等腰與直角三角形

等腰與直角三角形第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日考點(diǎn)一等腰三角形1．概念及分類有

的三角形叫等腰三角形；有

的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形；等腰三角形分為

的等腰三角形和

___________的等腰三角形．2．等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角

；(2)等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線和高互相

，簡稱“三線合一”；三邊相等腰和底不相等腰和底相等相等重合兩邊相等第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日(3)等腰(非等邊)三角形是軸對(duì)稱圖形，它有一條對(duì)稱軸．(4)等腰三角形邊長須滿足兩腰之和大于底；等腰三角形的底角滿足0°＜α＜90°；頂角滿足0°＜β＜180°.3．等腰三角形的判定(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)有

相等的三角形是等腰三角形．溫馨提示：應(yīng)用性質(zhì)“三線合一”時(shí)，一定要注意是頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，利用它可以證明線段相等、角相等及直線垂直.兩角第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定1．性質(zhì)：(1)等邊三角形的內(nèi)角都相等，且等于60°；(2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”，它們所在的直線都是等邊三角形的對(duì)稱軸．2．判定：三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．溫馨提示：（1）頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.（2）等邊三角形外心、內(nèi)心、重心、垂心四心合一.第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日考點(diǎn)三線段的中垂線1．概念：垂直且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線．2．性質(zhì)：線段中垂線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等．3．判定：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在中垂線上，線段的中垂線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合．第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日考點(diǎn)四直角三角形的性質(zhì)、判定1．性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角

；(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)；(3)在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的

；(4)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角為

；(5)直角三角形

上的中線等于斜邊的一半．互余一半30°斜邊第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日2．判定(1)有一個(gè)角是

的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；(3)如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形為

三角形；(4)在一個(gè)三角形中,如果有兩個(gè)角互余,那么這個(gè)三角形是

三角形．直角直角直角第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日溫馨提示：（1）勾股定理的逆定理是判定三角形為直角三角形的重要方法.（2）能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).（3）若a、b、c為一直角三角形的三邊長，則以ma、mb、mc(m＞0)為三邊的三角形也是直角三角形.第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日(1)(2011·呼和浩特)如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是(

)

A．9cm

B．12cm

C．15cm或12cmD．15cm(2)(2010·東陽)已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為(

)A．40°

B．100°

C．40°或100°

D．70°或50°(3)(2010·長沙)下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是(

)第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日(4)(2011·南充)如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B，C，D【點(diǎn)撥】本組題主要考查等腰三角形,直角三角形的有關(guān)性質(zhì)和判定.【解答】(1)D

∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底邊長和腰長分別為3cm和6cm，∴它的周長是6×2＋3＝15(cm)．(2)C當(dāng)40°為底角時(shí)，頂角為100°；40°也可以為頂角．故選C.第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日方法總結(jié)：（1）等腰三角形與直角三角形是常見的圖形，其性質(zhì)在研究平行四邊形、等腰梯形、圓、三角函數(shù)等時(shí)應(yīng)用非常廣泛，因此應(yīng)熟練、準(zhǔn)確掌握其性質(zhì)并靈活應(yīng)用.（2）“等邊對(duì)等角”或“等角對(duì)等邊”僅限于在一個(gè)三角形中.在兩個(gè)三角形中，如果兩邊相等，這兩條邊所對(duì)的角不一定相等.第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日2011·蕪湖如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，過點(diǎn)D作DE⊥AB，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，求證：△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)撥】先證F為BD的中點(diǎn)，從而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60°，可得△DEF為等邊三角形．第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD.∵CF⊥BD，∴F為BD的中點(diǎn)．又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF.由∠ABD＝30°，得∠BDE＝60°，∴△DEF為等邊三角形．第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日1．已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3,則第三條邊的長是(

)A．8

B．7

C．4

D．3答案：B2．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于(

)A．80°

B．70°C．60°D．50°答案：C3.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角度數(shù)為(

)A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°答案：D第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日4．下面給出的幾種三角形：(1)有兩個(gè)角為60°的三角形；(2)三個(gè)外角都相等的三角形；(3)一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形；(4)有一個(gè)角為60°的等腰三角形．其中一定是等邊三角形的有(

