微分方程09615課件

第十二章基本概念一階方程

類型1.可分離變量方程2.齊次方程3.線性方程4.伯努利方程5.全微分方程可降階方程線性微分方程解的結(jié)構(gòu)歐拉方程特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)一階顯示微分方程的初等積分法五種類型：2o齊次方程：準(zhǔn)齊次方程：3o線性方程：通解：——常數(shù)變易公式滿足初始條件y(x0)=y0的特解：4o伯努利方程：黎卡提方程：5o全微分方程：(恰當(dāng))(1)判別法(2)求解法積分因子：為恰當(dāng)方程.①分項(xiàng)組合法②公式法可降階微分方程

1.y(n)=f(x)型的微分方程

令因此即同理可得依次通過(guò)

n

次積分,可得含

n

個(gè)任意常數(shù)的通解.設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解2.y=f(x,y)型的微分方程常系數(shù)線性微分方程(組)的解法1.常系數(shù)齊次線性方程特征方程：特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意：n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).2.常系數(shù)非齊線性方程分析由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知，求(1)的通解的關(guān)鍵是求與(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程(2)的通解Y及(1)的一個(gè)特解y*.二階常系數(shù)非齊次線性方程：對(duì)應(yīng)齊次線性方程:(1)的通解結(jié)構(gòu):如何求(1)的特解？方法：待定系數(shù)法.

k

非特征根0特征單根1特征重根2推導(dǎo)如下：設(shè)非齊次線性方程(1)的特解為x的待定多項(xiàng)式代入方程(1),得綜上所述：注上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(k是重根次數(shù)).=+ik非特征根0特征根1類型2解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換可化為常系數(shù)微分方程.★歐拉方程形如的方程(其中叫歐拉方程.為實(shí)常數(shù))特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．作變量變換將自變量換為二、?？碱}型例1

填空題分析本題并不知具體等于什么，故無(wú)法直接由上式算出y(1).解依題設(shè)，有題型1基礎(chǔ)題可分離變量方程2.解這是齊次方程.代入原方程，得3.————————————.解類似題D________________.解特征方程：特征根：4.______________________,其中C1，C2為任意常數(shù).解5.6.___________________.解特征方程：特征根：__________________________.解特征方程：特征根：7.______________________.___,___,____.解00-1例2選擇題(A)通解(B)特解(C)是解，但即非通解也非特解(D)不是解C解B解A題型2與導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)例3解可分離變量方程類似題對(duì)任意證(1)依題設(shè)，由——

一階非齊次線性方程由常數(shù)變易公式，得解(2)由展開(kāi)式的唯一性，得解關(guān)于y非線性關(guān)于x為線性方程題型3與求導(dǎo)法有關(guān)例4通解：類似題答案：例5解一階非齊次線性方程由常數(shù)變易公式，得類似題解知識(shí)點(diǎn)：①梯度；②散度；③多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；④可降階微分方程.PQR可分離變量方程答案：答案：4.解知識(shí)點(diǎn)：①多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)②二階常系數(shù)齊次線性微分方程將代入例6(03年考研)解(1)代入方程知識(shí)點(diǎn)：①反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法②二階常系數(shù)非齊次線性方程①②②的通解為①代入①，得①類似題(05年考研)解其特征方程為特征根：于是此方程的通解為從而原方程的通解為解一階線性方程題型4與積分法有關(guān)例7例8設(shè)解知識(shí)點(diǎn)：①曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件;②二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.類似題解解xyot1xyo1t例9解知識(shí)點(diǎn)：①曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題；②含參數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.類似題答案：知識(shí)點(diǎn)：①曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題；②伯努利方程.例10解由題設(shè)和高斯公式得題型5解線性方程知識(shí)點(diǎn)：①一階線性微分方程②定積分幾何應(yīng)用——旋轉(zhuǎn)體體積③一元函數(shù)的最值與微積分的幾何應(yīng)用有關(guān)例11例12解知識(shí)點(diǎn)：①重積分的幾何應(yīng)用——曲頂柱體的體積——曲面片的面積②一階可分離變量方程oxyz(截面法)oxyz題型6解知識(shí)點(diǎn)：①原函數(shù)②定積分幾何意義③二階常系數(shù)齊次線性微分方程兩函數(shù)存在某種關(guān)系例13類似題2.答案：題型7與級(jí)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題例14知識(shí)點(diǎn)：①一階非齊次線性微分方程;②冪級(jí)數(shù)求和.解①②∴②的通解為①的特解為代入①，得故①有特解：①的通解為：類似題解2.解線性方程3.解特征方程：特征根：所給方程的通解：4.(07年考研)解(1)(2)依題設(shè)，知解例15(方法1)證(方法2)例16求歐拉方程的