2023屆湖北省咸寧市五校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)列中，，，則()．A． B． C． D．3．已知是不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則是（）A．純角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A．或 B．C．或 D．6．在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則等于（）A． B． C． D．7．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若acosA=bcosB，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．在中秋的促銷活動中，某商場對9月14日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為萬元，則10時到11時的銷售額為（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元9．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．已知是常數(shù)，那么“”是“等式對任意恒成立”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)為數(shù)列的前項和，則__12．在中，三個角所對的邊分別為．若角成等差數(shù)列，且邊成等比數(shù)列，則的形狀為_______．13．隨機抽取100名年齡在[10，20），[20，30），…，[50，60）年齡段的市民進行問卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，則在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為______.14．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，則x的值為_________.15．已知函數(shù)，下列結(jié)論中：函數(shù)關(guān)于對稱；函數(shù)關(guān)于對稱；函數(shù)在是增函數(shù)，將的圖象向右平移可得到的圖象．其中正確的結(jié)論序號為______．16．已知函數(shù)，，的圖象如下圖所示，則，，的大小關(guān)系為__________．（用“”號連接）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)的值域為A，.(1)當(dāng)?shù)臑榕己瘮?shù)時，求的值；(2)當(dāng)時,在A上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(3)當(dāng)時，（其中)，若，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，在處取得最小值，試探討應(yīng)該滿足的條件.18．已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請求出的取值范圍；若不存在請說明理由．19．已知.（1）若三點共線，求實數(shù)的值；（2）證明：對任意實數(shù)，恒有成立.20．已知數(shù)列滿足=(1)若求數(shù)列的通項公式;(2)若==對一切恒成立求實數(shù)取值范圍.21．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點B到平面PDQ的距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進行計算，即可求解．【詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

通過取倒數(shù)的方式可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得，進而得到結(jié)果.【詳解】由得：，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列本題正確選項：【點睛】本題考查利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式的形式，確定采用倒數(shù)法得到等差數(shù)列.3、D【解析】

由線面平行的判定定理即可判斷A；由線面垂直的判定定理可判斷B；由面面垂直的性質(zhì)可判斷C；由空間中垂直于同一條直線的兩平面平行可判斷D.【詳解】對于A選項，加上條件“”結(jié)論才成立；對于B選項，加上條件“直線和相交”結(jié)論才成立；對于C選項，加上條件“”結(jié)論才成立.故選：D【點睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，涉及線面平行的判定、線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用正弦定理結(jié)合條件，得到，再由，結(jié)合余弦定理，得到，從而得到答案.【詳解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，為的內(nèi)角，所以，因為，所以，由余弦定理得.為的內(nèi)角，所以，所以，為等邊三角形.故選：B.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，屬于簡單題.5、A【解析】

根據(jù)題意，原題等價于，再討論即可得到結(jié)論．【詳解】由題，故函數(shù)有一個零點等價于即當(dāng)時，，,符合題意；當(dāng)，時，令，滿足解得,綜上的取值范圍是或故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的零點，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)根的分布問題，考查了分類討論思想，屬于中檔題．6、D【解析】

由正弦定理將邊化角可求得，根據(jù)三角形為銳角三角形可求得.【詳解】由正弦定理得：，即故選：【點睛】本題考查正弦定理邊化角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用正弦定理由acosA=bcosB,可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判斷△ABC的形狀．【詳解】在△ABC中，∵acosA=bcosB，∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形．故選C．考點：三角形的形狀判斷．8、C【解析】分析：先根據(jù)12時到14時的銷售額為萬元求出總的銷售額，再求10時到11時的銷售額.詳解：設(shè)總的銷售額為x,則.10時到11時的銷售額的頻率為1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10時到11時的銷售額為.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖求概率、頻數(shù)和總數(shù)，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1，頻率=.9、D【解析】

由向量共線的坐標(biāo)表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)．解題時不能隨便約分漏解．10、B【解析】

