不

是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是3］。

一［知識歸類點拔】若南藏7卜)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)與函麗

單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：①(⑴>。與了⑴

為增函數(shù)的關(guān)系：八x)>。能推出"X)為增函數(shù)，但反之

不一定。如函數(shù)/(》)=/在(-8,+8)上單調(diào)遞增，但尸(X)N0,

，_ra)>o是/(尤)為增函數(shù)的充分不必要條件。②(a)*。

時，((X)>0與/(X)為增函數(shù)的關(guān)系:若將f'(x)=0的根作為

分界點，因為規(guī)定八XW0,即摳去了分界點，此時“X)

為增函數(shù)，就一定有1")>0。；.當(dāng)/(x)wo時，((x)>0是

/a)為增函數(shù)的充分必要條件。③/32。與"X)為增函

數(shù)的關(guān)系：/(x)為增函數(shù)，一定可以推出八xRO,但反

之不一定，因為_f(x)20,即為/(x)>0或/(x)=0。當(dāng)函數(shù)

在某個區(qū)間內(nèi)恒有八x)=0,貝酎⑶為常數(shù)，函數(shù)不具有

單調(diào)性。，八》)2。是為增函數(shù)的必要不充分條件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研

究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)

判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的

端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論

以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到

端點的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第一步后再對"-3和°>一3進(jìn)行了討論，確

保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)?/p>

既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的

錯誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的

嚴(yán)密性。

【練8】(1)(2003新課程)函數(shù)產(chǎn)f+法+c(xe(O,+8))是

是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()

A、h>oB、b<oC、b>oD、b<o

答案：A

(2)是否存在這樣的K值，使函數(shù)

242

/(x)=kx_：刀3-kx+2x+g在(1,2)上遞減，在(2,+8)上遞增？

答案…弓。(提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知八2)=。，

但廣⑵=0是函數(shù)在(1,2)上遞減,在(2,+oo)上遞增的必要條

件，不一定是充分條件因此由/(2)=0求出K值后要檢

驗。)

【易錯點9］應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用

的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變

量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+，)2+(b+L)2

ab

的最小值。

錯解：(+1)2+(b+1)2=a2+b2+與+3+422ab+工+42

aaba-b-ab

4JZ[+4=8.??(a+p2+(b+<)2的最小值是8

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不

等式a?+b222ab，第一次等號成立的條件是a=b二;,

第二次等號成立的條件ab=±,顯然，這兩個條

an

件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式二

a2+b2+-4+4-+4=(a2+b2)+(4+二)+4-[(a+b)2-2ab

a~b-a~b-

]+[(l+l)2-A]+4=(l-2ab)(l+±)+4由abW

ababa~b~

(小)2=J.得：1-2ab2l-，T,且2216,1+4T

2422a2b2a2b2

217???原式2L義17+4二生(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=，時，

222

等號成立)???(a+，)2+(b+〈)2的最小值是日。

ah2___

【知識歸類點拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要

注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、

三相等”,在解題中容易忽略驗證取提最值時的使

等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍

內(nèi)。

【練9](97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,

汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h,

已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部

分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平

方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)

的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速

度行駛？

答案為：(1)y=^(^2+?)(0<v<c)(2)使全程運輸成本

最小，當(dāng)JfWc時，行駛速度v二#;當(dāng)舊時，行

駛速度V=C。______________________________________

【易錯點10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題

時，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識和易忽略對數(shù)

函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實數(shù)a使函數(shù)/(加嚏戶，在［2,4］上是增

函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)

合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)

函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴

大。

解析：函數(shù)/(X)是由°(x)=ax2-X和y=log/(”復(fù)合而成的，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（1）當(dāng)a〉l時，

若使/⑴=log廣在［2,4］上是增函數(shù)，則即x）=--A-在［2,4］上

f1

是增函數(shù)且大于零。故有五.解得a>L（2）

么2）=4"2>0

當(dāng)a<1時若使/（X）=log/。在［2,4］上是增函數(shù)，則時x）="_X

在［2,4］上是減函數(shù)且大于零。“不等式組無

°（4）=16a-4>0

解。綜上所述存在實數(shù)3>1使得函數(shù)小）=1。小、在［2,4］上

是增函數(shù)

