高一數(shù)學(xué)分段函數(shù)與映射

高一數(shù)學(xué)分段函數(shù)與映射第一頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第二頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日1．當(dāng)自變量x在不同的取值區(qū)間(范圍)內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則也不同的函數(shù)為

．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不是幾個(gè)函數(shù)，只是在定義域的不同范圍上取值時(shí)對(duì)應(yīng)法則不同，分段函數(shù)是普遍存在又比較重要的一種函數(shù)．2．(1)設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的

一個(gè)元素，在集合B中有

確定的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括A、B以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f)叫做集合A到B的映射，記作

.分段函數(shù)唯一任何f：A→B第三頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)給定一個(gè)集合A到集合B的映射時(shí)，a∈A，b∈B如果b和a對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做

，元素a叫做b的

．象原象第四頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日本節(jié)重點(diǎn)：①分段函數(shù)概念的理解；②映射定義理解．本節(jié)難點(diǎn)：①函數(shù)圖象的畫(huà)法；②分段函數(shù)的理解應(yīng)用；③用映射理解函數(shù)的定義．第六頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日(1)分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集；值域是各段函數(shù)值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者．研究分段函數(shù)常借助圖象進(jìn)行．(2)映射f：A→B包含三個(gè)要素：原象集合A，象集合B(或B的子集)以及從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)法則f.兩個(gè)集合A、B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它集合．對(duì)應(yīng)法則f可用文字表述，也可以用符號(hào)表示．映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，它具有：第八頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日①方向性：映射是有次序的，一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的；②任意性：集合A中的任意一個(gè)元素都有象，但不要求B中的每一個(gè)元素都有原象；③唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允許“一對(duì)多”但可以“多對(duì)一”．第九頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[分析]圖象法是表示函數(shù)的方法之一，畫(huà)函數(shù)的圖象時(shí)，以定義域、對(duì)應(yīng)法則為依據(jù)，采用列表、描點(diǎn)法作圖．第十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日 總結(jié)評(píng)述：函數(shù)的圖象可以是一些線(xiàn)段，一段曲線(xiàn)，甚至是一些點(diǎn)．表示函數(shù)的式子也可以不止一個(gè)，這類(lèi)用幾個(gè)式子表示的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，必須分段畫(huà)出函數(shù)圖象，尤其需注意特殊點(diǎn)．

第十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

B第十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[例2]設(shè)f：M→N是集合M到集合N的映射，下列說(shuō)法中正確的是()A．M中每一個(gè)元素在N中必有元素與之對(duì)應(yīng)B．N中每一個(gè)元素在M中必有元素與之對(duì)應(yīng)C．M中的元素在N中可以有不同元素與之對(duì)應(yīng)D．N中的元素在M中若有原象，則原象必是惟一的[分析]根據(jù)映射的定義判斷．第十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[解析]

在映射中允許集合N中的某些元素在集合M中沒(méi)有元素對(duì)應(yīng)，所以B是錯(cuò)誤的；又因?yàn)橛成渲性试S集合M中不同元素對(duì)應(yīng)集合N中相同的元素，就是說(shuō)可以“多對(duì)一”，因此D也是錯(cuò)誤的．M中元素的象是惟一的，故C錯(cuò)，∴選A.第十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

B[分析]判斷兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)是否為映射，只要按照對(duì)應(yīng)法則f判斷，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中是否有惟一的元素和它對(duì)應(yīng)．第十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[解析]

在A中，當(dāng)x＝3時(shí)，|x－3|＝0，于是A中有一個(gè)元素在B中沒(méi)有元素和它對(duì)應(yīng)，故不是映射；在C中，集合A中的負(fù)數(shù)在B中沒(méi)有元素和它對(duì)應(yīng)，故也不是映射；(或者x＞0時(shí)，B中對(duì)應(yīng)元素不唯一)；在D中，集合A中元素為0時(shí)，其倒數(shù)不存在，因而0在B中無(wú)對(duì)應(yīng)元素，故同樣不是映射；B符合定義，故選B.第二十頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[例3]已知集合A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}，給定映射f：A→B，使得集合A中的元素(x，y)與集合B中的元素(x＋y，xy)對(duì)應(yīng)．(1)求A中元素(－2,3)的象；(2)求B中元素(2，－3)的原象；*(3)判斷集合A中是否存在元素與B中形如(a，a2)的元素對(duì)應(yīng)；若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．[分析]由對(duì)應(yīng)法則，可以根據(jù)A中元素與B中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立起關(guān)于x、y的方程組．其中第(3)問(wèn)即是判斷相應(yīng)的方程組是否有解，何時(shí)有解．第二十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日 總結(jié)評(píng)述：在一個(gè)給定的映射f：A→B中，A中每一個(gè)元素在B中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，但B中元素在A中未必有元素對(duì)應(yīng)，即A中元素對(duì)應(yīng)B中元素的集合實(shí)際上是集合B的一個(gè)子集．在涉及元素的對(duì)應(yīng)問(wèn)題中，常常需要建立方程組求解．第二十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)設(shè)集合A、B都是正整數(shù)集，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素3n＋2n，則在映射f下，象89的原象是()A．2B．3C．4D．5[答案]

