中考二輪復(fù)習(xí)-研究性問(wèn)題

中考二輪復(fù)習(xí)——研究性問(wèn)題江蘇省灌南中學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校施文流第一部分講解部分一．專題詮釋近年，閱讀理解的熱門，是由于它涉及內(nèi)容豐富，構(gòu)思新穎別致。但這類試題內(nèi)容較基本，一般難度不大。今年擺在我們面前的研究性試題較閱讀理解題有較大的發(fā)展：新情景、新知識(shí)、新方法，著重考查學(xué)生的自學(xué)能力，能獨(dú)立獲取新知識(shí)，并運(yùn)用它解決問(wèn)題。研究性試題常把教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)成“嘗試、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、問(wèn)題、猜想”的探索性過(guò)程，有利于激發(fā)學(xué)生的探索欲望，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。二．解題策略和解法精講研究性問(wèn)題一般是從已知的某個(gè)問(wèn)題，通過(guò)聯(lián)想、類比，得到與之相關(guān)的一些問(wèn)題（系列問(wèn)題或問(wèn)題鏈），再通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的研究，有時(shí)把問(wèn)題推廣得到一般的結(jié)論，有時(shí)由此問(wèn)題類比、聯(lián)想到其他方面，移植到其它問(wèn)題中等等。只要在學(xué)習(xí)過(guò)程中做個(gè)有心人，研究性學(xué)習(xí)就不是高不可攀，而在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你的創(chuàng)新能力在不知不覺(jué)之中就得到培養(yǎng)與提高。三．考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：“嘗試——探索”型研究性試題例1．（2022年福建省泉州）如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將軸所在的直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)、，已知點(diǎn)、.（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形的形狀一定是;（2）①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，四邊形是矩形，試求、α、和有值；②觀察猜想：對(duì)①中的值，能使四邊形為矩形的點(diǎn)共有幾個(gè)？(不必說(shuō)理)（3）試探究：四邊形能不能是菱形？若能,直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,說(shuō)明理由.【分析】（1）由相交的正反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形可知：四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分于點(diǎn)O，故四邊形ABCD的形狀是平行四邊形．（2）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，就求出了；再由解直角三角形就能求出的值為30°；然后由矩形的對(duì)角線相等可求出m＝2；很容易猜想到：當(dāng)B（1，）或B（，1）時(shí)，BD＝AC＝4，此時(shí)四邊形ABCD是矩形．（3）只有對(duì)角線互相垂直平分時(shí)，四邊形才能是菱形，但AC與BD永遠(yuǎn)不能垂直，故四邊形ABCD不能形成菱形．解：（1）平行四邊形 （2）=1\*GB3①∵點(diǎn)在的圖象上，∴∴過(guò)作，則在中，α=30° ∴又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱 ∴OB=OD= ∵四邊形為矩形，且 ∴∴； =2\*GB3②能使四邊形為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)；（3）四邊形不能是菱形. 法一：∵點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、∴四邊形的對(duì)角線在軸上.又∵點(diǎn)、分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點(diǎn).∴對(duì)角線與不可能垂直.∴四邊形不能是菱形法二：若四邊形ABCD為菱形，則對(duì)角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0）所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且AC在x軸上.所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題是代數(shù)與幾何的綜合題，通過(guò)中心對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用將坐標(biāo)、角度、線段的長(zhǎng)、四邊形的判斷等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，同時(shí)又滲透猜想、歸納、推理等辨證思維過(guò)程．試題的命制，能通過(guò)相交的正、反比例函數(shù)的圖象利用x軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而形成，進(jìn)而通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)探求線段的長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；最后再一下轉(zhuǎn)換到幾何中四邊形形狀的判斷，由共性（平行四邊形）再到個(gè)性（矩形、菱形）的形狀探索，代數(shù)、幾何就這么和諧地結(jié)合起來(lái)，讓人感到耳目一新，解起題來(lái)又覺(jué)得如沐春風(fēng)，覺(jué)得帶勁．2．“實(shí)驗(yàn)——探索”型研究性試題例2．（2022江西）課題：兩個(gè)重疊的正多邊型，其中一個(gè)繞某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)與論證設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1=α（α<A1A0A2）,θ3，θ4，θ5用含α的式子表示角的度數(shù)：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________（2）圖1－圖4中，連接A0H時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)選擇期中的一個(gè)圖給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；歸納與猜想設(shè)正n邊形A0A1A2…An－1與正n邊形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1與B1重合），現(xiàn)將正n邊形A0B1B2…Bn－1繞頂點(diǎn)A0（3）設(shè)θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請(qǐng)直接寫出θn的度數(shù)；（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)將這條線段用相應(yīng)的頂點(diǎn)字母表示出來(lái)（不要求證明）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）要求的度數(shù)，應(yīng)從旋轉(zhuǎn)中有關(guān)角度的變與不變上突破；（２）結(jié)合圖形比較容易得到被垂直平分的線段，在證明時(shí)要充分利用背景中正多邊形及旋轉(zhuǎn)中的角度；（３）要探究的度數(shù)，要注意區(qū)分正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思考與求解度數(shù)的表達(dá)式；（４）要探究正ｎ邊形中被垂直平分的線段，也應(yīng)注意區(qū)分正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思考與突破；【答案】解：（１）．