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性

:如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項系數(shù)的符號，二

:次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸

|的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)

i的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對

|復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思

;想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）。

?_________

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)4>。，且"1

試求函數(shù)），=bg“4+3x-x2的的單調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)0<”1,函數(shù)在卜身上單調(diào)遞減在薦4）上單

調(diào)遞增當(dāng)4>1函數(shù)在卜9上單調(diào)遞增在［|，4）上單調(diào)遞

減。

（2）（2005高考天津）若函數(shù)”加1嗚（/s）g>o,“i）在

區(qū)間（一；,o）內(nèi)單調(diào)遞增，貝上的取值范圍是（）A、《』）

B>[|,i）C、4,+8）D、吟

答案：B.（記?。?/“，則g，（x）=3x2.”當(dāng)”>1時，要使得

?。┦窃龊瘮?shù)，則需有葭⑺>。恒成立，所以矛

盾.排除C、D當(dāng)iC時，要使小）是函數(shù)，則需有g(shù)1（x）<。

恒成立，所以吃排除A）

【易錯點11】用換元法解題時，易忽略換元前后的

等價性.

例11丁巨知sinx+siny=g求siny-cos2x的最大值

【易錯點分析】此題學(xué)生都能通過條件smx+smy=：將問

題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令

usinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易

忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，

解析：由已知條件有si”=；-sinx月*sin）‘=；-sinxe[-1,1]（結(jié)

合sinxG[-1,1]）得--1<sinx<1,而

siny-cos2x---sinx-cos2x-=sin2x-sinx-—令*t=sinx--<r<1|貝！J

33I3J

原式二/一、—根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)='即

sinx=—|時，原式取得最大值「

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手

段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高

學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合

體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一

個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化,

這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)

元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)

型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換

元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變

量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出

來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男?/p>

式，把復(fù)雜的計算和推證簡化。

【練11](1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=

2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a?的最大值和最小

值。

答案：f(x)的最小值為一2十一2四a一最大值為

[1V2

—(0<a<-)

<22

一2〃2+2y[2a——

(2)不等式6>ax+3的解集是(4,b),則a=

2

，b=o

1

力36

答案-8--(提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t

的一元二次不等式的解集為(2,回)

【易錯點12】已知s.求％時，易忽略n=l的情況.

例12、(2005高考北京卷)數(shù)列｛4｝前n項和s.且

⑴求牝，％。的值及數(shù)列m｝的通項公式。

【易錯點分析】此題在應(yīng)用$.與%的關(guān)系時誤認(rèn)為

%=%-九對于任意口值都成立，忽略了對n=l的情況

的驗證。易得出數(shù)列｛總為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論。

解析：易求得出=；，%=，&=稱。由q=i，%=卜得

a?=卜(?N2)故――勺=；s.-W&(〃>2)得*='(〃N2)又

?,=1，%二故該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故

-3

1(〃=1)

?！岸?4丫-2。

Ui)(心2)____________________________________

【知識點歸類點拔】對于數(shù)列與，之間有如下關(guān)系：

4=[(〃=]、利用兩者之間的關(guān)系可以已知s“求qo但

注意只有在當(dāng)％適合a.=s,,fT(心2)時兩者才可以合并

否則要寫分段函數(shù)的形式。

【練12](2004全國理)已知數(shù)列｛叫滿足

a,=l,an=at+2a2+3a3+...+(n-l)atl_l(n>2)則數(shù)列｛a?｝的通項

為。

答案：(將條件右端視為數(shù)列｛叫,｝的前n-l項和利用公

1(〃=1)

式法解答即可)%=3、

【易錯點13］利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n

項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其

子集（從1開始）

例13、等差數(shù)列｛〃.｝的首項”0,前n項和小當(dāng)/工用時,

%=>。問n為何值時與最大？

【易錯點分析】等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次

函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大

值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限

制條件。

解析：由題意知產(chǎn)/（〃）=叼+華力=7+卜_9〃此函數(shù)

是以n為變量的二次函數(shù)，因為％>0,當(dāng)機時，

故d<0即此二次函數(shù)開口向下，故由/（/）=/（〃?）得當(dāng)

X=時/（X）取得最大值，但由于〃eN+,故若/+?!為偶

數(shù)，當(dāng)”等時，鼠最大。

當(dāng)/+〃，為奇數(shù)時，當(dāng)”號1時￡最大。

【知識點歸類點拔】數(shù)列的通項公決及前n項和公交

都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集（從1開始）上

的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點應(yīng)

