積分變換第五章

積分變換第五章1第一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日§1孤立奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)2.極點(diǎn)3.本性奇點(diǎn)4.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)第二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在第二章曾定義函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn)。如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某個(gè)去心鄰內(nèi)處處解析,則z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。函數(shù)的奇點(diǎn)都是孤立的。例如都以z=0為孤立奇點(diǎn)。但不能認(rèn)為的一個(gè)奇點(diǎn)，此外當(dāng)n的絕對(duì)值逐漸增大時(shí),可任意接近z=0。域例如函數(shù)，z=0是它也是它的奇點(diǎn)。第三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日換句話說,在z=0的不論怎樣小的去心領(lǐng)域內(nèi)總有f(z)的奇點(diǎn)存在。所以z=0不是孤立奇點(diǎn)。把函數(shù)f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。根據(jù)展開式的不同情況對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行如果在洛朗級(jí)數(shù)中不含點(diǎn)z0稱為f(z)的可去奇點(diǎn)。這時(shí),f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)實(shí)際上就是一個(gè)普通的冪級(jí)數(shù)：的負(fù)冪項(xiàng)，則孤立奇1.可去奇點(diǎn)如下分類。第四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此,這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù),且時(shí),F(z)=f(z);當(dāng)z=z0時(shí),F(z0)=c0。由于當(dāng)從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.由于這個(gè)原因,所以z0稱為可去奇點(diǎn)。所以不論f(z)原來在z0是否有定義,如果令f(z0)=c0,則在圓域內(nèi)就有第五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例如，z=0是的可去奇點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)在z=0的去心領(lǐng)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中不含負(fù)冪項(xiàng)。如果約定在z=0的值為1(即c0)，則在z=0就成為解析的了。第六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日2.極點(diǎn)其中如果在洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)其中關(guān)于,即則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。上式也可寫成的負(fù)冪項(xiàng),且的最高冪為在內(nèi)是解析的函數(shù),且。第七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日反過來,當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式,且g(z0)0時(shí),則z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。如果z0為f(z)的極點(diǎn),由(5.1.1)式,就有例如，對(duì)有理分式函數(shù)它的三級(jí)極點(diǎn)，是它的一級(jí)極點(diǎn)。或?qū)懽?z=1是第八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日3.本性奇點(diǎn)中含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)。如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的本性奇點(diǎn)。的負(fù)冪項(xiàng),則例如，函數(shù)以z=0為它的本性奇點(diǎn)。因?yàn)樵诩?jí)數(shù)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),f(z)有以下性質(zhì)(證明從略):第九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),f(z)有以下性質(zhì)(證明從略):如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)任意給定的復(fù)數(shù)A,總可以找到一個(gè)趨向于z0的數(shù)列,當(dāng)z沿這個(gè)數(shù)列趨向于z0時(shí),f(z)的值趨向于A。。則由，可得,顯然，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)z沿趨向于i。而趨向于零時(shí)，f(z)的值例如,給定復(fù)數(shù)A=i,可把它寫成第十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日存在且有限；如果z0為f(z)的極點(diǎn)，則如果z0為f(z)的本性奇點(diǎn)，則不存在且不為反過來結(jié)論也成立。這就是說，可以利用上述極限的；。不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型。綜上所述,如果z0為f(z)的可去奇點(diǎn)，則第十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日4.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成其中f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。例如當(dāng)級(jí)零點(diǎn),根據(jù)這個(gè)定義,可以得到以下結(jié)論：若f(z)在z0解析，則z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要在z0解析且,m為某一正整數(shù),則z0稱為時(shí),z=0與z=1是它的一級(jí)與三條件是第十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日事實(shí)上，如果z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，那么f(z)可表成如下形式：其中

,那么f(z)在z0的泰勒展開式為設(shè)在z0的泰勒展開式為第十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日易證z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是前m項(xiàng)系數(shù)從而知z=1是f(z)的一級(jí)零點(diǎn)。如z=1是f(z)=z3-1的零點(diǎn)，由于f'(1)=3z2|z=1=30,,這等價(jià)于第十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日順便指出，由于在z0的去心鄰域內(nèi)不為零，即的鄰域內(nèi)不為零。這是因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的零點(diǎn)是孤立的。，必存在，由此得時(shí)，有在z0解析且因而它在z0在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定，當(dāng)所以不恒為零，只在z0等于零。也就是說，一個(gè)不恒為零的第十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日定理如果z0是