(1)D(2)C第二十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[點(diǎn)評(píng)](2)驗(yàn)證次數(shù)要盡可能的少，故先驗(yàn)證B，若n＝3時(shí)，結(jié)果比89小，則排除A、B.若等于89，則知選B，若大于89，則選A.第二十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[分析]這是已知分段函數(shù)的函數(shù)值求相應(yīng)自變量的值的問(wèn)題．一般從兩個(gè)角度思考：一是先求各段上函數(shù)值的取值范圍，再結(jié)合所給函數(shù)值的大小，確定在哪段上求解；二是逐段令其值為已知函數(shù)值解出x的值，看是否滿(mǎn)足其取值范圍的要求做出取舍．第三十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

A第三十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[例5]上因特網(wǎng)的費(fèi)用由兩部分組成：電話(huà)費(fèi)和上網(wǎng)費(fèi)．以前某“熱線(xiàn)”上因特網(wǎng)的費(fèi)用為電話(huà)費(fèi)0.12元/3分鐘，上網(wǎng)費(fèi)0.12元/分鐘．根據(jù)信息產(chǎn)業(yè)部調(diào)整因特網(wǎng)資費(fèi)的要求，自1999年3月1日起，該地區(qū)上因特網(wǎng)的費(fèi)用調(diào)整為電話(huà)費(fèi)0.16元/3分鐘，上網(wǎng)費(fèi)每月不超過(guò)60小時(shí)，以4元/時(shí)計(jì)算，超過(guò)60小時(shí)部分，以8元/時(shí)計(jì)算．第三十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日(1)根據(jù)調(diào)整后的規(guī)定，將每月上因特網(wǎng)的費(fèi)用表示為時(shí)間(小時(shí))的函數(shù)(每月按30天計(jì)算)；(2)某網(wǎng)民在其家庭經(jīng)濟(jì)預(yù)算中一直有一筆上網(wǎng)60小時(shí)的費(fèi)用開(kāi)支，因特網(wǎng)資費(fèi)調(diào)整后，若要不超過(guò)其家庭經(jīng)濟(jì)預(yù)算中上網(wǎng)費(fèi)支出，則該網(wǎng)民現(xiàn)在每月可上網(wǎng)多少小時(shí)，從漲價(jià)和降價(jià)的角度分析該地區(qū)調(diào)整前后上因特網(wǎng)的費(fèi)用情況．第三十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[解析]

設(shè)調(diào)整后上網(wǎng)x小時(shí)的費(fèi)用為f(x)元．(1)當(dāng)0＜x≤60時(shí)，f(x)＝0.16×20x＋4x＝7.2x；當(dāng)x＞60時(shí)，f(x)＝4×60＋0.16×20x＋(x－60)×8＝11.2x－240.第三十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)設(shè)調(diào)整前上網(wǎng)x小時(shí)的費(fèi)用為g(x)元，則g(x)＝0.12×20x＋0.12×60x＝9.6x.原上網(wǎng)60小時(shí)預(yù)算費(fèi)用為9.6×60＝576(元)，由576＝11.2x－240得x≈72.85(時(shí))，故該網(wǎng)民現(xiàn)在每月可上網(wǎng)72.85小時(shí)．當(dāng)0＜x≤60時(shí)，f(x)＜g(x)；當(dāng)x＞60時(shí)，由f(x)＝g(x)，可得x＝150.所以，上網(wǎng)小于150小時(shí)時(shí)，f(x)＜g(x)；上網(wǎng)大于150小時(shí)時(shí)，f(x)＞g(x)．第三十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P，沿折線(xiàn)BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△APB的面積為y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)畫(huà)出y＝f(x)的圖象；(3)若△APB的面積不小于2，求x的取值范圍．第四十頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)y＝f(x)的圖象如圖所示．(3)即f(x)≥2，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，2x≥2，∴x≥1，當(dāng)8<x≤12時(shí)，2(12－x)≥2，∴x≤11，∴x的取值范圍是1≤x≤11.第四十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[點(diǎn)評(píng)](3)可以作直線(xiàn)y＝2與函數(shù)y＝f(x)的圖象交于點(diǎn)A(1,2)，B(11,2)，要使y≥2，應(yīng)有1≤x≤11.第四十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[例6]設(shè)集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，其中a，k∈N，映射f：A→B使B中的元素y與A中元素x對(duì)應(yīng)且y＝3x＋1，求a及k的值．[錯(cuò)解]

∵B中元素y＝3x＋1與A中元素x對(duì)應(yīng)，∴A中元素1,2分別對(duì)應(yīng)B中元素4,7.∵a，k∈N，∴a不存在，∴k不存在．第四十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[辨析]以上解法的錯(cuò)誤之處在于誤解了映射的定義．由于集合元素的無(wú)序性，所以a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分類(lèi)討論．第四十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日一、選擇題1．函數(shù)y＝|x＋1|的圖象是 ()第四十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

A[解析]

當(dāng)x＝－1時(shí)y＝0，因此否定B、C，又y≥0，否定D，故選A.第四十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日2．在如圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，哪些對(duì)應(yīng)不是集合A到集合B的映射()A．①、②B．①、④C．②、⑤D．①、②、③第五十頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

D[解析]

由圖知①②中元素a1在B中對(duì)應(yīng)元素不唯一，③中元素a2在B中無(wú)象，都不是映射，④⑤是映射，故選D.第五十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日第五十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

B[解析]

設(shè)(x，y)在f作用下對(duì)應(yīng)(3,1)，則∴與(3,1)對(duì)應(yīng)的元素為(1,1)，故選B.第五十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日4．已知圖①中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x)，則圖②的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)第五十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

C[解析]

觀(guān)察圖②可知，當(dāng)x<0時(shí)，y＝f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，y＝f(－x)，∴圖②對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(－|x|)．第五十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，2022年，8月28日二、