用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項和公

式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如

s.=/+加所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項

和。此時由%=a〃+b知數(shù)列中的點是同一直線上，

n\nJ

這也是一個很重要的結(jié)論。此外形如前n項和,c

所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項和。_______

【練13】（2001全國高考題）設(shè)｛總是等差數(shù)列，、是

前n項和，且多y，S6=S7>4,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A>d<oB>%=oC、s9>s5D、⑥和$7均為％的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n

項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

【易錯點14］解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)

列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。

例14、已知關(guān)于的方程x2_3x+a=O和x2_3x+b=O的四個

根組成首項為:的等差數(shù)列，求〃+匕的值。

4

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含

條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如

何排列的。

解析：不妨設(shè)］是方程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的

4

兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程人3x+”0

的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程X?—3x+/?-0的

兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知

此等差數(shù)列為：冷薄磊得從而"月。

【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)

列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數(shù)列的性

質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列a｝,

若n+m=p+qf則%+am-ap+aq；對于等比數(shù)列若

n+m^u+vf則％%,=%.%；若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，S“是

SSS

其前n項的和，壯江，那么k，2k-kfS3k-S2k成等比數(shù)

列；若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，s.是其前n項的和，2.，

那么演，s”—s*,s“-s呆成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈

活應(yīng)用。

【練14]（2003全國理天津理）已知方程f_2x+〃?=o和

“2一21+〃=0的四個根組成一個首項為；的等差數(shù)列，則

*〃尸0人、1B、J、：D＞|

答案：C

【易錯點15】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公

比q=1的情況

例15、數(shù)列｛%｝中，a,=1fa2=2f數(shù)列｛%.%｝是公比為q

3＞。）的等比數(shù)列。

（I）求使%%+”2＞中川成立的，/的取值范圍；（H）

求數(shù)列⑸｝的前2〃項的和S”

【易錯點分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比

q二l的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學(xué)生沒有從

定義出發(fā)研究條件數(shù)列｛斯.』｝是公比為g（°。）的等

比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不

到解題突破口。使思維受阻。

解：(I)???數(shù)列⑷%｝是公比為q的等比數(shù)列，???

2

a，，+W，，+2=a“a“+】q，all+2all+3=a?an+｝q，由anan+｝+all+ian+2>an+2an+3得

aa2

?n+\+a”a“+U>a“a“3=>l+q>q,即q2-q-l<0(q〉0),解得

0<。<匕走.

2

(ID由數(shù)列｛%.1｝是公比為q的等比數(shù)列，得

這表明數(shù)列僅.｝的所有奇數(shù)項成等比

anan+\an

數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是夕，又叫=1,

aa

。2=2,??當(dāng)qW1，S2n=a1+。2+。3+。4+???+2n~]+2n

=(%+〃2++???+)+(〃2++〃6+,?,+a)n)

/(j")+4(lW)=3(lT),當(dāng)g=］時,

>qi-q>q

aa

S?”=4+〃2+〃3+。4+???+2n-l+2n

=(6Z|++%+,?,++%+〃6++?，+。2〃)

=(1+1+14---F1)+(2+2+2H-----F2)=3H?

【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比

數(shù)列，其中入r是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形

a?

式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等

比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解

題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進(jìn)行觀察就得出正確

結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種

特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計陷阱使考

生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯誤。

”[■通，2005高四荃由至二羸二而法尊正藪麗3

的公比為q,前n項和%>o（1）求q的取值范圍。

答案：（一i,o）U（o,+8）

【易錯點16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比

數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法

或解答結(jié)果不到位。

例16、.（2003北京理）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且

=2,q+。2+。3=12

（1）求數(shù)列｛砧的通項公式（2）令求數(shù)列

也｝前項和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列⑥的通項公式再

由數(shù)列也｝的通項公式分析可知數(shù)列出｝是一個等差數(shù)

列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項相

減的方法求和。

解析：（1）易求得\=2〃

23n

（2）由（1）得a=26令sn=2x4-4x+6x+...+2nx（I）貝！J

23nn+,

xsn=2x+4x+...+2（n-l）x+2nx（II）用（I）去（II）

（注意錯過一位再相減）得

、[,2x（l

（1-x）5=2x+2x2+2x3+...+2xH-2nxn+^^3xw1s=--------------------nx,1+

ifnl-xl-x

當(dāng)x=l時sn=2+4+6+...+2n=/i(幾+1)