)A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)答案：B5．如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1＝30°，∠2＝50°，則∠3的度數(shù)等于(

)A．50°B．30°C．20°D．15°答案：C第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分別以AB、AC為邊作兩個(gè)等腰直角△ABD和△ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°.(1)求∠DBC的度數(shù)；(2)求證：BD＝CE.答案：(1)∠DBC＝115°

(2)先證△DAB≌△EAC，即得BD＝CE第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日等腰三角形與直角三角形訓(xùn)練時(shí)間：60分鐘

分值：100分第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、選擇題(每小題4分，共44分)1．(2012中考預(yù)測題)等腰三角形的一條邊長等于6，另一條邊長等于3，則此等腰三角形的周長是(

)A．9

B．12

C．15

D．12或15【解析】當(dāng)6為腰，3為底時(shí)，6＋3>6，此時(shí)周長為15；當(dāng)6為底，3為腰時(shí)，3＋3＝6，不能組成三角形．【答案】C

第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日2．(2012中考預(yù)測題)在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于(

)A．30°

B．40°C．45°

D．36°【解析】AD＝BD，∴∠ABD＝∠A.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，∴∠A＝36°.【答案】D

第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日3．(2011·銅仁)下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是(

)A．等腰三角形兩底角相等B．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合C．等腰三角形是中心對(duì)稱圖形D．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形【解析】等腰三角形只是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．【答案】C

第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日4．(2010中考變式題)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(

)A．1,2,3

B．2,3,4C．3,4,5

D．4,5,6【解析】∵32＋42＝52，∴3、4、5構(gòu)成直角三角形．【答案】C

第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日5．(2012中考預(yù)測題)等腰△ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長為(

)A．13

B．14C．15

D．16【解析】由等腰△ABC的周長為21，底邊BC＝5，可求出AB＝AC＝8.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴C△BEC＝BC＋BE＋EC＝BC＋AE＋EC＝BC＋AC＝5＋8＝13.【答案】A

第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日6．(2010中考變式題)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D、交BC于點(diǎn)E，AE平分∠BAC，那么下列關(guān)系式中不成立的是(

)A．∠B＝∠CAE

B．∠DEA＝∠CEAC．∠B＝∠BAE

D．AC＝2EC第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日【解析】由DE垂直平分AB得EA＝EB，∴∠B＝∠BAE，又∵AE平分∠BAC，∴AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，因此A、C都成立．∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，又ED⊥AB，EC⊥AC，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B成立．【答案】D

第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日7．(2010中考變式題)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是(

)A．13

B．26C．47

D．94【解析】SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝32＋52＋22＋32＝47.【答案】C

第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日8．(2010中考變式題)一架長25dm的梯子，斜立在豎直角墻上，這時(shí)梯足距墻底端7dm，如果梯子的頂端沿墻下滑4dm，那么梯足將滑出(

)A．9dm

B．15dmC．5dm

D．8dm【答案】D第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日9．(2010中考變式題)已知等邊△ABC的邊長為a，則它的面積是(

)【答案】D第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日10．(2010中考變式題)如圖，△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長為(

)第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日【答案】D第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日11．(2012中考預(yù)測題)P是Rt△ABC斜邊AB上任意一點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，過P點(diǎn)作一直線，使截得的三角形與Rt△ABC相似，這樣的直線可以作(

)A．1條

B．2條C．3條

D．4條【解析】過點(diǎn)P分別作兩直角邊的平行線，得2條直線；過點(diǎn)P作斜邊AB的垂線，得到第3條直線．【答案】C

第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、填空題(每小題4分，共16分)12．(2010中考變式題)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝4cm，則AB＝________cm.【解析】根據(jù)“在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”得斜邊AB＝2CD＝2×4＝8(cm)．【答案】8

第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日13．(2011·新疆)如圖所示，△ABC是等邊三角形，AB＝4cm，則BC邊上的高AD等于________cm.第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日14．(2011·寧波)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，則BC＝________cm.第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日【答案】8第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、解答題(共40分)16．(8分)(2010中考變式題)在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，求∠DBC的度數(shù)．【答案】解：∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝65°.∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°