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文檔簡(jiǎn)介
關(guān)于高考專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)與方程不等式ppt第一頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函數(shù)的解析式2.頂點(diǎn)式:y=a(x
-m)2+n(其中(m,n)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo));3.兩根式:y=a(x
-x1)(x
-x2)(其中x1,x2為拋物線與
x
軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo));
注:
求二次函數(shù)的解析式,一般都采用待定系數(shù)法.做題時(shí),要根據(jù)題設(shè)條件,合理地設(shè)出解析式.二、二次函數(shù)的圖象有關(guān)知識(shí):
圖象形狀;
對(duì)稱軸;
頂點(diǎn)坐標(biāo);
與
x
軸交點(diǎn)坐標(biāo);截
x
軸線段長(zhǎng).第二頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四三、二次函數(shù)的性質(zhì)
1.當(dāng)
a>0
時(shí),拋物線開(kāi)口向上,函數(shù)在(-∞,-
]上單調(diào)遞減,在[-,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)
x=
-時(shí),f(x)
取得最小值,為.2ab2ab2ab4a4ac-b2
2.當(dāng)
a<0
時(shí),拋物線開(kāi)口向下,函數(shù)在(-∞,-
]上單調(diào)遞增,在[-,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)
x=
-時(shí),f(x)
取得最大值,為.2ab2ab2ab4a4ac-b2第三頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四四、二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值2.若
x0[m,n],則(1)當(dāng)
x0<m
時(shí),f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);(2)當(dāng)
x0>n
時(shí),f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).
1.若
x0=-
∈[m,n],則
f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)
中的較大者即為
f(x)
在
[m,n]
上的最大值.2ab4a4ac-b2第四頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四五、不等式
ax2+bx+c>0
恒成立問(wèn)題1.
ax2+bx+c>0在R上恒成立.a>0△=b2-4ac<0,a=b=0c>0.或ax2+bx+c<0在R上恒成立.a<0△=b2-4ac<0,a=b=0c<0.或2.
f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)
在
[m,n]
上恒成立.f(m)>0,-<m
2ab△=b2-4ac<0,m≤-≤n
2ab或f(n)>0.->n
2ab或f(x)min>0(x∈[m,n])f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)
在
[m,n]
上恒成立.f(n)<0.f(m)<0第五頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四1.方程
f(x)=0
有兩正根
六、二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)
的實(shí)根分布問(wèn)題記
f(x)=ax2+bx+c(a>0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-
>0
abacx1x2=
>0
△=b2-4ac≥0f(0)>0.-
>0
2ab2.方程
f(x)=0
有兩負(fù)根
△=b2-4ac≥0.x1+x2=-
<0
abacx1x2=
>0
△=b2-4ac≥0f(0)>0.-
<0
2ab4.方程
f(x)=0
的兩實(shí)根都小于
k
△=b2-4ac≥0f(k)>0.-
<k
2ab3.方程
f(x)=0
有一正根一負(fù)根
c<0.5.方程
f(x)=0
的兩實(shí)根一個(gè)大于
k,另一個(gè)小于
k
f(k)<0.第六頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四6.方程
f(x)=0
的兩實(shí)根都大于
k△=b2-4ac≥0f(k)>0.-
>k
2ab7.方程
f(x)=0
的兩實(shí)根都在區(qū)間(m,n)內(nèi)f(m)>0
△=b2-4ac≥0m<
-
<n
2abf(n)>0.8.方程
f(x)=0
的兩實(shí)根中,有且只有一個(gè)在區(qū)間(m,n)內(nèi).f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<
-
<,2abm+n
2<
-
<
n.
2abm+n
2f(n)=0或思考方程的兩根有且只有一個(gè)在區(qū)間[m,n]上時(shí)等價(jià)于?第七頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四9.方程
f(x)=0
的兩根分別在區(qū)間(m,n)和(p,q)(n<p)內(nèi).f(m)>0
f(n)<0f(p)<0f(q)>0.
注涉及方程
f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)根分布問(wèn)題,一般情況下要從四個(gè)方面考慮:①
f(x)
圖象的開(kāi)口方向;②方程
f(x)=0的判別式;④區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào).