綜上可得：

x1s——---------nx,,+1當(dāng)x=1s“=2+4+6+…+2〃="(n+1)

n1-x1-x

【知識點山賣點拔】一般情況下對于數(shù)列匕｝看e,,=anbn

其中數(shù)列國｝和低｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其

前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎(chǔ)上都乘上等

比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上

課本上等比數(shù)列的求和終就是這種情況的特例。_

【練16］(2005全國卷一理)已知

n22n+

un=a"+a"7b+a~b+...+ab-'+b"(n&N,a>O,b〉O)當(dāng)"b時，求數(shù)

列血｝的前n項和$.

答案：.7］時s=(〃+1"""一(〃+2"*'一'+2a當(dāng)"=］時

(1-4

十3)

【易錯點17】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的

求和方法，在應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項的

規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。

例17、求s“=1+，+―1—+…+-----1---------

"11+21+2+31+2+3+…+”

【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分

析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵

消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不

清而導(dǎo)致解題失誤。

解：由等差數(shù)列的前〃項和公式得1+2+3+.-+”妁羅，

?*.--------J---------=——=2(1--—),〃取1,2,3,…，就分另U

1+2+3d----\-n〃(〃+1)nn+1

得至…，，S?=2(1-1)+2(|-1)+2(1-1)+-+2(1--\)

11+21+2;+3J22334〃〃+1

=2(1--—.

n+1n+1

【知識歸類點拔】“裂項法”有兩個特點，一是每個

分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數(shù)(也可

三個或更多)相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項

的第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對

稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如:

求二+Q+Q+...+-=,方法還是抓通項，即

I2+222+432+6n2+2n

乙=，=黑-；)，問題會很容易解決。另外還有

n'+2n〃(〃+2)2nn+2

一些類似“裂項法”的題目，如：氏=丁求其

yin+J〃+1

前〃項和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和

的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒

序相加法等。

【練17】(2。。5濟(jì)南統(tǒng)考)求和，卜豹+痣+痣

…+(2〃尸+1

+(2〃)2—1

答案：S,]+1」+1+」」+1+，」+…+1+'-」

13355727:-12〃+1

2〃

n4--------■

2〃+1

【易錯點18]易由特殊性代替一般性，誤將必要條件

當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎?/p>

|維。

例18、(2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無窮等差數(shù)

列｛aj的前n項和為Sn.

(I)若首項外垓，公差求滿足⑸/的正整數(shù)k；

(II)求所有的無窮等差數(shù)列｛a｝,使得對于一切正整

數(shù)k都有=區(qū))2成立.

【易錯點分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以

及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力.學(xué)生在

解第(II)時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都

有S「⑸尸成立”這句話將k取兩個特殊值確定出

等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的

等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不

是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到

一般。

解：(I)當(dāng)/=%=i時

22222

4*222

由%=(S*)2,得-k+k=(^k+k)f即心(3-1)=0又

?所以k=4.

(II)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,則在⑸尸中分別

取k=l,2,得

r2

Js”⑸)2加％i'(1)

<,即〈4x3?x1

22

U4=(52)4?,+--J=(2?,+---J)(2)

由(1)q=0或%=1.ax=0時，代入⑵得d=0或〃=6,

若%=0,4=0,則%=0,5“=0,從而鼠=(5?)2成立,

若4=0,d=6,則%=6(〃—1),由5=18,($>=324,S“=216知59H⑸了,故

所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)

%=1時，代入(2)得4+6d=(2+1)?,解得d=0或d=2

若^a］=1,J=(),則%=1,S“=〃,從而5小=(54)2成立；

石:a,=l,d-2,則%=2〃-1,S“=1+34---F(2〃-1)=/,從而s=(S“『成立?

