06第六章-不等式

第一節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式1.不等關(guān)系了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景．2.一元二次不等式(1)會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系．(3)會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計(jì)求解的程序框圖．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第95頁◆教材通關(guān)◆1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b，,a－b＝0?a＝b，,a－b＜0?a＜b；))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1?a＝ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＜1?a＜ba∈R，b＞0.))2.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??[小題診斷]1.已知a＜0，－1＜b＜0，那么()A.a＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2 D．a(chǎn)b＞ab2＞a2.不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))≥0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,2)或x＞\f(3,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(1,2)或x≥\f(3,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜\f(3,2)))3.設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，則A，B的大小關(guān)系是()A.A≤B B．A≥BC.A＜B D．A＞B4.(2018·資陽診斷)已知a，b∈R，下列命題正確的是()A.若a＞b，則|a|＞|b| B.若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C.若|a|＞b，則a2＞b2 D.若a＞|b|，則a2＞b25.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，則a＋b的值是________．◆易錯(cuò)通關(guān)◆1.在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，例如當(dāng)c≠0時(shí)，有a＞b?ac2＞bc2；若無c≠0這個(gè)條件，a＞b?ac2＞bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時(shí)，取“＝”)．2.對于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解時(shí)不要忘記討論a＝0時(shí)的情形．3.當(dāng)Δ＜0時(shí)，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別．[小題糾偏]1.設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則()A.ac＞bc B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C.a2＞b2 D．a(chǎn)3＞b32.若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0對任何實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(1，＋∞) B．(－∞，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,11))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,11)))∪(1，＋∞)考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用[題組練通]1.(2018·河南六市第一次聯(lián)考)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，則下列結(jié)論不正確的是()A.a2＜b2 B．a(chǎn)b＜b2C.a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|2.對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d有以下四個(gè)命題：①若ac2＞bc2，則a＞b；②若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，則ac＞bd；④若a＞b，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).其中正確的有()A.1個(gè) B．2個(gè)C.3個(gè) D．4個(gè)3.設(shè)a，b∈R則“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的3大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大?。煊洸坏仁叫再|(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．(2)與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用．(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.考點(diǎn)二一元二次不等式的解法[題組練通]1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x＜0，))則不等式f(x)＞f(1)的解集是()A.(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集為()A.{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}C.{x|0＜x＜3} D．{x|x＜0或x＞3}3.(2018·揚(yáng)州中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))為奇函數(shù)，則不等式f(x)＜4的解集為________．4.解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解一元二次不等式的四個(gè)步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)判：計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根；(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題[鎖定考向]一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍．常見的命題角度有：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍．(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數(shù)范圍．(3)形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍.角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍1.已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在實(shí)數(shù)m對所有的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．角度二形如f(x)≥0，(x∈[a，b])確定參數(shù)范圍2.設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．角度三形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍3.對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．一元二次型不等式恒成立問題的3大破解方法方法解讀適合題型判別式法(1)ax2＋bx＋c≥0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ≤0；))(2)ax2＋bx＋c≤0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ≤0))二次不等式在R上恒成立分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”，分離后其系數(shù)與0能比較大小，便可將參數(shù)分離出來，利用下面的結(jié)論求解．a(chǎn)≥f(x)恒成立等價(jià)于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等價(jià)于a≤f(x)min適合參數(shù)與變量能分離且f(x)的最值易求主參換位法把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．常見的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立問題，若f(x)＞0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＞0，))若f(x)＜0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＜0，,fn＜0))適合在分離參數(shù)時(shí)遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩，或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí)[題組練通]1.(2018·汕頭模擬)已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.[0,1] B.(0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)2.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＞0恒成立，則b的取值范圍是________．3.若不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立，則x的取值范圍是________．第二節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題1.會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組．2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．3.會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第98頁◆教材通關(guān)◆1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C＞0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題[小題診斷]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()2．(2017·高考全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))則z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．93．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)4．(2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))則z＝3x－2y的最小值為________．5．(2018·鄭州模擬)某校今年計(jì)劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a＜7，))設(shè)這所學(xué)校今年計(jì)劃招聘教師最多x名，則x＝________.