優(yōu)選教案：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)5.1.2 數(shù)列中的遞推

5.1.2數(shù)列中的遞推本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列中的遞推數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫(huà)離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對(duì)深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列遞推公式是學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、表示方法以及分類(lèi)基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)列遞推關(guān)系是研究數(shù)列的一個(gè)重要途徑。數(shù)列的前n項(xiàng)和及前n項(xiàng)和Sn與an.的關(guān)系也是數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容。讓學(xué)生主動(dòng)自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過(guò)程，加深課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.逐步體會(huì)遞推公式是數(shù)列的一種表示方法.B.理解遞推公式的概念及含義,能夠根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).C..理解數(shù)列的前n項(xiàng)和,會(huì)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列遞推公式2.邏輯推理：數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)a4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)列的概念重點(diǎn)：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系難點(diǎn)：用遞推公式解決有關(guān)問(wèn)題、用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)情景導(dǎo)學(xué)問(wèn)題1.如下是某次智力測(cè)試中的一道題，你能做出來(lái)嗎？你能用數(shù)列的語(yǔ)言來(lái)描述有關(guān)問(wèn)題嗎？觀察1，3，

6，10，15，…中數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律，寫(xiě)出第8個(gè)數(shù).如果將給定的數(shù)列記作數(shù)列{an}，那么相當(dāng)于是給出了數(shù)列的前5項(xiàng)，要求寫(xiě)出數(shù)列的第8項(xiàng)a8，因?yàn)閍2-a1=3-1=2a4-a因此，可以猜想，數(shù)列{an}應(yīng)該滿(mǎn)足an+1=aa7a8顯然，上述數(shù)列{an}可以由a1=1，,an+1一、數(shù)列的遞推關(guān)系如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個(gè)公式來(lái)表示,則稱(chēng)這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱(chēng)為遞推公式或遞歸公式).通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系類(lèi)別區(qū)別聯(lián)系通項(xiàng)公式an是序號(hào)n的函數(shù)式an=f(n)都是給出數(shù)列的方法,都可求出數(shù)列中任意一項(xiàng)遞推公式已知a1(或前幾項(xiàng))及相鄰項(xiàng)(或相鄰幾項(xiàng))間的關(guān)系式三、典例解析例1.分別寫(xiě)出下列數(shù)列{an}的一個(gè)遞推關(guān)系，并求出各個(gè)數(shù)列的第，寫(xiě)出數(shù)列的第7項(xiàng)；（1）1,2,4,7,11，…;（2）-1,2,5,8,11，…;（3）1,-2,4,-8,16，….解:（1）因?yàn)閍2-a1=2-1=a4-a所以，a即a從而可知a6a（2）因?yàn)閍2所以，a即a從而可知a（3）因?yàn)閍所以,an+1即a從而可知a由遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)的方法(1)根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng),首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,再依次代入計(jì)算.(2)若知道的是末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式,如an+1=a跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1,以后的各項(xiàng)由公式an+1=2anan+2給出解:∵a1=1,an+1=2anan+2,∴a3=2aa4=2aa5=2a故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1,23例2.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在13世紀(jì)初提出了一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)新生的小兔子2個(gè)月后就長(zhǎng)大成大兔子，且從第3個(gè)月起每個(gè)月都生1對(duì)小兔子，兔子均不死亡.由1對(duì)新生小兔子開(kāi)始，記每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{Fn}，試寫(xiě)出F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，F(xiàn)5，F(xiàn)6以及數(shù)列{Fn}的遞推關(guān)系.解:根據(jù)題意可知，前2個(gè)月內(nèi)，小兔子都還沒(méi)有長(zhǎng)成大兔子，因此F第3個(gè)月時(shí)，第1個(gè)月的那對(duì)小兔子會(huì)生1對(duì)小兔子，因此F第4個(gè)月時(shí)，第1個(gè)月的那對(duì)小兔子會(huì)再生1對(duì)小兔子，因此F第5個(gè)月時(shí)，除了第1個(gè)月的那對(duì)小兔子會(huì)再生1對(duì)小兔子外，第3個(gè)月出生的那對(duì)小兔子也會(huì)生1對(duì)小兔子，因此F第6個(gè)月時(shí)，第1個(gè)月的那對(duì)小兔子、第3個(gè)月出生的小兔子以及第4個(gè)月出生的小兔子，都會(huì)生1對(duì)小兔子，因此F一般地，當(dāng)n應(yīng)該等于第n又因?yàn)榈趎