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{4}:a二0,即0,0,0,…；②{4}:&=1,

即1,1,1,???；③{4}:aF2n-1,即1,

3,5,二?，一一…_

T如市醫(yī)后美商援r事晏王秦雨"橫蔣正于二面

正整數(shù)k都有$「⑸尸成立.”就等價于關(guān)于k的方程的

解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項系數(shù)同

時為零，于是本題也可采用這程等價轉(zhuǎn)化的思想解

答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏

輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的

關(guān)系。

i練［8n］宣2加0荃妨巨知數(shù)列口,箕幣;3T

且數(shù)列{C.LP%}為等比數(shù)列.求常數(shù)P

答案：p=2或p=3(提示可令n=l,2,3根據(jù)等比中項

的性質(zhì)建立關(guān)于P的方程，再說明P值對任意自然數(shù)

n都成立)

【易錯點19］用判別式判定方程解的個數(shù)(或交點的

個數(shù))時，易忽略討論二次項的系數(shù)是否為0.尤

其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.

例19、已知雙曲線爐―丁=4,直線y=S.]),討論直線

與雙曲線公共點的個數(shù)

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將

直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾

解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉(zhuǎn)化

為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對方程的種類進(jìn)行

討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判

別式解答。

解析：聯(lián)立方程組!消去y得到

(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(1)當(dāng)1--=0時,即&=±1,方程

為關(guān)于X的一次方程，此時方程組只有解，即直線

與雙曲線只有一個交點。⑵當(dāng)尸2”時即

伯=4(4-30=()

k=±坐,方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個

交點(3)當(dāng)八時，方程組有兩個交點此時

△=4(4-3公)＞0

一型＜女＜述且八±1。(4)當(dāng)時即Q逑或

33|A=4(4-3Z:2)＜03

k＜-不時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

綜上知當(dāng)心±1或左=±孚時直線與雙曲線只有一個交

點，當(dāng)一拽＜%＜型且"±1。時直線與雙曲線有兩個

33

交點，當(dāng)心?；騥<-差時方程組無解此時直線與雙

曲線無交點。

【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有

兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對

應(yīng)于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于

漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩

種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)

于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時叫做直線與雙

曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直

線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切

的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙

曲線相切。通過本題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)

O

【練19](1)(2005重慶卷)已知橢圓j的方程為

1+yJl,雙曲線生的左右焦點分別為q的左右頂點,

而q的左右頂點分別是G的左右焦點。(1)求雙曲線

的方程(2)若直線/：二點+8與橢圓G及雙曲線G恒

有兩個不同的交點，且與G的兩個交點A和B滿足

/次?歷<6,其中。為原點，求k的取值范圍。答案:

(2)已知雙曲線C：，過點P(1,1)作直線1,使1

與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線1共

有條。答案：4條（可知k］存在時，令1:y-l=k（x-l）

22

代入一一亡=1中整理有（4-k）x+2k（k-1）x-

4

（l-k2）-4=0,A當(dāng)4%=0即k=±2時,有一個公共點；

當(dāng)k#±2時，由△=0有有一個切點另：當(dāng)k】不存

在時，x=l也和曲線C有一個切點.,?綜上，共有4條滿

足條件的直線）

【易錯點20】易遺忘關(guān)于sin〃和cos。齊次式的處理方

法。

例20、已知tan^V2，求（1）您拉蛇；（2）

cos8-sin。

sin20-sin^.cos0+2cos20的值.

【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用1=sin%+8s2a可

將（2）式分子分母除去si“即可。

I+sin6

解：（1）cos6+sin6_*cos。_1+tan.=1+亞_§2￡；

?cos6+sin。isin。1-tan1-V2

cose

fr）\.2八.八cc2csin20-sin0cos0+2cos20

\6）sin0-sin0cos0+2cos0=----------------------；----------

sin20+cos20

sin20sin0

_cos?ecose+-=2-收+2=4-\/2

sin20,2+13

,+1

cos'0

r【知識靛法瓶】利用加高q結(jié)加苑m（如果》

具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就

會使解題過程簡化o（1=sin2a+cos2a=sec26z-tan2a=tanacota

這些統(tǒng)稱為1的代換）常數(shù)“1”的種種代換有著廣

泛的應(yīng)用.

【練20】.（2004年湖北卷理科）

已知6sin?a+sinacosa-2cos2a=0,ae［工,4］，求sin(2a+馬的值.

