2023年福建省福州市瑯岐中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．兩條直線和，，在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．2．某中學(xué)高一年級(jí)甲班有7名學(xué)生，乙班有8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是82，若從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，則兩名學(xué)生的成績(jī)都高于82分的概率為（）A． B． C． D．3．在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的面積為，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是A． B．C． D．4．若函數(shù)（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)結(jié)論：①，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則.其中正確結(jié)論的序號(hào)是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④6．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，，,．的值為()A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．9．在中，為線段上的一點(diǎn)，，且，則A．， B．，C．， D．，10．關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為___________。12．空間一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是_______.13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．14．方程的解集是____________.15．已有無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)的和為1，則的取值范圍為__________．16．已知函數(shù)，則的取值范圍是____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間.20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面積；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．21．如圖，在平面四邊形中，，，的面積為．⑴求的長(zhǎng)；⑵若，，求的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由方程得出直線的截距，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】由截距式方程可得直線的橫、縱截距分別為，直線的橫、縱截距分別為選項(xiàng)A，由的圖象可得，可得直線的截距均為正數(shù)，故A正確；選項(xiàng)B，只有當(dāng)時(shí)，才有直線平行，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，只有當(dāng)時(shí)，才有直線的縱截距相等，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由的圖象可得，可得直線的橫截距為正數(shù)，縱截距為負(fù)數(shù)，由圖像不對(duì)應(yīng)，故D錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距式方程，需理解截距的定義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

計(jì)算得到，，再計(jì)算概率得到答案.【詳解】，解得；，解得；故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了平均值，中位數(shù)，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.3、C【解析】

首先根據(jù)面積公式和余弦定理可將已知變形為，，然后根據(jù)正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，利用，化簡(jiǎn)為，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問(wèn)題.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，由余弦定理可得，則，即，所以．由正弦定理可得，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，則，即．故的周長(zhǎng)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理和三角形面積公式，以及輔助角公式和三角函數(shù)求取值范圍的問(wèn)題，屬于中檔題型，本題需認(rèn)真審題，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，需滿足三個(gè)角都是銳角，即.4、A【解析】

函數(shù)（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)在均有一個(gè)解，再解不等式即可.【詳解】解：因?yàn)?，由函?shù)（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)在均有一個(gè)解，則，解得：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分式不等式的解法，屬中等題.5、C【解析】

利用面面垂直的判定定理判斷①；根據(jù)面面平行的判定定理判斷②；利用線面垂直和線面平行的性質(zhì)判斷③；利用線面垂直和面面平行的性質(zhì)判斷④【詳解】①，，或，又，則成立，故正確②若，，或和相交，并不一定平行于，故錯(cuò)誤③若，，則或，若，則并不一定平行于，故錯(cuò)誤④若，，，又，成立，故正確綜上所述，正確的命題的序號(hào)是①④故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判斷和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解線面，面面平行與垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

先求出的值，即得解.【詳解】由題得，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由正弦定理列方程求解?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜傻茫?，所以，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題。8、A【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個(gè)半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積?！驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！军c(diǎn)睛】本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。9、A【解析】

根據(jù)相等向量的定義及向量的運(yùn)算法則：三角形法則求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值【詳解】由題意，∵，∴，即，∴，即故選A．【點(diǎn)睛】本題以三角形為載體，考查向量的加法、減法的運(yùn)算法則；利用運(yùn)算法則將未知的向量用已知向量表示，是解題的關(guān)鍵．10、B【解析】

將不等式化為，等價(jià)于，解出即可．【詳解】由原式得且，解集為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，解分式不等式時(shí)，要求右邊化為零，等價(jià)轉(zhuǎn)化如下：；；；.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3；【解析】

由三視圖還原幾何體，根據(jù)垂直關(guān)系和勾股定理可求得各棱長(zhǎng)，從而得到最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度.【詳解】由三視圖可得幾何體如下圖所示：其中平面，，，，，，四棱錐最長(zhǎng)棱為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體的相關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確還原幾何體中的長(zhǎng)度和垂直關(guān)系，從而確定最長(zhǎng)棱.12、【解析】

直接運(yùn)用空間兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由空間兩點(diǎn)距離公式可得：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、【解析】

設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡(jiǎn)整理可得.【詳解】設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡(jiǎn)得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和兩點(diǎn)距離公式，難點(diǎn)主要在于計(jì)算.14、【解析】

由方程可得或，然后分別解出規(guī)定范圍內(nèi)的解即可.【詳解】因?yàn)樗曰蛴傻没蛞驗(yàn)椋杂傻靡驗(yàn)?，所以綜上：解集是故答案為：【點(diǎn)睛】方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化為或，不要把遺漏了.15、【解析】

根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和表達(dá)式，將用公比表示，根據(jù)的范圍求解的范圍.【詳解】因?yàn)榍?，又，且，則.【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的應(yīng)用，難度一般.關(guān)鍵是將待求量與公比之間的關(guān)系找到，然后根據(jù)的取值范圍解決問(wèn)題.16、【解析】

分類討論，去掉絕對(duì)值，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)各段上的取值，進(jìn)而得到函數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，此時(shí)函數(shù)的取值當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，最小值，所以函數(shù)的取值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以最大值為，此時(shí)函數(shù)的取值，綜上可知，函數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的值域問(wèn)題，其中解答中合理分類討論去掉絕對(duì)值，利用函數(shù)的單調(diào)性求得各段上的值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解析】

(1)取中點(diǎn),連接,可得四邊形為平行四邊形.再證明平面得到,進(jìn)而得到即可.(2)利用等體積法,求出三棱錐的體積,進(jìn)而求得到平面的距離,再得出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,則.又,故.故四邊形為平行四邊形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因?yàn)榈酌?故.又,,.故.設(shè)到平面的距離為,則,解得.故直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明以及利用等體積法求點(diǎn)到面的距離以及線面角的求解,需要根據(jù)題意利用線面線線垂直的判定與性質(zhì)證明,同時(shí)也需要在等體積法時(shí)求解對(duì)應(yīng)的面的面積等.屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求結(jié)果，(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，,相減得，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列為首項(xiàng)為，2為公比的等比數(shù)列，(2),所以，則2，兩式相減得.【點(diǎn)睛】本題考查錯(cuò)位相減法求和以及由和項(xiàng)求通項(xiàng)，考查基本求解能力，屬中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式直接求的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，直接求解，的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：（1）由，，可得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：，．（2）因?yàn)?，；可得，．時(shí)，．函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，由余弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（2）當(dāng)時(shí)，由余弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值，利用正弦定理可求的值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，,,．（2）當(dāng)時(shí)，，,，由正弦定理得：,．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系