分段函數(shù)幾種常見題型解法

函數(shù)的觀點和性質(zhì)考點分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不一樣的范圍內(nèi),有不一樣的對應法例的函數(shù),是一個函數(shù),卻又經(jīng)常被學生誤以為是幾個函數(shù);它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集其值域也是各段函數(shù)值域的并集.因為它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的觀察上有較好的作用,經(jīng)常在高考試題中“閃亮”登場,本文就幾種詳細的題型做了一些思慮,分析以下：

它,1．求分段函數(shù)的定義域和值域2x2x[1,0];例1．求函數(shù)f(x)21xx(0,2);的定義域、值域.3x[2,);2．求分段函數(shù)的函數(shù)值|x1|2,(|x|1)例2．已知函數(shù)f(x)1,(|x|求f[f(12)].1x21)3．求分段函數(shù)的最值4x3(x0)例3．求函數(shù)f(x)x3(0x1)的最大值.x5(x1)4．求分段函數(shù)的分析式例4．在同一平面直角坐標系中,函數(shù)yf(x)和yg(x)的圖象對于直線yx對稱,現(xiàn)將yg(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位,再沿y軸向上平移1個單位,所得的圖象是由兩條線段構成的折線（以下圖）,則函數(shù)f(x)的表達式為（）A.f(x)2x2(1x0)x2(0x2)y2B.f(x)2x2(1x0)3x2(0x2)222x2(1x2)1C.f(x)xx1(2x4)-2-1o12D.f(x)2x6(1x2)x3(2x4)25．作分段函數(shù)的圖像例5．函數(shù)ye|lnx||x1|的圖像大概是（）yy1x1O1o1xA

Byy11xxOO11CD6．求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x0時,f(x)3x1,設f(x)的反函數(shù)為yg(x),求g(x)的表達式.7．判斷分段函數(shù)的奇偶性x2(x1)(x0)例7．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.x2(x1)(x0)8．判斷分段函數(shù)的單一性x3x(x0)例8．判斷函數(shù)f(x)(x的單一性.x20)例9．寫出函數(shù)f(x)|12x||2x|的單一減區(qū)間.9．解分段函數(shù)的方程2xx(,1],則知足方程f(x)1例10．設函數(shù)f(x)(1,)的x的值為log81xx410．解分段函數(shù)的不等式2例11．設函數(shù)f(x)x

x12

1(x0),若f(x0)1,則x0得取值范圍是（）(x0)A.(1,1)B.(1,)C.(,2)(0,)D.(,1)(1,(x1)2(x1)1的自變量x的取值范圍為例12．設函數(shù)f(x),則使得f(x)4x1(x1)（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]反應練習－x2＋2x，x≤0，若|f(x)|≥ax，則a的取1．（2013新課標全國Ⅰ，5分）已知函數(shù)f(x)＝，x＞0.lnx＋1值范圍是( )A．(－∞，0]B.(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]2x3，x<0，πf(x)＝則ff2．（2013福建，4分）已知函數(shù)π4＝________.－tanx，0≤x<2，log1x，x≥1，3．（2013北京，5分）函數(shù)f(x)＝2的值域為________．2x，x<1x2＋1，x≤1，4．（2012江西，5分）若函數(shù)f(x)＝則f(f(10))＝()lgx，x>1，A．lg101B．2C．1D．05．（2011北京，5分）依據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第

x件某產(chǎn)品所用的時間

(單位：分鐘

)為c，x<A，xf(x)＝(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第cx≥AAA件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,166．（2012江蘇，5分）設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，13bx＋2此中a，b∈R.若f( )＝f( )，則a＋3b的值為________．，0≤x≤1，22x＋12x＋a，x＜1，7．（2011江蘇，5分）已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a－x－2a，x≥1.的值為________．函數(shù)的觀點和性質(zhì)考點一分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不一樣的范圍內(nèi),有不一樣的對應法例的函數(shù),它是一個函數(shù),卻又經(jīng)常被學生誤以為是幾個函數(shù);它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集,其值域也是各段函數(shù)值域的并集.因為它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的觀察上有較好的作用,經(jīng)常在高考試題中“閃亮”登場,本文就幾種詳細的題型做了一些思慮,分析以下：1．求分段函數(shù)的定義域和值域2x2x[1,0];例1．求函數(shù)f(x)21xx(0,2);的定義域、值域.3x[2,);

