秋高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)12任意三角函數(shù)122同角三角函數(shù)基本關(guān)系學(xué)案新人教A版必修4

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用．

(要點(diǎn))2.

會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明．(難點(diǎn))[自主預(yù)習(xí)·探新知]1．平方關(guān)系公式：sin2α＋cos2α＝1.語言表達(dá)：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商數(shù)關(guān)系公式：sinα＝tan_α(α≠kπ＋π，k∈Z)．cosα2語言表達(dá)：同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思慮：對隨意的角α，sin22α＋cos22α＝1能否建立？[提示]建立．平方關(guān)系中重申的同一個角且是隨意的，與角的表達(dá)形式?jīng)]關(guān)．[基礎(chǔ)自測]1．思慮辨析sinα2α(1)對隨意角α，cosα＝tan2都建立．( )2292π22(2)由于sin4π＋cos4＝1，因此sinα＋cosβ＝1建立，此中α，β為隨意角．()(3)對隨意角α，sinα＝cosα·tanα都建立．()[分析]由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知(2)錯，由正切函數(shù)的定義域知α不可以取隨意角，因此(1)錯，(3)錯．[答案](1)×(2)×(3)×2．化簡1－sin23π的結(jié)果是()53π3πA．cosB．sin553π3πC．－cos5D．－sin5C[由于3π5是第二象限角，3π因此cos5＜0，因此1－sin23π＝3π3π.]cos23π＝cos＝－cos555533．若cosα＝5，且α為第四象限角，則tanα＝________.4[由于α為第四象限角，且cos3－α＝，35因此sinα＝－1－cos21－324α＝－＝－，55sinα4因此tanα＝cosα＝－3.][合作研究·攻重難]直策應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值3π(1)已知α∈π，2，tanα＝2，則cosα＝________.8(2)已知cosα＝－17，求sinα，tanα的值.【導(dǎo)學(xué)號：84352041】[思路研究](1)依據(jù)tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程組求cosα.(2)先由已知條件判斷角α是第幾象限角，再分類議論求sinα，tanα.5sinα＝2，①cosα(1)－5[(1)由已知得sin2α＋cos2α＝1，②由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，213π因此cosα＝5，又α∈π，2，因此cosα＜0，5因此cosα＝－5.]8∵cosα＝－17＜0，∴α是第二或第三象限的角．假如α是第二象限角，那么sin21－－8215，α＝1－cosα＝17＝1715sinα1715tanα＝cosα＝8＝－8.172假如α是第三象限角，同理可得21515sinα＝－1－cosα＝－17，tanα＝8.[規(guī)律方法]利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問題的方法：(1)已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先采用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系．(2)若角α所在的象限已經(jīng)確立，求另兩種三角函數(shù)值時，只有一組結(jié)果；若角α所在的象限不確立，應(yīng)分類議論，一般有兩組結(jié)果．提示：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時，要注意相關(guān)角終邊地點(diǎn)的判斷，確立所求值的符號．[追蹤訓(xùn)練]1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解]∵sinα＋3cosα＝0，sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，10∴cosα＝±10.又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號，∴角α的終邊在第二或第四象限．cos10，sinα＝310；當(dāng)角α的終邊在第二象限時，α＝－1010103當(dāng)角α的終邊在第四象限時，cosα＝10，sinα＝－1010.靈巧應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值7已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，則tanα＝________.13sinα＋cosα已知sinα－cosα＝2，計(jì)算以下各式的值．3sinα－cosα2sinα＋3cosα；②sin2α－2sinαcosα＋1.【導(dǎo)學(xué)號：84352042】3[思路研究](1)法一求sinαcosα→求sinα－cosα→求sinα和cosα→求tanα法二求sinαcosα→弦化切建立對于tanα的方程→求tanα求tanα→換元或弦化切求值12(1)－5[法一：(建立方程組)由于sinα＋cos7α＝13，①因此sin2249α＋cosα＋2sinαcosα＝169，120即2sinαcosα＝－.169由于α∈(0，π)，因此sinα＞0，cosα＜0.217因此sinα－cosα＝sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝13.②由①②解得sin12，cos5，α＝α＝－1313sinα12因此tanα＝cosα＝－5.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－60sinαcosα60tanα＝－60，22＝－169，2，169sinα＋cosαtanα＋1169整理得60tan2512α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－或tanα＝－.125712由sinα＋cosα＝13＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－5.sinα＋cosα由sinα－cosα＝2，化簡，得sinα＝3cosα，因此tanα＝3.3×3cosα－cosα8cosα8①法一(換元)原式＝2×3cosα＋3cosα＝9cosα＝9.3tanα－13×3－18法二(弦化切)原式＝2tanα＋3＝2×3＋3＝9.②原式＝sin2α－2sinαcosα＋1sin2α＋cos2α422－2×313tanα－2tanα3＝tan2α＋1＋1＝32＋1＋1＝10.]母題研究：1.將本例(1)條件“α∈(0，π)”改為“α∈(－π，0)”其余條件不變，結(jié)果又怎樣？[解]由例(1)求出2sinαcos120α＝－169，由于α∈(－π，0)，因此sinα＜0，cosα＞0，因此sinα－cosα＝－α－cosα217＝－1－2sinαcosα＝－13.與sinα＋cosα＝7sin512聯(lián)立解得α＝－，cosα＝，131313sinα5因此tanα＝cosα＝－12.712．將本例(1)的條件“sinα＋cosα＝13”改為“sinα·cosα＝－8”其余條件不變，求cosα－sinα.1π[解]由于sinαcosα＝－8＜0，因此α∈2，π，因此cosα－sinα＜0，15cosα－sinα＝－1－2sinαcosα＝－1－2×－8＝－2.