近世代數(shù)主要知識點

近世代數(shù)主要知識點第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第一章基本概念集合映射代數(shù)運算結(jié)合律交換律分配律一一映射同態(tài)同構(gòu)、自同構(gòu)等價關(guān)系與集合分類第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二章群論群的定義單位元、逆元、消去律有限群的另一定義群的同態(tài)變換群置換群循環(huán)群子群子群的陪集不變子群、商群同態(tài)與不變子群第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日第三章環(huán)和域加群、環(huán)的定義交換律、單位元、零因子、整環(huán)除環(huán)、域無零因子環(huán)的特征子環(huán)、環(huán)的同態(tài)多項式環(huán)理想剩余類環(huán)、同態(tài)與理想最大理想第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日集合的定義若干個固定事物的全體叫做一個集合簡稱集元組成一個集合的事物叫做這個集合的元素有時簡稱元一個沒有元素的集合叫做空集合集合的積令A1A2·········，An是n個集合，有一切從A1A2·········，An里順序取出的元素組（a1，a2，a3············，an）（ai∈Ai）所做成的集合叫做集合的積子集若集合b的每一個元素都屬于集合a，我們說，b是a的子集交集集合a和集合b的所有共同元所組成的集合就叫做a和b的交集并集由至少屬于集合a和b之一的一切元素組成的集合就叫做a和b的并集第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日映射映射的定義假如通過一個法則Ф，對于任何一個A1×A2×······×An的元都能得到一個唯一的D的元d，那么這個法則叫做集合A1×A2×······×An到集合D的一個映射像逆象，映射的相同效果相同就行第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日代數(shù)運算

定義一個A×B到D的映射叫做一個A×B到D的代數(shù)運算代數(shù)運算是一種特殊的映射描寫它的符號，也可以特殊一點，一個代數(shù)運算我們用。來表示二元運算假如。是一個A×A到A的代數(shù)運算，我們說集合A是閉的二元運算第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日分配律第一分配律b⊙（a+b）=（b⊙a)+(b⊙a）第二分配律（a1+a2）b=（a1⊙b）+（a2⊙b）第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日同態(tài)同態(tài)映射一個A到ǎ的映射l，叫做一個代數(shù)運算∮和∮‘來說，A到ǎ的同態(tài)映射，假如，在∮之下不管a和b是A的哪兩個元，只要a→a′，b→b`就有a∮b→a′∮‘b`假如運算1和1‘來說，有一個A到A’的滿射的同態(tài)映射存在，同態(tài)滿射同構(gòu)映射一一映射的同態(tài)映射就是一個同構(gòu)映射自同構(gòu)第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日等價關(guān)系與等價類

集合的等價關(guān)系假如～滿足以下規(guī)律Ⅰ反射律；a～a，不管a是A的哪個元。Ⅱ，對稱律:a～b＝>b～aⅢ，推移律：a～b，b～c=>a～c同余關(guān)系第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日群的定義群的第一定義一個不空集合G對于乘法的代數(shù)運算來說做成一個群，假如ⅰG對于這個乘法來說是閉的ⅱ結(jié)合律成立：a（bc）=（ab）c對于G的任意的三個元a，b，c都對；ⅲ對于G的任意兩個元a，b來說，方程ax=b和ya=b都在G里有解群的第二定義ⅰG對乘法是閉的ⅱ結(jié)合律成立：a（bc）=(ab)c對于G里的任意元都對ⅲG里至少存在一個左單位元e，能讓ea=a對G中的任意a都成立ⅳ對于G的每個元a，在G里至少存在一個左逆元a‘

能讓a’a=e第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日單位元、逆元、消去律單位元一個群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的單位元逆元一個群的每一個元a來說，在群里存在一個而且只存在一個元a‘，能使a’a=aa’=e消去律若ax=ax’，那么x=x’

若ya=y’a，那么y=y’第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日群的同態(tài)

定理假定G與G’對于它們的乘法來說同態(tài)，那么G’也是一個群注意假如G’和G同態(tài)，那么不一定是群定理2假定G和G’是兩個群。在G到G’的一個同態(tài)映射下，G的單位元e的象是G’的單位元，G的元a的逆元a’的象是a的象的逆元在一個同構(gòu)映射下，兩個單位元互相對應，相互對應的元的逆元相互對應。第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日變換群

定理1假定G是集合A的若干個變換所做成的集合，并且G包含恒等變換ε，若是對乘法（ζ：a→aζ，λ：a→a?那么a→（a?)?）來說做成一個群，那么G只包含A的一一變換。變換群一個集合的若干個一一變換對于以上規(guī)定的乘法做成的一個群叫做A的一個變換群定理2一個集合的所有一一變換做成一個變換群定理3任何一個群都同一個變換群同構(gòu)證明，假定G是一個群，G的元是a，b，c·······我們在G里任意取出一個元x來，那么?x：g→gx=g?x是集合的一個變換。因為給了G的任意元g，我們能夠得到一個唯一的G的元g?x。這樣由G的每個元x，可以得到G的一個變換?x。我們把所有這樣的來的G的變換放在一起，做成一個集合G’={a’，b‘，c’

