2021-2022學(xué)年遼寧省大連市第七十一高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省大連市第七十一高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.參數(shù)方程是表示的曲線是（）A．線段 B．雙曲線 C．圓弧 D．射線參考答案：A【考點(diǎn)】直線的參數(shù)方程．【分析】判斷此曲線的類型可以將參數(shù)方程化為普通方程，再依據(jù)變通方程的形式判斷此曲線的類型，由此參數(shù)方程的形式，可采用代入法消元的方式將其轉(zhuǎn)化為普通方程．【解答】解：由題意，由（2）得t2=y+1代入（1）得x=3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5=0，其對(duì)應(yīng)的圖形是一條直線又由曲線的參數(shù)0≤t≤5，知2≤x≤77，所以此曲線是一條線段．故選A．2.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】利用余弦定理求出BC的數(shù)值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展開求出cosθ的值．【解答】解：如圖所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=?sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故選B【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，注意角的變換，方位角的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3.讀如圖21－3所示的程序框圖，若輸入p＝5，q＝6，則輸出a，i的值分別為()圖21－3A．a(chǎn)＝5，i＝1

B．a(chǎn)＝5，i＝2C．a(chǎn)＝15，i＝3

D．a(chǎn)＝30，i＝6參考答案：D4.下列程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是（）A．

–1

B．

0

C．

1

D．2參考答案：B5.我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，類比上述結(jié)論，在棱長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值，此定值為（）A． B． C． D．a(chǎn)參考答案：A【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．固我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì)“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值”，推斷出一個(gè)空間幾何中一個(gè)關(guān)于面的性質(zhì)【解答】解：類比在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，在一個(gè)正四面體中，計(jì)算一下棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和，如圖：由棱長為a可以得到BF=a，BO=AO=a，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把數(shù)據(jù)代入得到OE=a，∴棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和4×a=a，故選：A．6.“a＞1”是“函數(shù)f(x)=ax+cosx在(－∞,+∞)上單調(diào)遞增”的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A7.復(fù)數(shù)的值是()A.－i

B．iC．i

D．－i

參考答案：B略8.已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：由題意，雙曲線的漸近線方程為，

∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，故邊長為4，

∴（2，2）在橢圓C：上，

∴，

∵，∴，∴，

∴

∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).9.在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為（

）.

A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.給出下面四個(gè)命題：①“”的充要條件是“平行于所在的平面”；②“直線平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“平面”；③“直線為異面直線”的充分而不必要條件是“直線不相交”；④“平面//平面”的必要而不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”．其中正確命題的序號(hào)是（

）A.①②

B．②③

C．③④

D．②④

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則__________．參考答案：【分析】先由求出，再根據(jù)換底公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，因此，，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，熟記對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，換底公式等即可，屬于?？碱}型.12.已知圓C過直線2x+y+4=0和圓的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓C上．則圓C的方程為______________．參考答案：略13.如圖，直線與圓及拋物線依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，則

.

參考答案：14

14.已知數(shù)列{an}滿足條件a1=1，an﹣1﹣an=anan﹣1，則a10=．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．

專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由條件可得﹣=1，故數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差等于1，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即可求得a10的值．解答：解：∵數(shù)列{an}滿足an﹣1﹣an=anan﹣1，a1=1，∴﹣=1，故數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差等于1，首項(xiàng)為1，∴=1+9=10，∴a10=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．15.圓x2+y2=r2（r>0）經(jīng)過橢圓+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且與該橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)P是其中的一個(gè)交點(diǎn)，若△PF1F2的面積為26，橢圓的長軸為15，則a+b+c=