f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，則z0就是的m級(jí)[證]如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，則有零點(diǎn)，反過來也成立。其中g(shù)(z)在z0解析，且m級(jí)極點(diǎn)，則有。所以當(dāng)時(shí)，有函數(shù)h(z)也在z0解析，且。又由于第十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此只要令，則可得z0是的m級(jí)零點(diǎn)。反過來，如果z0是的m級(jí)零點(diǎn)，那么這里在z0解析，且，由此，當(dāng)時(shí)，得第十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日而在z0解析，并且，所以z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法。第十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例1函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。[解]函數(shù)1/sinz的奇點(diǎn)顯然是使sinz=0的點(diǎn)。這些奇點(diǎn)是。因?yàn)閺膕inz＝0得或。顯然它們是孤，從而有，所以立奇點(diǎn)。由于所以都是sinz的一級(jí)零點(diǎn),也就是sinz的一級(jí)極點(diǎn)。第十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日注意：在求函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)，不能一看函數(shù)表面極點(diǎn)，其實(shí)是一級(jí)極點(diǎn)。因?yàn)槠渲械膠=0解析，并且.類似地，z=0是的2級(jí)極點(diǎn)而不是3級(jí)極點(diǎn)。形式急于作結(jié)論。像函數(shù)，初看似乎z=0是它的2級(jí)第二十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例

下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。[解](1)顯然是三級(jí)極點(diǎn)，是二級(jí)極點(diǎn)。所以是可去奇點(diǎn)。第二十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例

下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。[解](3)顯然是函數(shù)的奇點(diǎn)。所以是六級(jí)極點(diǎn)。又第二十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)如果函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析，稱點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn)。作變換規(guī)定這個(gè)變換把擴(kuò)充z平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)擴(kuò)充t平面上的點(diǎn)，并且映射成，則擴(kuò)充z平面上每一個(gè)向無窮到現(xiàn)在為止，討論函數(shù)f(z)的解析性和它的孤立奇點(diǎn)時(shí)，都設(shè)z為復(fù)平面內(nèi)的有限遠(yuǎn)點(diǎn)。至于函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)，尚未提及。現(xiàn)在在擴(kuò)充復(fù)平面上對(duì)此加以討論。第二十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日與擴(kuò)充t平面上向零收斂的序列對(duì)應(yīng)。反過來也是這樣。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)收斂的序列相對(duì)應(yīng)。反過來也是這樣。同時(shí)，把擴(kuò)充z平面上的去心領(lǐng)域映射成擴(kuò)充t平面上原點(diǎn)的去心領(lǐng)域，又這樣，可把在去心領(lǐng)域?qū)(z)的研究化為在內(nèi)對(duì)的研究。顯然在內(nèi)解析，第二十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日所以z=0是的孤立奇點(diǎn)。規(guī)定，如果t=0是本性奇點(diǎn)，則稱點(diǎn)z=是f(z)的可去奇點(diǎn)，m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。由于f(z)在R<|z|<+內(nèi)解析，所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級(jí)數(shù),即有的可去奇點(diǎn)，m級(jí)極點(diǎn)或其中C為R<|z|<+內(nèi)繞原點(diǎn)任何一條簡(jiǎn)單正向閉曲線。第二十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日如果在上面級(jí)數(shù)中因此，在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)可由得到上式得到為為最高冪,i)可去奇點(diǎn),則t=0是iii)含有無窮多的負(fù)冪項(xiàng),ii)含有有限多的負(fù)冪項(xiàng),且i)不含負(fù)冪項(xiàng),的ii)m級(jí)極點(diǎn),iii)本性奇點(diǎn)。第二十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此，根據(jù)前面的規(guī)定，有：i)不含正冪項(xiàng)；ii)含有限多的正冪項(xiàng),且zm為最高冪；iii)含有無窮多的正冪項(xiàng)；則z=是f(z)的i)可去奇點(diǎn)；ii)

m級(jí)極點(diǎn)；iii)本性奇點(diǎn)。如果在級(jí)數(shù)中，這樣一來，對(duì)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)來說，它的特性與其洛朗級(jí)數(shù)之間的關(guān)系就跟有限遠(yuǎn)點(diǎn)的情形一樣，不過只是把正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)的作用互相對(duì)調(diào)就是了。第二十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例

下列函數(shù)中，∞的奇點(diǎn)類型。[解](1)顯然是二級(jí)極點(diǎn)，所以是二級(jí)極點(diǎn)。當(dāng)z=∞，令，則第二十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例

下列函數(shù)中，∞的奇點(diǎn)類型。[解]