◆易錯(cuò)通關(guān)◆1．畫平面區(qū)域時(shí)避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax＋by＋c＞0(a＞0)．2．線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè)，也可能有無數(shù)多個(gè)，也可能沒有．[小題糾偏]已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a∈R)取最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域[題組練通]1．(2018·泰安模擬)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,2x＋y<6))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．53．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤x，,y≤kx－1－1))表示一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法．(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實(shí)線．(2)特殊點(diǎn)定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．常選(1,0)或(0,1)點(diǎn).考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)最值的求法及應(yīng)用[鎖定考向]線性規(guī)劃問題是高考的重點(diǎn)，而線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角函數(shù)、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學(xué)問題的解答變得更加新穎別致．歸納起來常見的命題探究角度有：(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值．(2)求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值．(3)求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)．(4)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用．角度一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或范圍1．(2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤3，,x－y≥1，,y≥0，))則z＝x＋y的最大值為()A．0 B．1C．2 D．3求目標(biāo)函數(shù)的最值3步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線；(2)平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)的位置；(3)求值——解方程組求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值．角度二求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值2．(2018·黃岡質(zhì)檢)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x＋2，,x＋y－2≥0，,x≤2，))則eq\f(y－1,x＋3)的取值范圍是()A．[eq\f(1,5)，1] B．[－eq\f(1,5)，1]C．[－1，－eq\f(1,5)] D．[－1，eq\f(1,5)]常見的3類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如z＝ax＋by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通過求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).角度三求目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)值或范圍3．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x＋y－3≤0，,x－2y＋6≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y(a＞0)的最小值為－6，則實(shí)數(shù)a的值為()A．2 B．1C．3 D．4角度四線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用4．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲產(chǎn)品的利潤是300元，每件乙產(chǎn)品的利潤是400元．工廠在生產(chǎn)計(jì)劃中要求每天消耗A，B原料都不超過12千克，則該工廠每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的最大利潤是()A．1800元 B．2400元C．2800元 D．3100元解答線性規(guī)劃實(shí)際問題的3步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出變量，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(2)準(zhǔn)確作出可行域，求出最優(yōu)解；(3)將求解出來的結(jié)論反饋到實(shí)際問題當(dāng)中，設(shè)計(jì)最佳方案．[提醒]注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義．[即時(shí)應(yīng)用]1．(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))則z＝x－y的取值范圍是()A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]2．(2018·安慶市模擬)如果點(diǎn)P(x，y)在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，則x2＋(y＋1)2的最大值和最小值分別是()A．3，eq\f(3,\r(5)) B．9，eq\f(9,5)C．9,2 D．3，eq\r(2)3．當(dāng)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,y－4≤x，,x－7y≤2))時(shí)，－2≤kx－y≤2恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－2,0]C．[－eq\f(1,5)，eq\f(3,5)] D．[－eq\f(1,5)，0]第三節(jié)基本不等式1．基本不等式(1)了解基本不等式的證明過程．(2)會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．2．不等式的綜合應(yīng)用會運(yùn)用不等式性質(zhì)解決比較大小、值域、參數(shù)范圍問題．◆教材通關(guān)◆1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．eq\a\vs4\al([必記結(jié)論])(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．2．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡記：積定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大)．[小題診斷]1．(2018·阜陽模擬)下列正確的是()A．若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2 B．若x＜0，則x＋eq\f(4,x)≥－2eq\r(x×\f(4,x))＝－4C．若ab≠0，則eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b D．若x＜0，則2x＋2－x＞22．(2018·武漢調(diào)研)若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＞2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥23．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．4 B．3C．2 D．14．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)過點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于()A．2 B．3C．4 D．55．一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，則這個(gè)矩形的長為________m，寬為________m時(shí)菜園面積最大．◆易錯(cuò)通關(guān)◆1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可．2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致．[小題糾偏]1．已知a＞0，b＞0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則a＋2b的最小值是()A．3－2eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．2eq\r(2) D．42．(2018·沈陽模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則x＋y的最大值為________．考點(diǎn)一利用基本不等式求最值[鎖定考向]利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為定值求其乘積的最大值，或已知兩個(gè)非負(fù)數(shù)的乘積為定值求其和的最小值，是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容．常見的命題角度有：(1)通過配湊法求最值；(2)通過常值代換法求最值；(3)通過消元法求最值．角度一通過配湊法求最值1．(2018·泉州檢測)已知0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)(1)利用基本(均值)不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本(均值)不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．(2)在利用基本(均值)不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本(均值)不等式.角度二通過常值代換法求最值2．(2018·日照模擬)已知第一象限的點(diǎn)(a，b)在直線2x＋3y－1＝0上，則代數(shù)式eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為()A．24 B．25C．26 D．27將條件靈活變形，利用常數(shù)代換法求最值是解決此類問題的常用方法．角度三通過消元法求最值3．已知正數(shù)x，y，z滿足x2＋y2＋z2＝1，則s＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值為________．消元法求最值多適用于三元變量問題，即通過條件消去其中一元，保留其它二元后通過變形、構(gòu)造、創(chuàng)設(shè)使用基本不等式求最值的條件.[即時(shí)應(yīng)用]1．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．42．若正數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)的最小值是()A．1B.eq\f(9,4)C．9 D．163．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，滿足a－2b＋3c＝0，則eq\f(b2,ac)的最小值是__________．考點(diǎn)二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用[典例]首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題．