③
f(x)
圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系;第八頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四△>0△=0△<0判別式△=b2-4ac
七、二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系o(a>0)的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a>0)的解集ax2+bx+c<0{x
|
x1<x<x2}一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)根
x1,x2(x1<x2)沒(méi)有實(shí)根有兩相等實(shí)根
x1=x2=
-
2ab(a>0)的解集Rax2+bx+c>0{x
|
x<x1
或x>x2}{x
|
x≠-
}2ab第九頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四八、典型例題
1.已知二次函數(shù)
f(x)
滿足
f(2)=-1,
f(-1)=-1,且
f(x)
的最大值是
8,試確定此二次函數(shù)的解析式.解法一:
利用二次函數(shù)的一般式.故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:
利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.設(shè)f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1)=-1,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線
x=,12∴m=.12又
f(x)
的最大值是
8,∴n=8.∴f(x)=a(x
-)2+8,12∵f(2)=-1,∴a(2
-)2+8=-1,12∴a=-4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12第十頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四解法三:
利用二次函數(shù)的兩根式.由已知
f(x)+1=0
的兩根為
2
和
-1,故可設(shè)
f(x)+1=a(x-2)(x+1),從而
f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即
f(x)=ax2-ax-2a-1.又
f(x)
的最大值是
8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得
a=-4
或
a=0(舍去).故所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.第十一頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四∵f(x)
在區(qū)間[0,2]上的最小值為
3,∴可分情況討論如下:
2.已知函數(shù)
f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2
在區(qū)間[0,2]上有最小值
3,
求實(shí)數(shù)
a
的值.解:
由已知
f(x)=4(x
-)2-
2a+2.a2a2(1)當(dāng)≤0,即
a≤0
時(shí),函數(shù)
f(x)
在[0,2]上是增函數(shù).
∴
f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)當(dāng)
0<<2,即
0<a<4
時(shí),a2f(x)min=f()=-2a+2.由
-2a+2=3
得:a=-
12
(0,4),舍去.a2(3)當(dāng)≥2,即
a≥4
時(shí),函數(shù)
f(x)
在[0,2]上是減函數(shù).
∴
f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由
a2-2a+2=3
得:a=1
2
.∵a≤0,∴a=1-
2.
由
a2-10a+18=3
得:a=5
10.∵a≥4,∴a=5+
10.
綜上所述,a=1-
2
或
a=5+10.第十二頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四
3.已知
y2=4a(x
-a)中a>0,
且當(dāng)
x≥a
時(shí),S=(x
-3)2+y2
的最小值為
4,求參數(shù)
a
的值.解:
由已知S=(x
-3)2+y2=(x
-3)2+4a(x
-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.∵當(dāng)
x≥a
時(shí),S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2
的最小值為
4,∴對(duì)正數(shù)
a,可分情況討論如下:(1)當(dāng)3-2a<a,即
a>1
時(shí),函數(shù)
S(x)
在[a,+∞]上是增函數(shù).
∴
S(x)min=S(a)=(a-3)2.由
(a-3)2=4
得:a=1
或
5.∵a>1,∴a=5.
(2)當(dāng)3-2a≥a,即
0<a≤1
時(shí),S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.由
12a-8a2=4
得:a=1
或,12均滿足
0<a≤1.
12綜上所述,參數(shù)
a
的值為
或
1
或
5.第十三頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四
4.已知二次函數(shù)
f(x)=ax2+bx+c
的圖象與直線
y=25
有公共點(diǎn),且不等式
ax2+bx+c>0
的解集是(-,),求
a,b,c
的取值范圍.1213解:
由已知,二次方程
ax2+bx+c
-25=0
有實(shí)根.∴
△=b2-4a(c
-25)≥0.又不等式
ax2+bx+c>0
的解集是(-,),
1213∴
a<0,且有
-=-,=-.1616abac∴
b=
a,c=-
a>0.1616∴
b=-c,c2+24c(c
-25)≥0.解得:c≥24.∴
b≤-24,a≤-144.故
a,b,c
的取值范圍分別是
a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c
-25)≥0
得:第十四頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四
5.已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)
a,b,c,使不等式
x≤f(x)≤
對(duì)一切實(shí)數(shù)
x
都成立?x2+12則由f(x)=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),得a-b+c=0.①∵
x≤f(x)≤
對(duì)一切實(shí)數(shù)
x
都成立,當(dāng)
x=1
時(shí)也成立,x2+12∴1≤f(1)≤1,即
f(1)=1,得a+b+c=1.②
∴由
①,②
得:a+c=b=.
121212∴
f(x)=ax2+x+
-a.解:
假設(shè)存在常數(shù)
a,b,c,使題中不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)
x
都成立.1212故應(yīng)x≤ax2+x+
-a≤對(duì)一切實(shí)數(shù)
x
都成立.x2+12即2ax2-x+1-2a≥0與(1-2a)x2-x+2a≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)
x
都成立.則必有:1-8a(1-2a)≤0,即
(4a-1)2≤0.14∴
a=.1214∴
c
=-a
=.x2+1214故存在一組常數(shù):
a=,b=,c=,使不等式
x≤f(x)≤對(duì)一切實(shí)數(shù)
x
都成立.1412其中,0<a<
.12解法二:
可得
ac≥
且
ac≤,161161
∴ac=且
a=c,161從而得解.第十五頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四
6.已知二次函數(shù)
f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9.(1)
若在
[-1,1]
上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)
m,使得
f(m)>0,求實(shí)數(shù)a
的取值范圍;(2)若對(duì)
[-1,1]
上的一切實(shí)數(shù)
m,都有
f(m)>0,求實(shí)數(shù)
a
的取值范圍.解:
f(x)
的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,其對(duì)稱軸為直線
x=a-1.