23

2

答案：一色+速(原式可化為6tancr+tana-2=09

1326

tana+包1-tan2a)

(

sin2a+?=_______2_

I+tan-a)

【易錯點21］解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)

列的第n項與數(shù)列的前n項和混淆導(dǎo)致錯誤解答。

例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對拆,再對

拆....對拆50次后,報紙的厚度是多少?你相信這時

報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已

知地球與月球的距離約為4x108米）

【易錯點分析】對拆50次后,報紙的厚度應(yīng)理解一等

比數(shù)列的第n項,易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項

和。

解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆

厚度構(gòu)成數(shù)列2則數(shù)列％是以中嶺。米為首項，公

比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙的厚度是此

等比數(shù)列的第51項，利用等比數(shù)列的通項公式易得

310

a5i=0.05X10-X2叫5.63X1O,而地球和月球間的距

離為4X108<5.63X101°故可建一座橋。

【知識點歸類點拔】以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾

是高考考查的熱點內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉

及到等差或者等比數(shù)列的前n項和或第n項的問題，

在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來。

【練21](2001全國高考)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出

發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅

游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年

投入將比上年減少!本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為

400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計

今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加i.

4

(1)設(shè)〃年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為&萬元，旅

游業(yè)總收入為4萬元，寫出區(qū),4的表達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

(1)an=800+800X(l-l)+-+800X(1一工尸一】二支800

55人1

k-1n

X(l-i)=4000XLl-(|)]

4=400+400義(1+D+…+400X(1+D1=￡400X(9)"

44k=l4

-1=1600X[⑶f]

4

(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投

入

【易錯點221單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面

學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用意識不強，另一方面易

將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的

長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤。

例21、下列命題正確的是()

A、a>/都是第—.象限角,若sina>sin夕,則tana〉tan/B、

”4都是第三象限角，若cosa>cosP9貝！Jsina>sin尸C、

a、萬都是第四象限角，若sina>sin/7,貝jtana>tan6D、

a、力都是第一象限角，若cosa>cos(39貝!!sina>sino

【易錯點分析】學(xué)生在解答此題時易出現(xiàn)如下錯誤：

(1)將象限角簡單理解為銳角或鈍角或270到360

度之間的角。(2)思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)

性，沒有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小

的意識而使思維受阻。

解析：A、由三角函數(shù)易知此時角a的正切線的數(shù)量比

角6的正切線的數(shù)量要小即tana<ta”B、同理可知

sina<sin/?C>知滿足條件的角a的正切線的數(shù)量比角B

的正切線的數(shù)量要大即tana>ta”。正確。D、同理可

知應(yīng)為sina<sin/7o

【知識點歸類點拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角

的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對應(yīng)起來，

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點的就是角

的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長度。三角

函數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大

小、三角關(guān)系式的證明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這

些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數(shù)線易

ae,sina<a<tana，|sintz|+|cos?|NI等。

【練22](2000全國高考)已知sina〉sin￡,那么下列

命題正確的是()

A、若。夕、都是第一象限角，則cosa〉cos￡B、若a￡、

都是第二象限角，則tana〉ta”

B、若a八都是第三象限角，則cosa>cos￡D、若a。、

都是第四象限角，則tana〉ta”

答案：D

【易錯點23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變

換和相位變換解題時，易將。和。求錯。|

例23.要得到函數(shù)y=sin(2x-g)的圖象，只需將函數(shù)

y=sin；x的圖象()

A、先將每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再

向右平移？個單位。

B>先將每個x值縮小到原來的；倍，y值不變，再

4

向左平移？個單位。

C、先把每個X值擴大到原來的4倍，y值不變，再

向左平移個？單位。

6

D、先把每個x值縮小到原來的；倍，y值不變，再

4

向右平移￡個單位。

O

【易錯點分析】y=“3變換成y=sin21是把每個X值縮

小到原來的；倍，有的同學(xué)誤認(rèn)為是擴大到原來的倍,

4

這樣就誤選A或C,再把…in2x平移到y(tǒng)=sin]2x—?有的

同學(xué)平移方向錯了，

有的同學(xué)平移的單位誤認(rèn)為是？o

解析：由y=sin；x變形為y=sin[2x-?J常見有兩種變換方

式，一種先進(jìn)行周期變換，即將y=sin；x的圖象上各點

的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?；倍得到函?shù)

4

y=2sin2x的圖象，

再將函數(shù)y=2sE2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移

￡單位。即得函數(shù)"sm?.