某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元．(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？解實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．[即時(shí)應(yīng)用]1．某商場中秋節(jié)前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0＜t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場前t天平均銷售量eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如前10天的平均銷售量為\f(f10,10)))的最小值為()A．18B．27C．20D．162．要挖一個(gè)面積為800平方米的矩形魚池，并在魚池的周圍兩側(cè)分別留出寬分別為2米，1米的小路，則魚池與路的占地總面積的最小值是________平方米．3．(2018·惠州質(zhì)檢)某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長方形公園ABCD，公園由形狀為長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成．已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示)．(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比eq\f(|A1B1|,|B1C1|)＝x(x＞1)，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計(jì)？第四節(jié)推理與證明1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．4．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)．5．了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)．◆教材通關(guān)◆1．合情推理類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種特征，推出這類事物的全部對象都具有這種特征的推理由部分到整體、由個(gè)別到一般類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由特殊到特殊2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．3．直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法．(1)綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又稱為：由因?qū)Ч?順推證法)．(2)分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．分析法又稱為：執(zhí)果索因法(逆推證法)．4．間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．[小題診斷]1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．4．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為________．◆易錯(cuò)通關(guān)◆1．合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明．2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．3．合情推理中運(yùn)用猜想不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)．[小題糾偏]判斷正誤(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()考點(diǎn)一類比推理[題組練通]1．給出下面類比推理(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“a，c∈C，則a－c＝0?a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，則a－b＞0?a＞b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”；④“若x∈R，則|x|＜1?－1＜x＜1”類比推出“若z∈C，則|z|＜1?－1＜z＜1”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．42．若{an}是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，則有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，對等比數(shù)列{bn}，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有________．3．(2018·貴州六校聯(lián)考)在平面幾何中：△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)，DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是________．類比推理的分類及處理方法類別解讀適合題型類比定義在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解.已知熟悉定義類比新定義類比性質(zhì)從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵.平面幾何與立體幾何、等差數(shù)列與等比數(shù)列類比方法有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移.已知熟悉的處理方法類比未知問題的處理方法考點(diǎn)二歸納推理[題組練通]1．如圖所示的數(shù)陣中，用A(m，n)表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則依此規(guī)律得A(8,2)為()eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,10)eq\f(1,12)eq\f(1,10)eq\f(1,15)eq\f(1,22)eq\f(1,22)eq\f(1,15)eq\f(1,21)eq\f(1,37)eq\f(1,44)eq\f(1,37)eq\f(1,21)……A.eq\f(1,45) B.eq\f(1,86)C.eq\f(1,122) D.eq\f(1,167)2．(2018·西安質(zhì)檢)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推測出一個(gè)一般性結(jié)論：對于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.3．2017年8月四川九寨溝景區(qū)發(fā)生7.0級地震，為抗震救災(zāi)，地震后需搭建簡易帳篷，搭建如圖①的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖②、圖③的方式串起來搭建，則串7頂這樣的帳篷需要________根鋼管．歸納推理問題的常見類型及解題策略常見類型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解與式子有關(guān)的推理觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，找到規(guī)律后可解與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡钥键c(diǎn)三證明問題[鎖定考向]證明問題分為直接證明與間接證明．其常見的方法有：(1)分析法；(2)綜合法；(3)反證法．角度一分析法1．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).分析法證明問題的思路與適用范圍(1)分析法的思路：“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“要證—只需證—已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性．(2)分析法證明問題的適用范圍：當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，?？紤]用分析法．角度二綜合法2．已知a＞b＞c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(4,c－a)≥0.綜合法證題的思路角度三反證法3．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．反證法證明問題的3步驟(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)[即時(shí)應(yīng)用]1．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C＝eq\f(2π,3)，求證5a＝3b.3．設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時(shí)成立．考點(diǎn)四實(shí)際問題中的推理應(yīng)用近幾年課標(biāo)卷命題常在實(shí)際問題中考查推理應(yīng)用及邏輯判斷能力.該類題型貼近生活命題新穎，考查能力要求較高.[典例](2017·高考全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績求解此類題目一般情況利用反設(shè)推理方法，即逐個(gè)肯定或否定，結(jié)合條件進(jìn)行推理判斷，從而得出正確結(jié)論．[即時(shí)應(yīng)用]1．“一支醫(yī)療救援隊(duì)里的醫(yī)生和護(hù)士，包括我在內(nèi)，總共是13名．下面講到的人員情況，無論是否把我計(jì)算在內(nèi)，都不會有任何變化．在這些醫(yī)務(wù)人員中：①護(hù)士不少于醫(yī)生；②男醫(yī)生多于女護(hù)士；③女護(hù)士多于男護(hù)士；④至少有一位女醫(yī)生．”由此推測這位說話人的性別和職務(wù)是()A．男護(hù)士 B．女護(hù)士C．男醫(yī)生 D．女醫(yī)生2．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的A，B，C，D四項(xiàng)參賽作品，只評一項(xiàng)一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下：甲說：是C或D作品獲得一等獎；乙說：B作品獲得一等獎；丙說：A、D兩項(xiàng)作品未獲得一等獎；丁說：是C作品獲得一等獎．若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是________．第五節(jié)數(shù)學(xué)歸納法1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．◆教材通關(guān)◆1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立．(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示eq\a\vs4\al([必記結(jié)論])1．第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．2．由n＝k時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．[小題診斷]1．(2018·德州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋232．(2018·常德模擬)數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－33．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*時(shí)，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D.eq\f(2k＋3,k＋1)4．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