[規(guī)律方法]1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三個式子中，已知此中一個，能夠求其余兩個，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．已知tanα＝m，求對于sinα，cosα的齊次式的值解決這種問題需注意以下兩點(diǎn)：(1)必定是對于sinα，cosα的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式；(2)由于cosα≠0，因此可除以cosα，這樣可將被求式化為對于tanα的表示式，而后輩入tanα＝m的值，進(jìn)而達(dá)成被求式的求值．提示：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意依據(jù)角的終邊地點(diǎn)，利用三角函數(shù)線判斷它們的符號.應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡2sin2α－1(1)化簡1－2cos2α＝________.sinαtanα－sinα(2)化簡1－cosα·tanα＋sinα.(此中α是第三象限角)[思路研究](1)將cos2α＝1－sin2α代入即可化簡．5(2)第一將tansinαα化為cosα，而后化簡根式，最后約分．(1)1[(1)2sin2α－12sin2α－1＝1.原式＝1－－sin2α＝2sin2α－1sinαsinαcosα－sinα(2)原式＝1－cosα·sinαcosα＋sinα＝sinα·1－cosα1－cosα1＋cosαsinα2＝·－cosα1－cosα1－cos2αsinα1－cosα＝1－cosα·|sinα|.又由于α是第三象限角，因此sinα＜0.sinα1－cosα因此原式＝1－cosα·－sinα＝－1.][規(guī)律方法]三角函數(shù)式化簡的常用方法化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，進(jìn)而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的.對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完整平方式，而后去根號達(dá)到化簡的目的.對于化簡含高次的三角函數(shù)式，常常借助于因式分解，或結(jié)構(gòu)sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.提示：在應(yīng)用平方關(guān)系式求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號是由角α所在的象限決定，不行憑幻想象.[追蹤訓(xùn)練]12．化簡tanαsin2α－1，此中α是第二象限角．[解]由于α是第二象限角，因此sinα＞0，cosα＜0.故tanα1α－1＝tanα1－sin2αcos2αsinαcosαsinsinα＝αsin＝222sinα－cosαcosα·sinα＝－1.應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明[研究問題]1．證明三角恒等式常用哪些方法？6提示：(1)從右證到左．從左證到右．證明左右歸一．(4)更改命題法．如：欲證明MPQP＝，則可證MQ＝NP，或證＝等．NQNM2．在證明1＋sinα＋cosα＋2sinαcosαα＋cosα?xí)r怎樣巧用“1”的1＋sinα＋cosα＝sin代換．提示：在求證1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα＝sinα＋cosα?xí)r，察看等式左1＋sinα＋cosα邊有2sinαcosα，它和1相加應(yīng)當(dāng)想到“1”的代換，即1＝sin2α＋cos2α，因此等式左側(cè)＝2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝α＋cosα2＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝α＋cosαα＋cosα＋sinα＋cosα＋1＝sinα＋cosα＝右側(cè)．tanαsinαtanα＋sinα求證：tanα－sinα＝tanαsinα.【導(dǎo)學(xué)號：84352043】[思路研究]tansinα解答此題可由關(guān)系式α＝cosα將兩邊“切”化“弦”來證明，也可由右至左或由左至右直接證明．[證明]法一：(切化弦)左側(cè)＝sinsin2αα＝sinαα－sinαcos1－cosα，sinα＋sinαcosα1＋cosα右側(cè)＝sin2α＝sinα.由于sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，sinα1＋cosα因此1－cosα＝sinα，因此左側(cè)＝右側(cè)．因此原等式建立．法二：(由右至左)由于右側(cè)＝tan2α－sin2αα－sinααsinα＝tan2α－tan2αcos2αα－sinααsinα722＝tanα－cosαα－sinααsinαtan2αsin2αtanαsinα＝α－sinααsinα＝tanα－sinα＝左側(cè)，因此原等式建立．[規(guī)律方法]1.證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡；(2)雙管齊下，即證左側(cè)、右側(cè)都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目標(biāo)奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代換；(2)化切為弦；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式)．提示：解決此類問題要有整體代換思想．[追蹤訓(xùn)練]sinα－cosα＋11＋sinα3．求證：(1)sinα＋cosα－1＝cosα；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[證明](1)左側(cè)＝α－cosα＋α＋cosα＋α＋cosα－α＋cosα＋＝α＋2－cos2αα＋cosα2－1＝2α＋2sinα＋－－sin2αsin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1＝2sin2α＋2sinα1＋2sinαcosα－12sinαα＋1＋sinα＝2sinαcosα＝cosα＝右側(cè)，∴原等式建立．(2)左側(cè)＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θcos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右側(cè)，∴原等式建立．8[當(dāng)堂達(dá)標(biāo)·固雙基]1．假如α是第二象限的角，以下各式中建立的是( )sinαA．tanα＝－cosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αcosαD．tanα＝sinαB[由商數(shù)關(guān)系可知A，D均不正確．當(dāng)α為第二象限角時，cosα＜0，sinα＞0，故B正確．]2．sinα＝522)，則sinα－2cosα的值為(5【導(dǎo)學(xué)號：84352044】37A．－5B．－537C．D．555224B[由于sinα＝5，因此cosα＝1－sinα＝5，22147因此sinα－2cosα＝5－2×5＝－5.]12sinαcosα3．已知tanα＝－2，則sin2α－cos2α的值是()A．4B．334C．－3D．－3A[由于tan1α＝－2，2×－12sinαcosα2tanα24因此22＝tan2＝＝.]sinα－cosαα－112－13－214．已知α是第二象限角，tanα＝－2，則