2018年高考數(shù)學總復習第六章不等式第2講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學案

第2講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題最新考綱1.會從實質(zhì)情境中抽象出二元一次不等式組；2.認識二元一次不等式的幾何意義，能用平面地域表示二元一次不等式組；3.會從實質(zhì)情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.知識梳理二元一次不等式(組)表示的平面地域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0

在平面直角坐標系中表示直線

Ax＋By＋C＝0

某一側(cè)的所有點組成的平面地域

(半平面

)不含界線直線

.不等式

Ax＋By＋C≥0所表示的平面地域(半平面

)包括界線直線

.關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符號相同，也就是位于同一半平面內(nèi)的點，其坐標適合同一個不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標適合另一個不等式Ax＋By＋C<0.由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面地域，是各個不等式所表示的平面地域的公共部分.線性規(guī)劃的相關(guān)看法名稱

意義線性拘束條件

由x，y的一次不等式

(或方程

)組成的不等式組，是對

x，y的拘束條件目標函數(shù)

關(guān)于

x，y的解析式線性目標函數(shù)

關(guān)于

x，y的一次解析式可行解可行域最優(yōu)解線性規(guī)劃問題

滿足線性拘束條件的解(x，y)所有可行解組成的會集使目標函數(shù)達到最大值或最小值的可行解求線性目標函數(shù)在線性拘束條件下的最大值或最小值的問題診斷自測判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面地域必然在直線Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.( )(3)線性目標函數(shù)獲取最值的點必然在可行域的極點或界線上.()(4)在目標函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.( )不等式x2－y2<0表示的平面地域是一、三象限角的均分線和二、四象限角的均分線圍成的含有y軸的兩塊地域.( )解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面地域在直線x－y＋1＝0的下方.z(4)直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距是b.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√以下各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面地域內(nèi)的是( )A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)解析把各點的坐標代入可得(－1，3)不適合，應選C.答案Cx－3y＋6≥0，3.(必修5P86T3)不等式組表示的平面地域是( )x－y＋2<0解析x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直線x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面地域為選項B.答案Bx－y＋1≥0，4.(2016·全國Ⅱ卷)若x，y滿足拘束條件x＋y－3≥0，則z＝－的最小值為________.x2yx－3≤0，解析畫出可行域，數(shù)形結(jié)合可知目標函數(shù)的最小值在直線x＝3與直線x－y＋1＝0的交點(3，4)處獲取，代入目標函數(shù)z＝x－2y獲取－5.答案－5y≥x，5.(2017·舟山統(tǒng)考)已知整數(shù)x，y滿足不等式x＋y>4，則2x＋x－2y＋8>0，的最大值是________；x2＋y2的最小值是________.y≥x，解析滿足不等式組x＋y>4，的可行域以下列圖，由z＝2xx－2y＋8>0＋y，得y＝－2x＋z，由圖可知，當直線y＝－2x＋z過A時，x＝y(tǒng)，可得x＝8，即A點直線在y軸上的截距最大，由＝8，x－2＋8＝0yy坐標為(8，8)，z最大值等于2×8＋8＝24.x2＋y2的最小值是可行域的B到原點距離的平方，由x＋y＝4，可得B(2，2)，可得22＋22＝8.y＝x答案248y≤x，6.若變量x，y滿足拘束條件x＋y≤4，且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝________.y≥k，解析

作出不等式組表示的平面地域，如圖中陰影部分所示，

z＝2x＋y，則

y＝－2x＋z.易知當直線

y＝－2x＋z過點

A(k，k)時，z＝2x＋y獲取最小值，即

3k＝－6，因此

k＝－2.答案－2考點一二元一次不等式(組)表示的平面地域x＋y－2≤0，【例1】(2015·重慶卷)若不等式組x＋2－2≥0，表示的平面地域為三角形，且其面積等yx－y＋2m≥04于3，則m的值為( )A.－3B.14C.3D.3解析如圖，要使不等式組表示的平面地域為三角形，則－2＜2，則＞－1，mm由x＋y－2＝0，x＝1－m，x－y＋2m＝0，解得y＝1＋m，即A(1－m，1＋m).x＝24－，x＋2y－2＝0，3由解得3x－＋2＝0，22ymy＝3＋3m，即2422，則△ABC＝△ADC－△BDC＝1(2＋2)(1＋)－1(2＋B－m，3＋m，所圍成的地域為△333ABCSSS2mm221242m)·3(1＋m)＝3(1＋m)＝3，解得m＝－3(舍去)或m＝1.應選B.答案B規(guī)律方法二元一次不等式(組)表示平面地域的判斷方法：直線定界，測試點定域，注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可以選一個，也可以選多個，若直線但是原點，則測試點常采用原點.x≥0，4【訓練1】若不等式組x＋3y≥4，所表示的平面地域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部33x＋y≤4分，則k的值是()73A.B.3743C.3D.4解析不等式組表示的平面地域以下列圖.444由于直線y＝kx＋3過定點0，.因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx＋3能均分平面地域.3由于(1，1)，(0，4)，AB5因此AB中點D2，2.當y4155k4＝kx＋過點，時，＝＋，3222237因此k＝3.答案A考點二線性規(guī)劃相關(guān)問題(多維研究)命題角度一求目標函數(shù)的最值2x－y＋1≥0，【例