或者先進(jìn)行相位變換，即將y=sini的圖象上各點的縱

坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移得個單位，得到函數(shù)

廣嗚卜―卜in]*?的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的4倍即得即得函數(shù)k金區(qū)一]的圖象。

\5)

【知識點歸類點拔】利用圖角變換作圖是作出函數(shù)圖

象的一種重要的方法，一般地由尸sinx得到

y=Asin（松+”）的圖象有如下兩種思路：一先進(jìn)行振幅變

換即由y=sinx橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

得到y(tǒng)Msmx,再進(jìn)行周期變換即由y=Asinx縱坐標(biāo)

不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け?，得到y(tǒng)=Asinwx,再進(jìn)

CD

行相位變換即由y=Asinwx橫坐標(biāo)向左（右）平移幺個

CD

單位，即得y=Asin?y（x+—j=Asin（?yx+0）,另種就是先進(jìn)

行了振幅變換后，再進(jìn)行相位變換即由y=Asm*向左

（右）平移網(wǎng)個單位，即得到函數(shù)y=Asin（x+°）的圖象,

再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模都吹谩?Asin（wx+°）。不

CO

論哪一種變換都要注意一點就是不論哪一種變換

都是對純粹的變量X來說的。

【練23］（2005全國卷天津卷）要得到的圖象，只

需將函數(shù)的圖象上所有的點的

A、橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），再向

左平移乃個單位長度。B、橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍

（縱坐標(biāo)不變），再向左平移萬個單位長度。C、橫

坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平

移萬個單位長度。D、橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱

坐標(biāo)不變），再向右平移萬個單位長度。

答案：C

【易錯點24】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對

角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。

例24、已知aG（0,^）9sinor+coscr4求tana的值。

【易錯點分析】本題可依據(jù)條件sma+cos”（,利用

sina-cosa-±Vl-2sin^cosa可解得sindf-cosdf的值，再通過解

方程組的方法即可解得sina、cosa的值。但在解題過程

中易忽視sinacosa<0這個隱含條件來確定角a范圍，主

觀認(rèn)為sina-cosa的值可正可負(fù)從而造成增解。

解析：據(jù)已知sina+cosa=4（1）有2sinacosa=一2^<0,又^

13169

由于a€（0,萬）,故有sina>0,cosa<0,從而sincr-cos6r>0即

sina-cosa-Jl-2sinacosa=（2）聯(lián)立（1）（2）可得

sina上，cosa=d可得tana上。

13135

【知識點歸類點拔】在三角函數(shù)的化簡求值過程中，

角的范圍的確定一直是其重點和難點，在解題過程中

要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角

的三角函數(shù)值的符號、三角形中各內(nèi)角均在（。㈤區(qū)間

內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)

的單調(diào)性等。本題中實際上由單位圓中的三角函數(shù)線

可知若心（0,則必有sina+COS6Z>1,故必有aeg）。

【練24］（1994全國高考）已知sine+cose="e；（（u）,

則血。的值是。

答案：-J

4

【易錯點25】根據(jù)已知條件確定角的大小，沒有通過

確定角的三角函數(shù)值再求角的意識或確定角的三角

函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯解。

例25、若sina=,,sin￡=^^,且a、￡均為銳角，例a+尸

的值。

【易錯點分析】本題在解答過程中，若求a+￡的正弦,

這時由于正弦函數(shù)在（。⑶區(qū)間內(nèi)不單調(diào)故滿足條件的

角有兩個，兩個是否都滿足還需進(jìn)一步檢驗這就給解

答帶來了困難，但若求a+￡的余弦就不易出錯，這是

因為余弦函數(shù)在（。㈤內(nèi)單調(diào)，滿足條件的角唯一。

解析：由sina=乎,sin/7=^^■且a、￡均為銳角知解析：由

sina邛,sin上噂且a、均為銳角知cosa=半餐￡=嚕，

則8s（a+0=2x亞一旦也由八4均為銳角即

',5105102

a+￡e（0,乃）故a+。=兀

【知識點歸類點拔】根據(jù)已知條件確定角的天示

定要轉(zhuǎn)化為確定該角的某個三角函數(shù)值，再根據(jù)此三

角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意

兩點一就是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)名

稱

同時要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定

的角的變換技巧如：2a=（a+0+（a―尸）等。

二是依據(jù)三角函數(shù)值求角時要注意確定角的范圍的

技巧。

【練25]⑴在三角形45C中，已知;；二|二?二，

求三角形的內(nèi)角C的大小。

答案：arccos^l（提示確定已知角的余弦值，并結(jié)合已

知條件確定角