高中數(shù)學(xué) 映射與函數(shù)

高中數(shù)學(xué)映射與函數(shù)第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）象和原象：給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的

，元素a叫做元素

b的

.2.函數(shù)（1）函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的

，在集合B中都有

，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作y=f(x),x∈A.x

的取值范圍A叫做函數(shù)的

，

叫做函數(shù)的值域.象原象任意一個(gè)數(shù)x唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)定義域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）函數(shù)的三要素

、

和

.（3）函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法：

、

、

.3.反函數(shù)（1）定義函數(shù)y=f(x)（x∈A）中，設(shè)它的值域?yàn)镃，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=

φ(y).如果對于y在C中的

，通過x=

φ(y)，x在A中都有

和它對應(yīng)，那么,

x=φ(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這定義域值域?qū)?yīng)法則解析法列表法圖象法任何一個(gè)值唯一的值第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日樣的函數(shù)x=φ(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的

，記作

，習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)，把它改寫成

.（2）互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的關(guān)系函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線

對稱.反函數(shù)x=f-1(y)y=f-1(x)y=x第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日基礎(chǔ)自測1.設(shè)集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有 （ ）

A.①②③④B.①②③

C.②③

D.②

解析由映射的定義，要求函數(shù)在定義域上都有圖 象，并且一個(gè)x對應(yīng)著一個(gè)y，據(jù)此排除①④，選C.D第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.給出四個(gè)命題： ①函數(shù)是其定義域到值域的映射；②f（x）= 是函數(shù)；③函數(shù)y=2x（x∈N）的圖象是一條直線；④f（x）=

與g(x)=x是同一個(gè)函數(shù).其中正確的有 （ ） A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析由函數(shù)的定義知①正確.

∵滿足f（x）=

的x不存在，∴②不正確.

又∵y=2x（x∈N)的圖象是一條直線上的一群孤立的點(diǎn)，∴③不正確.

又∵f（x）與g（x）的定義域不同，∴④也不正確.

A第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是 （ ）第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日解析

排除A；

排除B；當(dāng)即x≥1時(shí),y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故選D.答案

D

第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.函數(shù)f(x)=3x+5,x∈［0,1］的反函數(shù)f-1(x)=

.

解析∵y=3x+5,又0≤x≤1,∴5≤y≤8,∴f(x)的反函數(shù)為y第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日5.已知f（）=x2+5x,則f(x)=

.

解析第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日題型一求函數(shù)的解析式【例1】

（1）設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)，且圖象在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)滿足2f(x)+=3x,求f(x).問題（1）由題設(shè)f（x）為二次函數(shù)，故可先設(shè)出f（x）的表達(dá)式，用待定系數(shù)法求解；問題（2）已知條件是一復(fù)合函數(shù)的解析式，因此可用換元法；問題（3）已知條件中含x，，可用解方程組法求解.

題型分類深度剖析思維啟迪第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日解（1）∵f（x）為二次函數(shù)，∴設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=0的兩根為x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. ① ②由已知得c=1. ③由①、②、③式解得b=2,a=,c=1,∴f（x）=x2+2x+1.第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日探究提高

求函數(shù)解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式；(2)拼湊法，對f［g(x)］的解析式進(jìn)行拼湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊的所有“g(x)”即可；(3)換元法，設(shè)t=g(x),解出x,代入

f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系數(shù)法，若已知f(x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值，確定相關(guān)的系數(shù)即可；(5)賦值法，給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式.

第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日知能遷移1（1）已知f(+1)=lg

x，求f（x）； (2)已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解(1)

（2）設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），則3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日題型二分段函數(shù)【例2】設(shè)函數(shù)f(x)=若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程f(x)=x解的個(gè)數(shù)為 （ ） A.1B.2

C.3

D.4 求方程f(x)=x的解的個(gè)數(shù)，先用待定系數(shù)法求f（x）的解析式，再用數(shù)形結(jié)合或解方程.

思維啟迪第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日解析由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,∴x>0時(shí)，顯然x=2是方程f(x)=x的解；x≤0時(shí)，方程f（x）=x即為x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.綜上，方程f（x）=x解的個(gè)數(shù)為3.答案

C

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵要抓住在不同的分段內(nèi)研究問題.如本例，需分x>0時(shí)，f（x）=x的解的個(gè)數(shù)和x≤0時(shí)，f（x）=x的解的個(gè)數(shù).探究提高第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日知能遷移2

（2009·山東理，10）定義在R上的函數(shù) f(x)滿足 則f(2009)的值為 （ ） A.-1B.0 C.1 D.2

解析當(dāng)x＞0時(shí)，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1).∴f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)∴f(x+6)=f(x).即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的周期是6.又∵f(2009)=f(334×6+5)=f(5),∴由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-

f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日題型三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例3】（12分）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價(jià)-投入成本)×年銷售量.（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例

x的關(guān)系式；第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

準(zhǔn)確理解題意，構(gòu)建函數(shù)模型.解題示范解（1）依題意，本年度每輛摩托車的成本為1+x(萬元)，而出廠價(jià)為1.2×(1+0.75x)(萬元)，銷售量為1000×(1+0.6x)(輛).故利潤y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1000×(1+0.6x), ［4分］整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). ［6分］

