高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)引入321復(fù)數(shù)加法和減法同步學(xué)案新人教B版選修12

復(fù)數(shù)的加法和減法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.嫻熟掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算法例.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形聯(lián)合”的思想解題．知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的加法和減法思慮1類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算，想想復(fù)數(shù)怎樣進(jìn)行加減法運(yùn)算？答案兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a＋bi)±(c＋di)(a±c)＋(b±d)i.思慮2復(fù)數(shù)的加法知足互換律和聯(lián)合律嗎？答案知足．梳理復(fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算法例設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，定義z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.加法運(yùn)算律對(duì)隨意z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義―→―→如圖OZ1，OZ2分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對(duì)應(yīng)．思慮1―→―→―→―→―→―→121212答案―→―→，OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)―→1＋―→2＝(＋，＋)，―→1－―→2＝(－，－)．OZOZacbdOZOZacbd思慮2―→―→―→―→對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是什么？向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2答案(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.梳理復(fù)數(shù)加減法的幾何意義1復(fù)數(shù)加法的復(fù)數(shù)z1＋z2―→―→為鄰邊的平行四邊形的對(duì)是以O(shè)Z1，OZ2幾何意義角線→所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)OZ復(fù)數(shù)減法的復(fù)數(shù)z1－z2―→―→的終點(diǎn)是從向量OZ2的終點(diǎn)指向向量OZ1幾何意義――→所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的向量Z2Z11．兩個(gè)虛數(shù)的和或差可能是實(shí)數(shù)．(√)2．在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時(shí)，實(shí)部與實(shí)部相加得實(shí)部，虛部與虛部相加得虛部．(√)3．復(fù)數(shù)的減法不知足聯(lián)合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不建立．(×)種類一復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算例1(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，復(fù)數(shù)z1＋z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a＝________.(2)已知復(fù)數(shù)z知足|z|i＋z＝1＋3i，則z＝________.答案(1)－1(2)1＋4i3分析(1)z1＋2＝(2＋i)＋(3＋i)＝5＋(a＋1)i，由題意得＋1＝0，則a＝－1.zaa(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝x2＋y2，∴||i＋＝x2＋y2i＋＋i＝＋(x2＋y2＋)izzxyxy1＋3i，x＝1，x＝1，∴解得42＋2＋xyy334z＝1＋i.3反省與感悟(1)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算就是實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減．(2)當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z|與z時(shí)，一般用待定系數(shù)法，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)．追蹤訓(xùn)練1(1)若復(fù)數(shù)z知足z＋i－3＝3－i，則z＝________.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．(3)已知復(fù)數(shù)z知足|z|＋z＝1＋3i，則z＝________.答案(1)6－2i(2)－a＋(4b－3)i(3)－4＋3i2分析(1)∵z＋i－3＝3－i，z＝6－2i.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.(3)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝x2＋y2，∴|z|＋z＝(x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，x2＋y2＋x＝1，∴y＝3，x＝－4，解得y＝3，z＝－4＋3i.種類二復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義例2如下圖，平行四邊形OABC的極點(diǎn)O，A，C分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0，3＋2i，－2＋4i.→→→求：①AO表示的復(fù)數(shù)；②CA表示的復(fù)數(shù)；③OB表示的復(fù)數(shù)．解由于A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i，→→由復(fù)數(shù)的幾何意義知，OA與OC表示的復(fù)數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i.→→→①由于AO＝－OA，所以AO表示的復(fù)數(shù)為－→→→②由于CA＝OA－OC，→所以CA表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)→→→③OB＝OA＋OC，