。參考答案：13+16.若x，y∈R+且2x+8y﹣xy=0，則x+y的最小值為．參考答案：18考點(diǎn)：基本不等式．專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．分析：等式2x+8y﹣xy=0變形為+=1，則x+y=（x+y）（+），根據(jù)基本不等式即可得到答案．解答：解：由題意2x+8y=xy即：+=1．∵x，y∈R+，利用基本不等式：則x+y=（x+y）（+）=+10≥8+10=18．當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2y，∵+=1，∴x=12，y=6時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x+y的最小值為18．故答案為18．點(diǎn)評(píng)：本題以等式為載體，主要考查基本不等式的應(yīng)用問題，題中將等式變形，從而利用1的代換是解題的關(guān)鍵，有一定的技巧性，屬于基礎(chǔ)題目．17.如圖所示，分別以A，B，C為圓心，在△ABC內(nèi)作半徑為2的扇形（圖中的陰影部分），在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，如果點(diǎn)P落在陰影內(nèi)的概率為，那么△ABC的面積是．參考答案：6π【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率．【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，先試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是三角形的面積S，然后求出陰影部分的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是直角三角形的面積S，陰影部分的面積S1=π22=2π．點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P==．故S=6π，故答案為：6π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求最大值；（2）若恒成立，求a的值；（3）在（2）的條件下,設(shè)在上的最小值為m，求證：.參考答案：（1）；（2）2；（3）證明見解析.【分析】（1），判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解最大值；（2）要使成立必須，，判斷單調(diào)性求解即可得解（3），得，令判斷其單調(diào)性進(jìn)而求得，得，再求的范圍進(jìn)而得證【詳解】（1）,由得；得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，即；（2）要使成立必須.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以滿足條件的只有2，即.（3）由（2）知，所以.令，則，是上的增函數(shù)；又，所以存在滿足，即，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以，即.所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了零點(diǎn)存在定理和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，在（3）的證明過程中，利用零點(diǎn)存在定理轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)屬中檔題．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，圓C1的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程與圓C1的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)A在圓C1上，動(dòng)線段OA的中點(diǎn)P的軌跡為C2，C2與直線l交點(diǎn)為M，N，且直角坐標(biāo)系中，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求點(diǎn)M，N的直角坐標(biāo).參考答案：(1)C1的直角坐標(biāo)方程是.直線的普通方程為.(2).分析】（1）消去參數(shù)后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得C1的直角方程.（2）設(shè)點(diǎn)，則，利用在橢圓上可得的直角方程，聯(lián)立直線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程可得的直角坐標(biāo).【詳解】解：（1）由，得，將互化公式代上式，得，故圓的直角坐標(biāo)方程是.由，得，即.所以直線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得曲線的直角坐標(biāo)方程為.聯(lián)立，解得，或.故點(diǎn)直角坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，關(guān)鍵是，而直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是．參數(shù)方程化為直角方法，關(guān)鍵是消去參數(shù)，消參的方法有反解消參、平方消參、交軌法等．20.已知函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A、B，=（2，2），函數(shù)g（x）=x2﹣x﹣6．（1）求k，b的值；（2）當(dāng)x滿足f（x）＞g（x）時(shí)，求函數(shù)的最小值．參考答案：解：（1）∵函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A、B，∴由已知得A（﹣，0），B（0，b），∴=（，b），∵=（2，2），∴，解得b=2，k=1．（2）∵函數(shù)g（x）=x2﹣x﹣6，x滿足f（x）＞g（x），∴x+2＞x2﹣x﹣6．即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4，∴==x+2+﹣5，由于x+2＞0，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1，即x=﹣1時(shí)成立，∴的最小值是﹣3．考點(diǎn)：其他不等式的解法；直線的斜率．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）由已知分別求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再由=（2，2），能求出k，b的值．（2）由已知得x+2＞x2﹣x﹣6，從而得到﹣2＜x＜4，再由==x+2+﹣5，利用均值定理能求出的最小值．解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A、B，∴由已知得A（﹣，0），B（0，b），∴=（，b），∵=（2，2），∴，解得b=2，k=1．（2）∵函數(shù)g（x）=x2﹣x﹣6，x滿足f（x）＞g（x），∴x+2＞x2﹣x﹣6．即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4，∴==x+2+﹣5，由于x+2＞0，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1，即x=﹣1時(shí)成立，∴的最小值是﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查兩函數(shù)比值的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．21.如圖所示，矩形所在的平面，、分別是、的中點(diǎn)．（?。┣笞C：平面．（ⅱ）求證：．（ⅲ）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，能使平面成立？并證明你的結(jié)論．參考答案：（）證明：取的中點(diǎn)，連接，．∵，分別是，中點(diǎn)，∴，又∵，是中點(diǎn)，∴，∴,∴四邊形是平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（）∵平面，∴，又，∴平面，∴，又∵∴．（）當(dāng)滿足時(shí)，能使平面成立，現(xiàn)證明如下：∵，是中點(diǎn)，∴．∵，∴．由（）可知，∴平面．故當(dāng)滿足時(shí)，能使平面成立．22.某小組為了研究晝夜溫差對(duì)一種稻谷種子發(fā)芽情況的影響，他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天星夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日溫差x(℃)91011812發(fā)芽數(shù)y（顆）3830244117

利用散點(diǎn)圖，可知x，y線性相關(guān)。（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，若4月6日星夜溫差5℃，請(qǐng)根據(jù)你求得的線性同歸方程預(yù)測4月6日這一天實(shí)驗(yàn)室每100顆種子中發(fā)芽顆數(shù)；（2）若從4月1日~4月5日的五組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)，求這兩組恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率.（公式：）參考答案：（1）；；（2）【分析】（1）先求出溫差x和發(fā)芽數(shù)y的平均值，即得到樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，得到的值，得到線性回歸方程；再令x＝5時(shí)，得y值；（2）