所以是本性奇點(diǎn)。第二十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例

下列函數(shù)中，∞的奇點(diǎn)類型。[解](3)所以是本性奇點(diǎn)。當(dāng)z=∞，令，則第三十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日由前面分析又知道，要確定t=0是不是去奇點(diǎn)，極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，可以不必把展開成洛值)，為無窮大或即不存在又不為無窮大數(shù)就可以了。，對(duì)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也有同樣的確定方法，即z=是f(z)的可去奇點(diǎn),極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),完全看是否存在(有限值)，為無窮大或即不存在的可朗級(jí)數(shù)來考慮，只要分別看極限是否存在(有限又不是無窮大來決定。由于極限第三十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日的，只要取當(dāng)z=是f(z)的可去奇點(diǎn),可以認(rèn)為f(z)在是解析例如函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)可展開成它不含正冪項(xiàng),所以是f(z)的可去奇點(diǎn)。若取f()=1，則f(z)在解析。。第三十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日又如函數(shù)項(xiàng)，所以為它的一級(jí)極點(diǎn)。含有無窮多的正冪項(xiàng)，所以是它的本性奇點(diǎn)。，含有正冪項(xiàng)，且z為最高正冪函數(shù)sinz的展開式：第三十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日－1是f(z)的2級(jí)極點(diǎn)。例2函數(shù)類型的奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。以1與-1為一級(jí)零點(diǎn)，所以1與因[解]易知，函數(shù)f(z)除使分母為零的點(diǎn)外，在內(nèi)解析。零點(diǎn)。所以這些點(diǎn)中除去1,-1,2外都是f(z)的三級(jí)極點(diǎn)。在擴(kuò)充平面內(nèi)有些什么在由于處均不為零，因的一級(jí)零點(diǎn)，從而是此這些點(diǎn)都是的三級(jí)第三十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日所以z=2是f(z)的可去奇點(diǎn)。關(guān)于，因?yàn)橹劣趜=2，因?yàn)槭狗帜笧榱悖?dāng)n=1時(shí)，可知，即z=1；第三十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)n=2時(shí)，，即z=2。這兩點(diǎn)上面已經(jīng)討也就是不是f(z)的孤立奇點(diǎn)。為論過。所以當(dāng)n>2時(shí)，的極點(diǎn)。顯見當(dāng)。所以不是時(shí)，的孤立奇點(diǎn)，第三十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例

判定z=∞是下列函數(shù)的什么奇點(diǎn)？[解](1)所以是可去奇點(diǎn)。所以是本性奇點(diǎn)。所以是可去奇點(diǎn)。第三十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日§2留數(shù)1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理2.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)第三十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理但是,如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿在z0的某一般就不等于零。如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,那末根據(jù)柯西－古薩基本定理個(gè)去心鄰域其中C為z0領(lǐng)域內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線。內(nèi)包含z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C的積分第三十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此將f(z)在此鄰域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)其中c-1就稱為f(z)的留數(shù),也就是上面積分兩邊除以后，兩端沿C逐項(xiàng)積分,右端各項(xiàng)積分除留下的一項(xiàng)等于外,其余各項(xiàng)積分都等于零,所以后所得的數(shù)稱為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即第四十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日即從而有也就是說，f(z)在z0的留數(shù)就是f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)。第四十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日定理一(留數(shù)定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)Dz1z2z3znC1C2C3CnC孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析。C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則關(guān)于留數(shù)，有下面的基本定理(k=1,2,...,n)用互不包含的正向[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk簡(jiǎn)單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復(fù)合閉路定理有第四十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日即利用這個(gè)定理，求沿封閉曲線C的積分，就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。由此可見，留數(shù)定理的效用有賴于如何能有效地求出是f(z)以除等式兩邊，得第四十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在孤立奇點(diǎn)處z0處的留數(shù)。一般說來,求函數(shù)在奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)中對(duì)求留數(shù)可能更有利。如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則