(1)問(wèn)題等價(jià)于“對(duì)于
x∈[-1,1],有
f(x)max>0.”討論如下:①當(dāng)
a-1≤0
即
a≤1
時(shí),f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+15>0
得:-5<a<3.∵
a≤1,∴
-5<a≤1.②當(dāng)
a-1>0
即
a>1
時(shí),f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+7>0
得:-1<a<7.∵
a>1,∴1<a<7.綜上所述,-5<a<7.即實(shí)數(shù)
a
的取值范圍是
(-5,7).
注:亦可用補(bǔ)集法求解.第十六頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四(2)問(wèn)題等價(jià)于“對(duì)于
x∈[-1,1],有
f(x)min>0.”討論如下:①當(dāng)
a-1<-1
即
a<0
時(shí),f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+7>0
得:-1<a<7.∵
a<0,∴
-1<a<0.②當(dāng)
-1≤a-1≤1
即
0≤a≤2
時(shí),f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.而當(dāng)
0≤a≤2
時(shí),-3a2+6a+7>0
恒成立.∴0≤a≤2.綜上所述,-1<a<3.即實(shí)數(shù)
a
的取值范圍是
(-1,3).③當(dāng)
a-1>1
即
a>2
時(shí),f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+15>0
得:-5<a<3.∵
a>2,∴2<a<3.第十七頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四證:(1)令
F(x)=f(x)
-x,由于
x1,x2是方程
f(x)
-x=0
的兩根,所以可設(shè)
F(x)=a(x-x1)(x-x2).
7.已知二次函數(shù)
f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程
f(x)
-x=0
的兩根x1,x2滿足
0<x1<x2<
.(1)當(dāng)
x∈(0,x1)
時(shí),
證明:
x<f(x)<x1;
(2)設(shè)函數(shù)
f(x)
的圖象關(guān)于直線
x=x0對(duì)稱,證明:x0<
.1a2x1∵0<x1<x2<
,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a當(dāng)
x∈(0,x1)
時(shí),
由
x1<x2及
a>0
有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即
f(x)
-x>0,從而
f(x)>x.又
x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴
x1-f(x)>0,從而
x1>f(x).
故當(dāng)
x∈(0,x1)
時(shí),
有
x<f(x)<x1;第十八頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四(2)依題意
x0=-.
2ab由于
x1,x2是方程
f(x)-x=0
即
ax2+(b-1)x+c=0
的兩根,∴
x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a
∴
x0=-2ab1-a(x1+x2)
2a
=-a(x1+x2)-12a
=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a
=<=.∴
x02aax1故
x0<.2x1第十九頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四
8.(1)設(shè)方程2sin2x-4asinx+1-a=0
在[0,]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)a
的取值范圍;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0
在[0,]上恒成立,求實(shí)數(shù)
a
的取值范圍.解:(1)令
t=sinx,
則方程
2sin2x-4asinx+1-a=0
在[0,]上有兩個(gè)不同的解等價(jià)于:方程
2t2-4at+1-a=0
有一根為
0,另一根不在
(0,1)
內(nèi);或方程
2t2-4at+1-a=0
在
(0,1)
內(nèi)有兩等根;
或方程
2t2-4at+1-a=0
有一解在
(0,1)
內(nèi),另一解在[0,1]外.
當(dāng)
t=0
時(shí),a=1,方程
2t2-4at+1-a=0
的另一根為
2
且
2(0,1),∴a=1
適合題意;
第二十頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四方程
2t2-4at+1-a=0
有兩等根時(shí),由
△=16a2-8(1-a)=0
得:a=-1
或.12∵a=-1時(shí),方程
2t2-4at+1-a=0
的兩等根為-1
但
-
1(0,1),∴a=-1
不合題意,舍去;12又a=時(shí),方程
2t2-4at+1-a=0
的兩等根為
且(0,1),1212∴a=
適合題意;
12
設(shè)
f(t)=2t2-4at+1-a,則方程
2t2-4at+1-a=0有一解在(0,1)內(nèi),另一解在[0,1]外等價(jià)于:f(0)f(1)<0,即
(1-a)(3-5a)<0.解得
<a<1.
35綜上所述,實(shí)數(shù)
a
的取值范圍是a=,或<a≤1.3512第二十一頁(yè),共二十四頁(yè),編輯于2023年,星期四
(2)令
t=sinx,
則不等式
2sin2x-4asinx+1-a>0
在[0,]上恒成立等價(jià)于不等式
2t2-4at+1-a>0
在[0,1]上恒成立.等價(jià)于或或a<0f(0)>00≤a≤1f(a)>0a>1f(1)>0.即或或
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