3－2i.5－2i.→所以O(shè)B表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反省與感悟(1)常用技巧①形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)：利用幾何意義能夠把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)變成復(fù)數(shù)運(yùn)算去辦理．②數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樾危宏P(guān)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也能夠賜予幾何解說，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．常有結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，z1＋z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．①四邊形OACB為平行四邊形．②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形．3③若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形．④若|1|＝|z2|且|z1＋2|＝|z1－2|，則四邊形為正方形．zzzOACB追蹤訓(xùn)練2(1)已知復(fù)平面內(nèi)的平面向量→→2＋i,3→＝OA，AB表示的復(fù)數(shù)分別是－＋2i，則|OB|________.(2)若z1＝2＋i，2＝3＋i，復(fù)數(shù)2－1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是zazz__________．答案(1)10(2)(－∞，1)分析→→→(1)∵OB＝OA＋AB，→＝1＋3i，∴OB表示的復(fù)數(shù)為(－2＋i)＋(3＋2i)→2210.∴||＝1＋3＝OBz2－z1＝1＋(a－1)i，由題意知a－1<0，即a<1.1．已知實(shí)數(shù)x，y知足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，則xy的值是( )A．1B．2C．－2D．－1答案A分析∵(1＋i)x＋(1－i)y＝x＋y＋(x－y)i＝2，x＋y＝2，得x＝y(tǒng)＝1，則xy＝1.∴由x－y＝0，2．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案D分析∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．3．設(shè)z1＝2＋i，z2＝＋i，當(dāng)z1＋2＝0時(shí)，復(fù)數(shù)＋i為( )bazabA．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i答案D2＋＝0，＝－2，∴a＋bi＝－2－i.分析由b＋1＝0，得b＝－144．設(shè)f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于( )A.10B．55C.2D．52考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法例題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用答案D分析由于z1－z2＝5＋5i，所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝52.5．已知復(fù)數(shù)z1＝(2－2)＋(a－4)i，2＝－(a2－2)i(∈R)，且1－2為純虛數(shù)，則a＝azaazz________.答案－1分析22a∈R)為純虛數(shù)，∴a2－a－2＝0，解得a12＝－1.1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法知足互換律、聯(lián)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算．2．復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法例，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法例.一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z知足z＋(－3＋i)＝3－i，則z等于()A．0B．2iC．6D．6－2i答案D分析z＝(3－i)－(－3＋i)＝6－2i.22，若z＋z是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為( )1212A．1B．2C．－2D．－2或1答案C分析z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，5由題意知a2＋a－2＝0，得a＝－2.a2－3a＋2≠0，3．設(shè)復(fù)數(shù)z知足關(guān)系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于()33A．－＋iB.－i4433C．－4－iD.4＋i答案D分析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋|z|＝(＋2＋2)＋i＝2＋i，aabb＋2＋2＝，3a2則ab解得4＝1，bb＝1，3∴z＝4＋i.1z2＝1z1＋z2等于()4．復(fù)數(shù)z1＝2－i，－2i，則2235A．0B.2＋2i5553C.2－2iD.2－2i答案C分析z1＋z2＝2＋1－15522＋2i＝－i.225．在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i→→，－i，2＋i，若AD＝BC，則點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)是()A．1－3iB．－3－iC．3＋5iD．5＋3i答案C分析∵點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i,2＋i，→2＋2i.設(shè)D(x，y)，∴BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為→→，∵AD＝BC，∴(x－1，y－3)＝(2,2)∴x－1＝2，解得x＝3，y－3＝2，y＝5.∴點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為3＋5i.D66．已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如下圖，則復(fù)數(shù)z＋1所對(duì)應(yīng)的向量正確的選項(xiàng)是( )答案A分析由圖知z＝－2＋i，則z＋1＝－1＋i，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，A正確．7．復(fù)數(shù)z＝1＋icosθ，z＝sinθ－i，則|z－z|的最大值為()1212A．3－22B.2－1C．3＋22D.2＋1答案D分析|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|1－sinθ2＋1＋cosθ23＋2cosθ－sinθπ3＋22cosθ＋4.∵cosθ＋π＝1，4max∴|z－z|＝3＋22＝2＋1.12max二、填空題8．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝________.答案3i分析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i為純虛數(shù)，∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．設(shè)z＝z1z2，且z＝13－2i，則z1＝________，z2＝________.答案5－9i－8－7i分析∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，5x－3y＝13，∴x＋4y＝－2，7x＝2，解得y＝－1.z1＝5－9i，z2＝－8－7i.10.如下圖，在復(fù)平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)O，A，B，C恰巧組成平行四邊形，此中O為原點(diǎn)，A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，則zA－zC＝________.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法例題點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法與向量的對(duì)應(yīng)答案2－4i分析→→→由于OA＋OC＝OB，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.由于，∈R，ab4＋＝6，a＝2，所以所以a＋b＝8，b＝6.所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，所以A－C＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.zz三、解答題11．計(jì)算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.12．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知向量→1，→2分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z1＝3＋(10－2)i，2OZOZa＋5az2＋z能夠與隨意實(shí)數(shù)比較大小，求z與z的值．1－a1212解由于z1＋z2能夠與隨意實(shí)數(shù)比較大小，所以z1＋z2∈R.322322z1＋z2＝＋5－(10－a)i＋1－a＋(2a－5)i＝a＋5＋1－a＋(2a＋a－15)i∈R，a8所以

a＋5≠0且1－a≠0，a2＋2a－15＝0，3解得a＝3，所以z1＝8＋i，z2＝－1＋i.→13．已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，→向量BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，求：點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；平行四邊形ABCD的面積．→→解(1)由于向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，→所以向量AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.→→→又OC＝OA＋AC，所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.→→由于AD＝BC，→所以向量AD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，→即AD＝(3，－1)．→設(shè)D(x，y)，則AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，x－2＝3，x＝5，所以解得y＝0.y－1＝－1，所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.→→→→(2)由于BA·BC＝|BA||BC|cosB，→→3－22所以cosB＝BA·BC→||→＝5×10＝10.||BABC2所以sinB＝10.→→72所以S＝|BA||BC|sinB＝5×10×10＝7，所以平行四邊形ABCD的面積為7.四、研究與拓展14．復(fù)數(shù)z＝＋i(x，∈R)知足條件|z－4i|＝|z＋2|，則2x＋4y的最小值為( )xyyA．2B．4C．42D．16答案C9分析∵|z－4i|＝|z＋2|，z＝x＋yi，∴|＋(y－4)i|＝|(x＋2)＋i|，xy∴x2＋y－42＝x＋22＋y2，x＋2y＝3.則2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42.15．會(huì)合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，會(huì)合P＝M∩N.指出會(huì)合P在復(fù)平面上所表示的圖形；求會(huì)合P中復(fù)數(shù)模的最大值和最小值．解(1)由|z－1|≤1可知，會(huì)合