-2個(gè)月的兔子對(duì)到了第n個(gè)月都能生1F例2中的數(shù)列，通常稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，可以證明，斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8,…的通項(xiàng)公式為F因?yàn)槠渲械模『檬屈S金分割比，所以斐波那契數(shù)列也稱(chēng)為黃金數(shù)列。令人驚奇的是斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，而且自然界中處處都有斐波那契數(shù)列的影子，現(xiàn)代金融技術(shù)分析方法中還有專(zhuān)門(mén)的斐波那契分析法，有興趣的讀者請(qǐng)查閱有關(guān)資料進(jìn)一步了解吧！問(wèn)題2.已知某電子書(shū)，今年上半年每個(gè)月的銷(xiāo)售量構(gòu)成數(shù)列，220，530，950，1360，1820，2350，假設(shè)你是該電子書(shū)的銷(xiāo)售人員，關(guān)于上述數(shù)列除了每一個(gè)數(shù)字的大小和增長(zhǎng)趨勢(shì)外，你還會(huì)關(guān)心什么？作為銷(xiāo)售人員，一般來(lái)說(shuō)還會(huì)關(guān)心上半年電子書(shū)的總銷(xiāo)售量，即220+530+950+1360+1820+2350=7230二、數(shù)列的前n項(xiàng)和一般地,給定數(shù)列{an},稱(chēng)Sn=a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.例如，對(duì)于嘗試與發(fā)現(xiàn)中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，S1=a1=220，S2=a1+a2=220+530=750，S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。問(wèn)題3.已知數(shù)列{an},的前n項(xiàng)和為Sn=2n

你能寫(xiě)出a1，a2，a3嗎？你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎？因?yàn)镾1=2×1+1=3，又因?yàn)镾1=a1，所以a1=3.因?yàn)镾2=2×2+1=5，又因?yàn)镾2=a1+a2,所以a2=因?yàn)镾3=2×3+1=7，又因?yàn)镾3=a1+a2+a3=S2+a3所以，a3=三、an與Sn的關(guān)系一般的如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，那么當(dāng)n≥2Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1Sn=a1+a2+a3+…+an所以Sn=Sn-1+an因此an=S例3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2,

求數(shù)列解：由題意可知當(dāng)n≥2a又因?yàn)?×1-1=1,因此a由Sn求an的方法an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),若a1適合an(n≥2),則用一個(gè)公式表示an,若a1不適合a跟蹤訓(xùn)練2.(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=2n2-3n,求通項(xiàng)an;(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=5n-3,求通項(xiàng)an.分析:利用an=S1(解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2×12-3×1=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.顯然a1=-1也適合n≥2時(shí)的an=4n-5.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-5.(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=51-3=2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,顯然a1=2不適合n≥2時(shí)的an=4×5n-1.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2通過(guò)正具體情境，引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)具體問(wèn)題的思考和分析，幫助學(xué)生觀察、分析、歸納總結(jié)出數(shù)列遞推關(guān)系的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例分析，深化對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系概念的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，引入數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B.an=an-1,a1=1(n≥2)是遞推公式C.給出數(shù)列的方法只有圖像法、列表法、通項(xiàng)公式法D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是遞推公式解析:通過(guò)圖像、列表、通項(xiàng)公式我們可以確定一個(gè)數(shù)列,另外根據(jù)遞推公式和數(shù)列的第一項(xiàng),我們也可以確定數(shù)列.an=an-1(n≥2)與an=2an-1(n≥2),這兩個(gè)關(guān)系式雖然比較特殊,但都表示的是數(shù)列中的任意項(xiàng)與它的前后項(xiàng)間的關(guān)系,且都已知a1,所以都是遞推公式.答案:C2.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出,則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于()A.6 B.7 C.8 D.9解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n3,則a4的值為()A.15 B.37 C.27 D.64解析:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.答案:B4.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,則通項(xiàng)公式an=解析:∵an+1=an+ln1+1∴a2-a1=ln1+11a3-a2=ln1+12=lna4-a3=ln1+13=ln……an-an-1=ln1+1n-1以上(n-1)個(gè)等式相加,得an-a1=ln2+ln32+…+lnnn-1∵a1=2,∴an=2+lnn.∵a1=2+ln1=2,∴{an}的通項(xiàng)公式為2+lnn.答案:2+lnn5.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0,an+1=an+(2n-1),寫(xiě)出它的前5項(xiàng),并歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(n-1)2.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1只有當(dāng)n≥2時(shí)才有意義，所以由Sn求通項(xiàng)公式an＝f(n)時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示．2．要注意通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體的n值，就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)