（２）答案不唯一，選圖１，圖１中有直線垂直平分．證明：∵與是全等的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以直線垂直平分．（３）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．（４）存在，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，直線垂直平分．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，直線垂直平分．【點(diǎn)評(píng)】本題是以旋轉(zhuǎn)操作為背景的課題學(xué)習(xí)題，尤其是在這道題中，先探討簡(jiǎn)單情景下存在的某個(gè)結(jié)論，然后進(jìn)一步推廣到一般情況下，原來(lái)結(jié)論是否成立，本題題型新穎是個(gè)不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度．3．“計(jì)算——探索”型研究性試題例3．（2022吉林）正方形與正方形的位置如圖所示，點(diǎn)在線段或的延長(zhǎng)線上．分別連接，得到．（1）在圖①~圖③中，若正方形的邊長(zhǎng)分別為，且正方形的邊長(zhǎng)均為3，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算填寫下表：正方形的邊長(zhǎng)134的面積（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，猜想的大小，并結(jié)合圖③證明你的猜想．【分析】連接，由正方形性質(zhì)可知與的邊上的高相等.也可根據(jù)關(guān)系式來(lái)求得的大小．【答案】解：（1）正方形的邊長(zhǎng)134的面積（2）猜想：.證明：證法1：如圖，==. 證法2：如圖，連接，由正方形性質(zhì)可知與的邊上的高相等.【點(diǎn)評(píng)】本題是綜合考查幾何證明推理能力的題目，要求學(xué)生能從復(fù)雜的圖形背景中找到與所求的三角形有關(guān)的其他圖形之間的關(guān)系，同時(shí)利用正方形、三角形的有關(guān)性質(zhì)得出結(jié)論；同時(shí)本題是一題多解的題目，可以很好地考查學(xué)生的思維的多樣性和深刻性．4．“問(wèn)題——探索”型研究性試題例4．（2022連云港）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線．如：平行四邊形的一條對(duì)線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_______；（2）如圖1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長(zhǎng)DC到E，使CE＝AB，連接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請(qǐng)畫(huà)出面積等分線，并給出證明；若不能，說(shuō)明理由．ADADBADEBADCFEBADDQFEBAD圖1ADBADCFEBADDQFEBAD圖2圖11【分析】（2）設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F．觀察圖形可知，要證明S梯形ABCD＝S△ABE，就是要證明除去兩個(gè)三角形公共部分外的兩個(gè)小三角形△ABF和△CEF的面積相同．方法一：連接線段BE，△ABC和△AEC同底等高面積相等，再同時(shí)減去公共部分面積，即可說(shuō)明△ABF和△CEF的面積相同；方法二：直接證明△ABF≌△ECF，也說(shuō)明△ABF和△CEF的面積相同．同化與（1）可知，梯形ABCD的面積等分線即為△ADE的面積等分線，故只要作出△ADE的BD邊中線即可．（3）問(wèn)題更加趨向一般，由第（2）問(wèn)可知．AB與CD是否平行，不影響△ABF和△CEF的面積相同．故可依法炮制．解：（1）中線所在的直線．（2）法一：連接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC為平行四邊形．∴BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC．∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED．ADBADEBADADBADEBADCFEBADDQFEBAD圖1GADBADCFEBADDQFEBAD圖2EF法二：設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF．又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四邊形AFCD＋S△ABF＝S四邊形AFCD＋S△ECF＝S△AED．過(guò)點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線的畫(huà)法如圖①所示．（3）能．連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC．∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED．∵S△ACD＞S△ABC，∴面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．作圖如圖②所示．【點(diǎn)評(píng)】本題選取課本基礎(chǔ)知識(shí)：三角形中線平分三角形面積、梯形剪拼成三角形實(shí)驗(yàn)等，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)情景，問(wèn)題由特殊到一般，在考查基礎(chǔ)知識(shí)綜合應(yīng)用的同時(shí)，兼顧考查學(xué)生知識(shí)轉(zhuǎn)化能力，作圖能力以及實(shí)踐操作能力，符合新課改精神，是一道不可多得的好題．5．猜想——探索”型研究性試題例5（2022年寧波市）十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式。請(qǐng)你觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，解答下列問(wèn)題：正十二面體正八面體長(zhǎng)方體四面體正十二面體正八面體長(zhǎng)方體四面體（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體47長(zhǎng)方體8612正八面體812正十二面體201230你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是_______________。（2）一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是____________。