y321-1o12x-1【分析】作圖,利用“數(shù)形聯(lián)合”易知f(x)的定義域為[1,),值域為(1,3].2．求分段函數(shù)的函數(shù)值|x1|2,(|x|1)例2．已知函數(shù)f(x)12,(|x|求f[f(12)].1x1)【分析】因為f(21)|211|223,所以f[f(12)]f(23)124.1(23)133．求分段函數(shù)的最值4x3(x0)例3．求函數(shù)f(x)x3(0x1)的最大值.x5(x1)【分析】當x0時,fmax(x)f(0)3,當0x1時,fmax(x)f(1)4,當x1時,x5154,綜上有fmax(x)4.4．求分段函數(shù)的分析式例4．在同一平面直角坐標系中,函數(shù)yf(x)和yg(x)的圖象對于直線yx對稱,現(xiàn)將yg(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位,再沿y軸向上平移1個單位,所得的圖象是由兩條線段構成的折線（以下圖）,則函數(shù)f(x)的表達式為（）A.f(x)2x2(1x0)x2(0x2)y2B.f(x)2x2(1x0)3x2(0x2)222x2(1x2)1C.f(x)x2x1(2x4)-2-1o1D.f(x)2x6(1x2)x3(2x4)2【分析】當x[2,0]時,y21x1,將其圖象沿x軸向右平移2個單位,再沿y軸向下平移1個單位,得分析式為y21(x2)1121x1,所以f(x)2x2(x[1,0]),當x[0,1]時,y2x1,將其圖象沿x軸向右平移2個單位,再沿y軸向下平移1個單位,得分析式y(tǒng)2(x2)112x4,所以f(x)21x2(x[0,2]),綜上可得f(x)2x2(1x0)應選A.x,2(0x2)25．作分段函數(shù)的圖像例5．函數(shù)ye|lnx||x1|的圖像大概是（）yy1x1O1o1xA