·······}那么x→x’是G到G’的滿射，但消去律x≠y=>gx≠gy告訴我們?nèi)魓≠y，那么x’≠y’，所以x→x’是一一映射。在進一步看，是同構(gòu)映射所以任何群和一個變換群同構(gòu)

第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日置換群一個有限集合的一一變換叫做置換一個有限集合的若干個置換群做成的一個群叫做置換群。定義一個包含n個元的集合的全體置換做成的群叫做對稱群sn定理1n次對稱群sn的階是n！定義sn的一個把ai1變到ai2·····························而使得其余的元，假如還有的話，不變的置換，叫做一個k-循環(huán)置換定理2每一個n個元的置換?都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的循環(huán)置換的乘積。定理3每個有限群都與一個置換群同構(gòu)

第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日循環(huán)群

定義若一個群G的每一個元都是G的某個固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群，我們也可以說，G是由元a生成的，并且用符號G=（a）來表示。a叫做G的一個生成元定理假定G是一個由元a所生成的循環(huán)群。那么G的構(gòu)造完全可以由a的階來決定a的階若是無限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與n的剩余類加群同構(gòu)第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日子群

定義一個群的一個子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的乘法來說做成一個群做成子群的必要條件;⑴,a，b∈H=>ab∈H⑵a∈H=>a’∈H定理做成子群的充分必要條件a，b∈H=》ab’∈H一個群的不空有限子集H作成G的一個子群的充分必要條件是：a，b∈ab∈H第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日子群的陪集a～b當且僅當ab’∈H時是一種等價關(guān)系a～‘b當且僅當b’a∈H是也是等價關(guān)系等價關(guān)系的類是右陪集Ha第一種情況由～’所決定的類是左陪集第二種情況一個右陪集的個數(shù)和左陪集的個數(shù)相等它們或者都是無限大或者都是有限并且相等第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日子群的陪集續(xù)指數(shù)一個群的子群的右陪集的個數(shù)叫做H在G里的指數(shù)假定H是一個有限群G的子群，那么H的階n和它在G里的指數(shù)j都能整除G的階N并且N=nj一個有限群的任一元a的階n都能整除G的階第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日不變子群、商群

定義一個群G是一個子群N叫做一個不變子群，假如對于G的每個元a來說，都有Na=aN一個不變子群的一個左(右)陪集叫做N的一個陪集一個群G的一個子群是一個不變子群的充要條件是：aNa’=N對于任意元a都成立充要條件a∈G，n∈N=>ana‘∈N商群一個不變子群N的陪集所做成的群叫做一個商群G/N有限群時G的階/N的階=G/N的階第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日同態(tài)、不變子群一個群G同他的每一個商群G/N同態(tài)同態(tài)映射的核：假定&是一個群G到另一個群G’的一個同態(tài)映射。G’的單位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的子集就叫做同態(tài)映射的核。定理假定G與G’是兩個群，并且G與G’同態(tài)，那么這個同態(tài)映射的核N是G的一個不變子群，且G/N≌G’第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日加群、環(huán)的定義加群一個交換群叫做一個加群環(huán)一個集合叫做一個環(huán)1R是加群對于一個叫做加法的代數(shù)運算來說做成一個交換群2R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算來說是閉的3這個乘法適合結(jié)合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c是R的哪三個元兩個分配律都成立a（b+c）=ab+ac

（b+c）a=ba+ca第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日交換律、單位元、零因子、整環(huán)交換環(huán)一個環(huán)假如ab=ba不管ab是環(huán)的哪兩個元單位元ea=ae=a一個環(huán)未必有單位元零因子若環(huán)里a≠0，b≠0但ab=0那么a是左零因子b右零因子整環(huán)一個環(huán)叫做整環(huán)如果1.乘法適合交換律：ab=ba.R有單位元1：1a=a1=aR沒有零因子ab=0=>a=0或b=0第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日除環(huán)、域除環(huán)1，R至少包含一個而不等于零的元2，R有單位元3，R的每一個不等于零的元有一個逆元域一個交換除環(huán)叫做一個域在一個沒有零因子的環(huán)里所有不等于零的元對于加法來說的階都一樣的一個無零因子的環(huán)里的非零元的相同的階叫做環(huán)的特征整環(huán)除環(huán)域的特征或是無限大或是一個素數(shù)第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日子環(huán)、環(huán)的同態(tài)一個非空子集作成子環(huán)的充