（3）某個(gè)玻璃鉓品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)，求的值?！痉治觥坑蓪?shí)際圖形中數(shù)出相應(yīng)的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)及棱數(shù)，然后通過(guò)加減比較得出規(guī)律E＝V+F－2．解；（1）6,6V+F-E=2（2）20（3）這個(gè)多面體的面數(shù)是x+y,棱數(shù)為，根據(jù)V+F-E=2可得24+（x+y）-36=2,x+y=14【點(diǎn)評(píng)】本題涉及立體圖形，探索規(guī)律，代數(shù)式的值等知識(shí)點(diǎn)，這是一道較好的圖表研究性試題，要求學(xué)生在已知的表格和圖形中找到相應(yīng)的規(guī)律，找到規(guī)律還要善于應(yīng)用規(guī)律．四、真題演練1．（2022河南）（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說(shuō)明理由．（2）問(wèn)題解決保持（1）中的條件不變，若DC＝2DF，求的值；（3）類比探求保持（1）中條件不變，若DC＝nDF，求的值．2．(2022湖南常德)如圖10，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖11的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖12的位置時(shí)，延長(zhǎng)CE交AG于H，交AD于M.①求證：AG⊥CH;②當(dāng)AD=4，DG=時(shí)，求CH的長(zhǎng)。AABCDEF圖110GAD圖11FEBCGADBCEFHM圖123．（2022武漢，）已知線段OA⊥OB，C為OB上中點(diǎn)，D為AO上一點(diǎn)，連AC、BD交于P點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)OA=OB且D為AO中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，=時(shí)，求tan∠BPC；（3）如圖3，當(dāng)AD∶AO∶OB=1∶n∶時(shí)，直接寫出tan∠BPC的值．AABCDPODCOPABDCOPAB圖1圖2圖34、（2022浙江嘉興）如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個(gè)相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對(duì)稱，其中第一個(gè)△A1B1C1的頂點(diǎn)A1與點(diǎn)P重合，第二個(gè)△A2B2C2的頂點(diǎn)A2是B1C1與PQ的交點(diǎn)，…，最后一個(gè)△AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、C（1）如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，求正三角形的邊長(zhǎng)a1；（2）如圖2，當(dāng)n＝2時(shí)，求正三角形的邊長(zhǎng)a2；（3）如題圖，求正三角形的邊長(zhǎng)an（用含n的代數(shù)式表示）．真題演練答案1．解：（1）同意．連接EF，則∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．∴Rt△EGF≌Rt△EDF．∴GF＝DF．（2）由（1）知，GF＝DF．設(shè)DF＝，BC＝，則有GF＝，AD＝．∵DC＝2DF，∴CF＝，DC＝AB＝BG＝2．∴BF＝BG+GF＝3．在Rt△BCF中，，即．∴．∴．（3）由（1）知，GF＝DF．設(shè)DF＝，BC＝，則有GF＝，AD＝．∵．∴．∴，．在Rt△BCF中，，即．∴∴．ABCDEABCDEFG圖11四邊形、四邊形是正方形，∴∠∠.∴∠90°-∠∠. ∴△△.∴. （2）①類似（1）可得△△，BACDEBACDEFG12圖12HPM 又∵∠＝∠. ∴∠∠＝. 即 ②解法一:過(guò)作于, 由題意有,∴，則∠1＝.而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.∴，即. 在Rt中，＝＝, 而∽,∴,即,∴. 再連接，顯然有, ∴.ABCDPOE3.解法一：（1）過(guò)C作CE∥OA交BD于E，證△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再證△ECP∽△DAP得；（2）過(guò)C作CE∥OA交BD于E，設(shè)AD=x，AO=OB=4x，則OD=3x，證△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再證△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，則，可得PD=AD=x，則∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=；(3)．ABCDPOE解法二：(1)延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使CE=CA，連接BE，∵C為OB中點(diǎn)，∴△BCE△OCA，∴BE=OA，E=OAC，∴BEDCOPHAB（第23題圖1）（第23題圖2）（第23題）圖1OxyDBACOxyDB第圖2Axyy=y=x-2ABO圖32022邵陽(yáng)）閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題。DCOPHAB（第23題圖1）（第23題圖2）（第23題）圖1OxyDBACOxyDB第圖2Axyy=y=x-2ABO圖3經(jīng)過(guò)正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓。圓心是正四邊形的對(duì)稱中心，這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形。如圖（十三），已知正四邊形ABCD的外接圓⊙O，⊙O的面積為S，正四邊形ABCD的面積為S，以圓心O為頂點(diǎn)作∠MON，使∠MON=90°，將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F，分別與正四邊形ABCD的邊相交于點(diǎn)G、H。設(shè)OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S（1）當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖①），則S、S、S之間的關(guān)系為：S＝（用含S、S的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)OM⊥AB時(shí)（如圖②），點(diǎn)G為垂足，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）當(dāng)∠MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖③，）則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．圖（十三）3.（2022江蘇淮安）(1)觀察發(fā)現(xiàn)如題26(a)圖，若點(diǎn)A，B在直線同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P再如題26(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為．題26(a)圖題26(b)圖(2)實(shí)踐運(yùn)用如題26(c)圖，已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．題26(c)圖