高中數(shù)學(xué) 北師大版 必修二 平面向量及其應(yīng)用 平面向量及其應(yīng)用

單元教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明“平面向量及其應(yīng)用”是在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的幾何與代數(shù)主題下的一個(gè)大單元，也是北師大版必修課程第二冊(cè)第二章內(nèi)容。向量具有豐富的物理背景和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，是數(shù)學(xué)中的基本概念。本單元共分為四個(gè)子單元：向量的概念，向量的運(yùn)算，向量基本定理和坐標(biāo)表示，向量的應(yīng)用。北師大版教材特別把解三角形中的正、余弦定理放入向量這一章，充分體現(xiàn)的向量的應(yīng)用價(jià)值，也更利于單元教學(xué)設(shè)計(jì)。下面將從以下幾方面進(jìn)行大單元教學(xué)設(shè)計(jì)。單元教學(xué)整體分析：（一）單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析平面向量在高中數(shù)學(xué)課程中占據(jù)著重要的地位。一方面它是學(xué)習(xí)空間向量的基礎(chǔ)，二是他對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解起到?jīng)Q定作用，三是利用平面向量能順利解決許多平面幾何、解析幾何、物理問(wèn)題，特別是三角問(wèn)題的解決，如兩角差的三角函數(shù)和正余弦定理的向量法證明，讓學(xué)生深刻感受到向量方法的力量。平面向量的基本脈絡(luò)：“主線-主題—核心內(nèi)容”，先平面向量，后幾何（立體幾何，解析幾何），再空間向量到立體幾何。如圖所示：而“平面向量及其應(yīng)用”這一章通過(guò)位移、力、速度等豐富的矢量，以及他們的物理與幾何意義來(lái)理解向量概念；通過(guò)過(guò)力的合成與分解，理解向量運(yùn)算；通過(guò)物體所做的功理解向量的數(shù)量積，把物理和數(shù)學(xué)深度融合，使物理成為“情景場(chǎng)”，進(jìn)一步凸顯向量作為聯(lián)系代數(shù)、幾何、物理的橋梁，因此本章的核心素養(yǎng)的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)運(yùn)算，而特色是情境設(shè)計(jì)。具體知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：（二）課標(biāo)教材內(nèi)容分析：教材內(nèi)容及教學(xué)課時(shí)安排：從位移、速度、力到向量（共2課時(shí)）1.1位移、速度和力（1課時(shí)）1.2向量的概念（1課時(shí)）2、從位移的合成到向量的加法（共2課時(shí)）2.1向量的加法（1課時(shí)）2.2向量的減法（1課時(shí)）3、從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量（共2課時(shí)）3.1數(shù)乘向量（1課時(shí)）3.2平面向量基本定理（1課時(shí)）4、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（共2課時(shí)）4.1平面向量基本定理（1課時(shí)）4.2平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示（1課時(shí)）從力做的功到向量的數(shù)量積（共3課時(shí)）5.1向量的數(shù)量積（1課時(shí)）5.2向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1課時(shí)）5.3利用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度和角度（1課時(shí)）6、向量應(yīng)用舉例（共8課時(shí)）6.1余弦定理與正弦定理（6課時(shí)）6.2平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例（2課時(shí)）本章小結(jié)（1課時(shí)）《課標(biāo)》要求：教學(xué)提示在平面向量及其應(yīng)用的教學(xué)中，應(yīng)從力、速度、位移等實(shí)際情境入手，從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度理解向量的概念與運(yùn)算法則，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法探索實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的共性與差異?？梢酝ㄟ^(guò)力的分解引出向量基本定理，建立基的概念和向量的坐標(biāo)表示，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問(wèn)題。例如，利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所做的功，利用向量解決與平面內(nèi)兩條直線平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題等。對(duì)于向量的非正交分解只要求學(xué)生一般了解，不必展開．學(xué)業(yè)要求能夠從多種角度理解向量概念和運(yùn)算法則，掌握向量基本定理；能夠運(yùn)用向量運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的幾何和物理問(wèn)題，知道數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的關(guān)系．在學(xué)習(xí)過(guò)程中重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。3、《課標(biāo)》解讀向量是代數(shù)的研究對(duì)象，數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的計(jì)算和向量的運(yùn)算是學(xué)習(xí)代數(shù)運(yùn)算的三個(gè)重要階段，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展．向量的應(yīng)用是非常廣泛的，中學(xué)時(shí)期的應(yīng)用主要體現(xiàn)在物理學(xué)和數(shù)學(xué)中的幾何中．