2－1】

(1)(2016

·全國Ⅲ卷

)設

x，y滿足拘束條件

x－2y－1≤0，則

z＝2x＋3y－5

的x≤1，最小值為________.x－1≥0，則y(2)(2015·全國Ⅰ卷)若，滿足拘束條件x－y≤0，的最xyxx＋y－4≤0，大值為________.解析(1)畫出不等式組表示的平面地域如圖中陰影部分所示.由題意可知，25zz333min2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，yx是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A(1，3)與原點連線的斜率最大，y故x的最大值為3.答案(1)－10(2)3命題角度二求參數(shù)的值或范圍x＋y≥0，【例2－】(2015·福建卷)變量，滿足拘束條件x－2y＋2≥0，若＝2x－y的最大值為2xyzmx－y≤0.2，則實數(shù)m等于( )A.－2B.－1C.1D.2解析以下列圖，目標函數(shù)z＝2－y取最大值2，即y＝2x－xx＋y≥0，2時，畫出表示的地域，由于mx－y≤0過定點(0，0)，要使z＝2x－y取最大值x－2y＋2≥02，則目標函數(shù)必過兩直線x－2y＋2＝0與y＝2x－2的交點A(2，2)，因此直線mx－y＝0過點A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1.答案C規(guī)律方法線性規(guī)劃兩類問題的解決方法求目標函數(shù)的最值：畫出可行域后，要依照目標函數(shù)的幾何意義求解，常有的目標函數(shù)有：①截距型：形如z＝ax＋by；②距離型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2.③斜率型：形如zy－bx－a.(2)求參數(shù)的值或范圍：參數(shù)的地址可能在目標函數(shù)中，也可能在拘束條件中.求解步驟為：①注意對參數(shù)取值的談論，將各種情況下的可行域畫出來；②在吻合題意的可行域里，追求最優(yōu)解.【訓練2】(1)設x，y滿足拘束條件x＋y≥a，且z＝＋ay的最小值為7，則＝( )x－y≤－1，xaA.－5B.3C.－5或3D.5或－32x－y≤0，(2)(2017·諸暨市統(tǒng)考)已知變量x，y滿足x－2y＋3≥0，則z＝(2)2x＋y的最大值為x≥0，________.解析(1)二元一次不等式組表示的平面地域以下列圖，a－1a＋1.由z＝x＋ay得y其中A2，21z＝－ax＋a.1由圖可知當－1≤－a≤1時，z可獲取最小值，此時a≥1或a≤－1.1z－1＋1又直線y＝－ax＋a過A點時，z獲取最小值，因此2＋a×2＝7，化簡得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，當a＝3時，經(jīng)檢驗知滿足題意；當a＝－5時，目標函數(shù)z＝x＋ay過點A時獲取最大值，不滿足題意，應選B.(2)作出不等式組所表示的平面地域，如圖陰影部分所示.令m＝2x＋y，由圖象可知當直線y＝－2x＋m經(jīng)過點A時，直線y＝－2x＋m的縱截距最大，此時最大，故z最大.m2x－y＝0，x＝1，由解得y＝2，x－2y＋3＝0，即A(1，2).代入目標函數(shù)z＝(2)2x＋y2)2×1＋2＝4.得，z＝(答案(1)B(2)4考點三實質(zhì)生活中的線性規(guī)劃問題【例3】(2016·全國Ⅰ卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新式資料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲資料1.5kg，乙資料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲資料0.5kg，乙資料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲資料150kg，乙資料90kg，則在不高出600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.解析設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，依照所耗費的資料要求、工時要求等其他限制條件，得線性拘束條件為1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*，目標函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域為圖中的陰影部分(包括界線)內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的極點坐標分別為(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)處獲取最大值，zmax＝2100×60＋900×100216000(元).答案216000規(guī)律方法解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟：解析題意，設出未知量；列出線性拘束條件和目標函數(shù)；作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；作答.【訓練

3】

(2015·陜西卷

)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用

A，B兩種原料，已知生產(chǎn)

1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，若是生產(chǎn)

1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲取最大利潤為

(

)甲乙

原料限額A(噸)

3

2

12B(噸)

1

2

8A.12

萬元

B.16

萬元C.17萬元D.18萬元3x＋2y≤12，解析設每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目標函數(shù)z＝3x＋4y，線性拘束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：可得目標函數(shù)在點A處取到最大值.x＋2y＝8，由得A(2，3).則zmax＝3×2＋4×3＝18(萬元).3x＋2y＝12，答案D[思想方法]求最值：求二元一次目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將z＝ax＋by轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€的斜截az

z式：y＝－bx＋b，經(jīng)過求直線的截距

b的最值間接求出

z的最值

.最優(yōu)解在極點或界線獲取

.解線性規(guī)劃應用題，可先找出各變量之