Res[f(z),z0]=0,因?yàn)榇藭r(shí)f(z)在z0的展開式是泰勒展開式。如果z0是本性奇點(diǎn),則沒有太好的辦法,只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開。如果z0是極點(diǎn),則有一些對(duì)求項(xiàng)的系數(shù)即可。但如果知道奇點(diǎn)的類型,c-1有用的規(guī)則。第四十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日2.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則II如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則規(guī)則I如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則事實(shí)上,由于以乘上式的兩端，得第四十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],因此即得規(guī)則II,當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則I。兩邊求m-1階導(dǎo)數(shù)，得規(guī)則III設(shè)，P(z)及Q(z)在z0都解析，則z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，而如果第四十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日事實(shí)上，因?yàn)榧埃詾镼(z)的一級(jí)零點(diǎn)，從而z0為的一級(jí)極點(diǎn)。因此其中在z0解析，且。故z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)。由此得其中在z0解析，第四十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例1計(jì)算積分，C為正向圓周|z|=2。[解]由于有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)而這兩個(gè)極點(diǎn)都在圓周|z|=2內(nèi)，所以由規(guī)則I,得而根據(jù)規(guī)則I，令，即得規(guī)則III。所以第四十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此我們也可以用規(guī)則III來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡(jiǎn)單些.第四十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](1)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)方法一由規(guī)則I,得第五十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](1)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)方法二由規(guī)則III,得第五十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](2)的極點(diǎn)為(一)為一級(jí)極點(diǎn)。所以第五十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](2)的極點(diǎn)為(二)的一級(jí)極點(diǎn)，是從而是的二級(jí)極點(diǎn)，所以第五十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](3)有一個(gè)n+1級(jí)極點(diǎn)方法一由規(guī)則II,得第五十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](3)方法二將函數(shù)在上展開成洛朗級(jí)數(shù)，即所以有一個(gè)n+1級(jí)極點(diǎn)第五十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](4)方法一將函數(shù)在上展開成洛朗級(jí)數(shù)，所以有一個(gè)5級(jí)極點(diǎn)第五十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求下各函數(shù)f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)：[解](4)方法二由規(guī)則II，取m比實(shí)際級(jí)數(shù)高，即m=5，有有一個(gè)5級(jí)極點(diǎn)第五十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例2計(jì)算積分，C為正向圓周|z|=2。[解]被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周|z|=2內(nèi)，所以由規(guī)則III，，故第五十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例3計(jì)算積分，C為正向圓周|z|=2。[解]z=0為被積函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn),z=1為二級(jí)極點(diǎn),而所以第五十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日級(jí)數(shù)。由于在z=0處的留數(shù)。為了要用公式，先應(yīng)定出極點(diǎn)z=0的以上介紹了求極點(diǎn)處留數(shù)的若干公式。用這些公式解題有時(shí)雖感方便，但也未必盡然。例如欲求函數(shù)因此z=0是z-sinz的三級(jí)零點(diǎn)，從而由f(z)的表達(dá)式知,z=0是f(z)的三級(jí)極點(diǎn)。應(yīng)用規(guī)則II，得第六十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日就比較方便。因?yàn)槿绻寐謇收归_式求由此可見，往下的運(yùn)算既要先對(duì)一個(gè)分式函數(shù)求二階函數(shù)，然后又要對(duì)求導(dǎo)結(jié)果求極限，這就十分繁雜。第六十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日所以可見解題的關(guān)鍵在于根據(jù)具體問題靈活選擇方法，不要拘泥于套用公式。第六十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的值與C無關(guān),稱其為f(z)在點(diǎn)的留數(shù),記作積分路線的方向是負(fù)的，也就是順時(shí)針方向。繞原點(diǎn)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,則積分設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<+內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)從第一節(jié)可知，當(dāng)n=-1時(shí)，有第六十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此，由(5.2.7)可得這就是說，f(z)在點(diǎn)的留數(shù)等于它在點(diǎn)的去心領(lǐng)域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)變號(hào)。定理二如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零。下面的定理在計(jì)算留數(shù)時(shí)是很有用的。第六十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日[證]除點(diǎn)外,設(shè)f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為zk(k=1,2,...,n)。又設(shè)C為一條繞原點(diǎn)的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義,有規(guī)則IV關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算，有以下的規(guī)則：第六十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日，那末事實(shí)上，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義中，取正向簡(jiǎn)單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周：。令，，于是有為正向)。并設(shè)第六十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日所以規(guī)則IV成立。由于f(z)在內(nèi)解析,從而內(nèi)解析，因此在外沒有其他奇點(diǎn)。由留數(shù)定理，得定理二與規(guī)則IV為提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分在內(nèi)除的又一種方法，在很多情況下，它比利用上一段中的方法更簡(jiǎn)便。第六十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求函數(shù)在∞點(diǎn)的留數(shù)。[解]由而故的項(xiàng)系數(shù)為第六十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求函數(shù)在∞點(diǎn)的留數(shù)。[解]而故在有限點(diǎn)處有一級(jí)極點(diǎn)：第六十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例求函數(shù)在∞點(diǎn)奇點(diǎn)類型和留數(shù)？[解]由故z=∞是的本性奇點(diǎn)，第七十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例4計(jì)算積分，C為正向圓周：|z|=2。[解]在|z|=2的外部除外無奇點(diǎn)，因此又根據(jù)定理二與規(guī)則IV，因此第七十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例5計(jì)算,C為正向圓周:|z|=2。[解]被積函數(shù)除外還有奇點(diǎn)：－i，1與3。由定理二，有其中由于－i與1在C的內(nèi)部，所以從上式、留數(shù)定理與規(guī)則IV得到第七十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日如果用上一段的方法，由于－i是10級(jí)極點(diǎn)，并且在C的內(nèi)部，因而計(jì)算必然很繁瑣。第七十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例利用留數(shù)計(jì)算積分：[解]函數(shù)在|z|=2的外部除外無奇點(diǎn)，因此在又內(nèi)把被積函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)，有第七十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例利用留數(shù)計(jì)算積分：[解]所以所以第七十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例利用留數(shù)計(jì)算積分：[解]函數(shù)在|z|=2的外部除外無奇點(diǎn)，因此根據(jù)又定理二與規(guī)則IV，則第七十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例利用留數(shù)計(jì)算積分：[解]所以所以第七十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日§3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用1.形如2.形如3.形如的積分的積分的積分第七十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來計(jì)算定積分是計(jì)算定積分顯得有用。即使尋常的方法可用，如果用留數(shù)，也往往首先，被積函數(shù)必須要與某個(gè)解析函數(shù)密切相關(guān)。這一的一個(gè)有效措施，特別是當(dāng)被積的原函數(shù)不易求得時(shí)更感到很方便。當(dāng)然這個(gè)方法的使用還受到很大的限制。點(diǎn)，一般講來，關(guān)系不大，因?yàn)楸环e函數(shù)常常是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是可以推廣到復(fù)數(shù)域中去的。其次，定積分的積分域是區(qū)間，而用留數(shù)來計(jì)算要牽涉到把問題化為沿閉曲線的積分。這是比較困難的一點(diǎn)。下面來闡述怎樣利用復(fù)數(shù)求某幾種特殊形式的定積分的值。第七十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日其中從而積分化為沿正向單位圓周的積分1.形如的積分,為與的有理函數(shù)。令