思維啟迪第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）要保證本年度利潤比上一年有所增加，則y-(1.2-1)×1000>0, ［8分］即-60x2+20x+200-200>0,即3x2-x<0. ［10分］解得0<x<,適合0<x<1.故為保證本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范圍是0<x<. ［12分］

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，求得函數(shù)解析式后，要寫出函數(shù)的定義域（一般情況下，都要受到實(shí)際問題的約束）.

探究提高第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日知能遷移3

（2009·浙江，文15理14）某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià).該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：

高峰時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量（單位：千瓦時(shí)）高峰電價(jià)(單位:元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日低谷時(shí)間段用電價(jià)格表

低谷月用電量（單位：千瓦時(shí)）

低谷電價(jià)(單位:元/千瓦時(shí))

50及以下的部分

0.288

超過50至200的部分

0.318超過200的部分0.388

若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為

元（用數(shù)字作答）.

第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日解析高峰時(shí)段的電價(jià)由兩部分組成，前50千瓦時(shí)電價(jià)為50×0.568元，后150千瓦時(shí)為150×0.598元.低谷時(shí)段的電價(jià)由兩部分組成，前50千瓦時(shí)電價(jià)為50×0.288元，后50千瓦時(shí)為50×0.318元，∴電價(jià)為50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318=148.4（元）.答案

148.4

第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日思想方法感悟提高方法與技巧1.若兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系一致，并且定義域相同，則兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù).2.函數(shù)有三種表示方法——列表法、圖象法和解析法，三者之間是可以互相轉(zhuǎn)化的；求函數(shù)解析式比較常見的方法有代入法、換元法、待定系數(shù)法和解函數(shù)方程等，特別要注意將實(shí)際問題化歸為函數(shù)問題，通過設(shè)自變量，寫出函數(shù)的解析式并明確定義域，還應(yīng)注意使用待定系數(shù)法時(shí)函數(shù)解析式的設(shè)法，針對近幾年的高考分段函數(shù)問題要引起足夠的重視.

第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.求用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況： (1)若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R； (2)若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集；(3)若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合；(4)若f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；(5)若f（x）是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題.

第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日失誤與防范1.建立實(shí)際問題的函數(shù)式，首先要選定變量，而后尋找等量關(guān)系，求函數(shù)解析式，但要根據(jù)實(shí)際問題確定定義域.2.判斷對應(yīng)是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象惟一”.但要注意：（1）A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；（2）B中元素可無原象，即B中元素可有剩余.

第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、選擇題1.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）定時(shí)檢測第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日解析答案D第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范圍是 ()A.［-4，2）B.［-4，2］C.（0，2］D.（-4，2］解析B第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.（2009·廣東文，4）若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)=1,則

f(x)=（）A. B.2x-2C.D.log2x

解析

函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2,故f(x)=log2x.D第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.（2008·山東）設(shè)函數(shù)的值為 （ ）解析A第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日5.（2008·陜西）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,則f(-3)等于（） A.2 B.3 C.6 D.9

解析

f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0.

f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0.

f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2.

f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.C第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日6.函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間［1,2］上存在反函數(shù)的充要條件是（）A.a∈(-∞,1］B.a∈［2,+∞)C.a∈［1,2］D.a∈(-∞,1］∪［2,+∞)

解析

由二次函數(shù)的對稱軸為x=a可得答案.D第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、填空題7.某出租車公司規(guī)定“打的”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)為起步價(jià)8元（即行程不超過3千米，一律收費(fèi)8元），若超過3千米除起步價(jià)外，超過部分再按1.5元/千米收費(fèi)計(jì)價(jià)，若某乘客再與司機(jī)約定按四舍五入以元計(jì)費(fèi)不找零錢，該乘客下車時(shí)乘車?yán)锍虜?shù)為7.4，則乘客應(yīng)付的車費(fèi)是

元.

解析車費(fèi)為8+（7.4-3）×1.5=14.6≈15（元）.15第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日8.（2009·北京文，12）已知函數(shù) 若f(x)=2,則x=

.

解析當(dāng)x≤1時(shí)，3x=2,∴x=log32; 當(dāng)x>1時(shí)，-x=2,∴x=-2(舍去).log32第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日9.已知符號函數(shù)sgnx=解析(x+1)sgnx>2的解集是

.{x|x<-3或x>1}則不等式第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、解答題10.已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且

f(x)=x2+2x.（1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

解

（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點(diǎn)Q(x0，y0)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P（x，y），

第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日∵點(diǎn)Q（x0,y0）在函數(shù)y=f(x)的圖象上，∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2