Byy11xxO1O1CD分析：在定義范圍議論，當0<x<1時，y11，應選Dx1；當x>1時yx6．求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x0時,f(x)3x1,設f(x)的反函數(shù)為yg(x),求g(x)的表達式.【分析】設x0,則x0,所以f(x)3x1,又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)f(x),且f(0)0,所以f(x)13x,所以3x1(x0)log3(x1)(x0)f(x)0(x0),進而可得g(x)0(x0).13x(x0)log3(1x)(x0)7．判斷分段函數(shù)的奇偶性x2(x1)(x0)例7．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.x2(x1)(x0)【分析】當x0時,x0,f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x),當x0時,f(0)f(0)0,當x0,x0,f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此,對于隨意xR都有f(x)f(x),所以f(x)為偶函數(shù).8．判斷分段函數(shù)的單一性x3x(x0)例8．判斷函數(shù)f(x)(x的單一性.x20)【分析】明顯連續(xù).當時,'2f(x)x0f(x)3x11所以f(x)是單一遞加函數(shù),恒建立,當x0時,f'(x)2x0恒建立,f(x)也是單一遞加函數(shù),所以f(x)在R上是單調(diào)遞加函數(shù);或繪圖易知f(x)在R上是單一遞加函數(shù).例9．寫出函數(shù)f(x)|12x||2x|的單一減區(qū)間.y3x1(x12)5【分析】f(x)3x(12x2),繪圖易知單一53x1(x2)2減區(qū)間為(,11ox2].2-29．解分段函數(shù)的方程2xx(,1],則知足方程f(x)1例10．（01年上海）設函數(shù)f(x)(1,)的x的log81xx4值為【分析】若2x41,則2x22,得x2(,1],所以x2（舍去）,若log81x41,1則x814,解得x3(1,),所以x3即為所求.10．解分段函數(shù)的不等式例11．設函數(shù)2x1(x0)f(x)1,若f(x0)1,y則x0得x2(x0)取值范圍是（）A.(1,1)B.(1,)1-11xC.(,2)(0,)D.(,1)(1,)【分析1】第一畫出yf(x)和y1的大概圖像,易知f(x0)1時,所對應的x0的取值范圍是(,1)(1,).【分析2】2x01因為f(x0)1,當x00時,11,解得x01,當x00時,x021,解得x01,綜上x0的取值范圍是(,1)(1,).應選D.例12．設函數(shù)f(x)(x1)2(x1)則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為4x1(x1),（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]【分析】當x1時,f(x)1(x1)21x2或x0,所以x2或0x1,當x1時,f(x)14x11x13x10,所以1x10,綜上所述,x2或0x10,應選A項.【評論：】以上分段函數(shù)性質(zhì)的觀察中,不難獲得一種解題的重要門路,若能畫出其大概圖像,定義域、值域、最值、單一性、奇偶性等問題就會水到渠成,方程、不等式等可用數(shù)形聯(lián)合思想、等價轉變思想、分類議論思想及函數(shù)思想來解,使問題獲得大大簡化,成效明顯.反應練習－x2＋2x，x≤0，1．（2013新課標全國Ⅰ，

5分）已知函數(shù)

f(x)＝

若|

f(x)|

≥ax，則

a的取ln

x＋1

，x＞0.值范圍是

(

)A．(－∞，

0]

B.(－∞，

1]C．[－2,1]

D．[－2,0]分析：此題觀察一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)及由不等式恒建立求參數(shù)的取值范圍問題，意在觀察考生的轉變能力和利用數(shù)形聯(lián)合思想解答問題的能力．當x≤0時，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化簡為x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因為x≤0，所以＋2≥恒建立，所以≥－2；當x＞0時，( )＝ln(＋1)＞0，所以|( )|≥化axafxxfxax簡為ln(x＋1)＞ax恒建立，由函數(shù)圖象可知a≤0，綜上，當－2a≤≤0時，不等式|f(x)|≥ax恒建立，選擇D.答案：D2x3，x<0，π2．（2013福建，4分）已知函數(shù)f(x)＝π則ff4＝________.－tanx，0≤x<2，π分析：此題主要觀察分段函數(shù)的求值，意在觀察考生的應用能力和運算求解能力．∵f4＝－tanππ＝－1，∴ff＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.44答案：－2log1x，x≥1，3．（2013北京，5分）函數(shù)f(x)＝2的值域為________．2x，x<1分析：此題主要觀察分段函數(shù)的觀點、性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在觀察考生對函數(shù)定義域、值域掌握的嫻熟程度．分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域是各段函數(shù)值域的并集．當x≥1時，log1x≤0，當x<1時，0<2x<2，故值域為(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．2答案：(－∞，2)4．（2012江西，5分）若函數(shù)f(x)＝x2＋1，x≤1，則f(f(10))＝( )lgx，x>1，A．lg101B．2C．1D．0分析：f(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011北京，5分）依據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為c，x<A，xf(x)＝(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第cx≥AAA件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16ccc分析：因為組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，所以A＝15(1)，所以必有4<A，且4＝2＝30(2)，聯(lián)立(1)(2)解得＝60，A＝16.c答案：D6．（2012江蘇，5分）設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝＋1，－1≤＜0，axx13bx＋2此中，∈R.若( )＝f( )，則＋3的值為________．22，0≤x≤1，x＋1分析：因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以f(31)＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，故221112b＋21f( )＝f(－)，進而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.①2212＋12b＋2由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b