由輔助角公式結(jié)合條件得出、的值，由結(jié)合同角三角函數(shù)得出、的值，于此可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，由輔助角公式，其中，.因此，“”是“等式對任意恒成立”的必要非充分條件，故選B.【點睛】本題考查必要不充分條件的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及輔助角公式的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則，故是偶數(shù)）．因為，，所以，同理可得，，，所以，應(yīng)選答案．點睛：本題運用演繹推理的思維方法，分別探求出數(shù)列各項的規(guī)律（成等比數(shù)列），再運用等比數(shù)列的求和公式，使得問題簡捷、巧妙獲解．12、等邊三角形【解析】

分析：角成等差數(shù)列解得，邊成等比數(shù)列，則，再根據(jù)余弦定理得出的關(guān)系式．詳解：角成等差數(shù)列，則解得，邊成等比數(shù)列，則，余弦定理可知故為等邊三角形．點睛：判斷三角形形狀，是根據(jù)題意推導(dǎo)邊角關(guān)系的恒等式．13、3【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖，求得不小于40歲的人的頻率及人數(shù)，再利用分層抽樣的方法，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40歲的人的頻數(shù)是100×0.2=20；從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及頻率分布直方圖中概率的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)和中位數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得.【詳解】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，解得：故答案為：【點睛】本題考查莖葉圖中中位數(shù)相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

把化成的型式即可?！驹斀狻坑深}意得所以對稱軸為，對，當(dāng)時，對稱中心為，對。的增區(qū)間為，對向右平移得。錯【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)變換，意在考查學(xué)生對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的掌握情況。16、【解析】函數(shù)y=ax，y=xb，y=logcx的圖象如圖所示，由指數(shù)函數(shù)y=ax，x=2時，y∈（1，2）；對數(shù)函數(shù)y=logcx，x=2，y∈（0，1）；冪函數(shù)y=xb，x=2，y∈（1，2）；可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．可得b＜a＜c故答案為：b＜a＜c．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，故，由此可得的值．（2）化簡函數(shù)，求出，化簡，由題意可知：，由此可得的取值范圍．（3）由條件得，再由，，可得．由的圖象關(guān)于點，對稱求得，可得．再由的圖象關(guān)于直線成軸對稱，所以，可得，，由此求得滿足的條件．【詳解】解：（1）因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，得對恒成立，即，所以.（2），即，，由題意可知：得，∴.（3）又∵，，，不妨設(shè)，，則，其中，由函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，在處取得最小值得，即，故.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和對稱性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．18、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的關(guān)系，求解；倒序相加求。（2）先用錯位相減求，分離參數(shù)，使得對于一切的恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最值。詳解：（1）時滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對于一切的恒成立，即，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故所以為所求.點睛：1、，一定要注意，當(dāng)時要驗證是否滿足數(shù)列。2、等比乘等差結(jié)構(gòu)的數(shù)列用錯位相減。3、數(shù)列中的恒成立問題與函數(shù)中的恒成立問題解法一致。19、(1)-3；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）由題意可得，結(jié)合三點共線的充分必要條件可得.（2）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則可得，則恒有成立.詳解：（1），∵三點共線，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.點睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算法則，二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）=；（2）.【解析】

（1）由，結(jié)合可得數(shù)列為等差數(shù)列，進而可得所求；（2）由得，利用累加法并結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求出，化簡得，再利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最大值即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，可得=．∴數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，∴.（2）由及，得=，∴，∴，又滿足上式，∴．∵對一切恒成立，即對一切恒成立，∴對一切恒成立．又數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，∴，∴，∴實數(shù)取值范圍為．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，考查了累加法與恒成立問題、邏輯推理能力與計算能力，解決數(shù)列中的恒成立問題時，也常利用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求最值的問題求解．21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）線面垂直只需證明PD和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可，易得，另外中已知三邊長通過勾股定理易得,所以平面．（2）