，則第八十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為其中zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn)。零,

根據(jù)留數(shù)定理，得所求的積分值：第八十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在內(nèi)不為零,因而積分是有意義的。由于因此的值。例1計(jì)算第八十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi)其中,z=0為二級(jí)極點(diǎn),z=p為一級(jí)極點(diǎn)。所以在圓周|z|=1上被積函數(shù)無奇點(diǎn)。則第八十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此第八十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日[解]設(shè)代入得的值。例計(jì)算，將被積函數(shù)在被積區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)又所以第八十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日為一已約分式。當(dāng)被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次,且R(z)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)時(shí)，積分是存在的。不失一般性，設(shè)積分2.形如第八十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日取積分路線如圖所示,其中CR是以原點(diǎn)為中心,R為半z1z2z3yCR-RROx徑的在上半平面的半圓周。取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線內(nèi)。由留數(shù)定理，得第八十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變。因?yàn)槎?dāng)|z|充分大時(shí)，總可使第八十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日由于，故有因此，在半徑R充分大的CR上，有如果R(x)為偶函數(shù)，所以第八十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日的一級(jí)極點(diǎn)為例2計(jì)算積分的值.[解]這里，并且實(shí)軸上R(z)沒有孤立奇點(diǎn)，因此積分是存在的。函數(shù)，其中ai與bi在上半平面內(nèi)。由于第九十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日所以第九十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)為例計(jì)算積分的值.[解]這里，并且實(shí)軸上R(z)沒有孤立奇點(diǎn)，因此積分是存在的。函數(shù)第九十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)為例計(jì)算積分的值.[解]這里，并且實(shí)軸上R(z)沒有孤立奇點(diǎn)，因此積分是存在的。函數(shù)，一級(jí)極點(diǎn)為第九十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例計(jì)算積分的值.[解]第九十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(z)在實(shí)數(shù)軸上沒有奇點(diǎn)時(shí),積分是存3.形如的積分在的象2中處理的一樣,由于m-n1,故對(duì)充分大的|z|有因此,在半徑R充分大的CR上,有第九十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日上面用到不等式于是得或yOx第九十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)ai,例3計(jì)算的值。[解]這里。R(z)的實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn)，因而所求的積分是存在的。因此第九十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此還可以利用復(fù)變函數(shù)計(jì)算出下列積分值:第九十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)z=-2+i，例計(jì)算的值。[解]這里。R(z)的實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn)，因而所求的積分是存在的。第九十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日因此例計(jì)算的值。[解]第一百頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)z=i,例計(jì)算的值。[解]這里。R(z)的實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn)，因而所求的積分是存在的。第一百零一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，2022年，8月28日例計(jì)算[解]因此的值。第一百零二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，202