如果說(shuō)在物理學(xué)中的應(yīng)用是向量與矢量的直接對(duì)應(yīng)表示，是一種自然的應(yīng)用，而向量在幾何上的應(yīng)用，則是在完善的幾何體系之外，在數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的用數(shù)學(xué)解釋傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．在物理背景下“抽象”出向量的概念和“數(shù)學(xué)建模”的過(guò)程，向量基本定理的得出過(guò)程中蘊(yùn)含“邏輯推理”，向量的應(yīng)用更加強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)建模”.特別是，作為鮮明代數(shù)特征的平面向量，教材為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提供了足夠的學(xué)習(xí)內(nèi)容，更是為綜合發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供支撐。基于以上分析制定本章教學(xué)重點(diǎn)為：向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的應(yīng)用．（三）學(xué)情分析：學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)的擴(kuò)充、數(shù)和式的運(yùn)算及其應(yīng)用，集合的概念、集合的運(yùn)算及其應(yīng)用等學(xué)習(xí)，積累一定的研究經(jīng)驗(yàn)，具有研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的初步觀念，即“抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象----研究運(yùn)算---研究運(yùn)算律---數(shù)學(xué)應(yīng)用”;高一下學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)具備一定的物理基礎(chǔ)，對(duì)位移、速度、力、功、力的合成和分解都有很好的認(rèn)識(shí)，這也為理解向量及其運(yùn)算奠定了良好的基礎(chǔ)．此外，這個(gè)階段的學(xué)生也具備一定的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力，有能力學(xué)習(xí)和理解本章內(nèi)容．盡管如此，在本章的學(xué)習(xí)中學(xué)生還有可能存在一些不易理解的問(wèn)題，比如:在抽象向量概念的過(guò)程中，物理中強(qiáng)調(diào)力的作用點(diǎn)，而平面向量是自由向量;向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律幾何證明的不習(xí)慣;投影向量的引入原因等．并且學(xué)生對(duì)于一種運(yùn)算的理解還只能停留在數(shù)的運(yùn)算，字母的運(yùn)算，而向量運(yùn)算是運(yùn)算的一次飛躍，因此在理解上以類比的思維方式做基礎(chǔ)去深化抽象理解，并在此過(guò)程中去升華運(yùn)算能力也有些欠缺。因此這些環(huán)節(jié)需要教師做深入淺出的指導(dǎo)。單元教學(xué)目標(biāo)任務(wù)確定（一）目標(biāo)1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。2.向量的線性運(yùn)算(1)通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。(2)通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義。(3)了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(1)了解平面向量的基本定理及其意義。(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。4.平面向量的數(shù)量積(1)通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。(2)體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。5.向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、單元教學(xué)設(shè)計(jì)框圖：依托內(nèi)容分析確定單元教學(xué)重點(diǎn)單元內(nèi)容和內(nèi)容解析依托內(nèi)容分析確定單元教學(xué)重點(diǎn)單元內(nèi)容和內(nèi)容解析注意達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志單元目標(biāo)及其解析 注意達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志單元目標(biāo)及其解析依據(jù)學(xué)情分析確定單元教學(xué)難點(diǎn)單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析【學(xué)情分析】依據(jù)學(xué)情分析確定單元教學(xué)難點(diǎn)單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析【學(xué)情分析】體現(xiàn)每節(jié)課的育人功能課時(shí)教學(xué)安排體現(xiàn)每節(jié)課的育人功能課時(shí)教學(xué)安排單元教學(xué)支持條件分析（可選）單元教學(xué)支持條件分析（可選）單元教學(xué)過(guò)程單元教學(xué)過(guò)程課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)章節(jié)復(fù)習(xí)參考題課時(shí)分層作業(yè)四、單元教學(xué)作業(yè)及評(píng)價(jià)：章節(jié)復(fù)習(xí)參考題課時(shí)分層作業(yè)單元作業(yè)單元作業(yè)設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明：課時(shí)作業(yè)：根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況設(shè)計(jì)分層作業(yè)，結(jié)合課外思考題、課外閱讀、課時(shí)小報(bào)告等形式，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。單元作業(yè)：在每個(gè)單元的最后一個(gè)課時(shí)作業(yè)的設(shè)計(jì)中增加一個(gè)單元作業(yè)，原則上要體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的不同，結(jié)