成信工大氣流體力學(xué)講義00流體力學(xué)基本知識(shí)

1流體力學(xué)基本知識(shí)1流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法有兩種描述流體運(yùn)動(dòng)的方法：Eulerian表述和Lagrangian表述。Eulerian表述：將流體看作一個(gè)在時(shí)空上連續(xù)變化的場(chǎng)，所有物理量都定義為空間x和時(shí)間t的函數(shù)，例如速度場(chǎng)u(x,t)。Lagrangian表述：跟蹤某一個(gè)流體粒子的運(yùn)動(dòng)，所關(guān)心的物理量是該粒子的質(zhì)心位置a和時(shí)間t的函數(shù)，例如粒子的速度v(a,t)。相比于Lagrangian表述，Eulerian表述有很多優(yōu)點(diǎn)：(1)在大多數(shù)理論分析中，采用Eulerian表述更加簡(jiǎn)單明了，特別地，Eulerian表述所關(guān)心的是場(chǎng)量，我們可以利用強(qiáng)大的場(chǎng)論工具對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行分析；(2)流體力學(xué)中的許多試驗(yàn)，諸如風(fēng)洞試驗(yàn)和外場(chǎng)試驗(yàn)，往往比較容易觀測(cè)到的是與流場(chǎng)有關(guān)的物理量。(3)工程上關(guān)心的多是與流場(chǎng)有關(guān)的物理量，如速度、壓力或溫度等物理量的時(shí)空分布，而不去關(guān)心一個(gè)流體粒子的運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)?？紤]到上述因素，在下面的章節(jié)中，除特別說(shuō)明外，均選用Eulerian表述，來(lái)探討流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或者通過(guò)場(chǎng)函數(shù)來(lái)探討流體粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1.2流線為了直觀地描述流體的速度場(chǎng)，我們引入流線的概念。在某一時(shí)刻，如果流場(chǎng)中一條線上任何一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的速度方向平行，這條線稱為流線。流線的方程為：==(1) dxdy==(1)u(x,t)v(x,t)w(x,t).如果已知速度場(chǎng)，對(duì)上式求積分可以求出流線的具體表達(dá)式，注意式中的時(shí)間在求積分時(shí)應(yīng)看作常數(shù)。只有當(dāng)流場(chǎng)平穩(wěn)的時(shí)候，流線與流體粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡才會(huì)重合。另外，流管也是經(jīng)常使用的概念，它是指通過(guò)某一閉合曲線的所有流線組成的幾何體。1.3隨體導(dǎo)數(shù)隨體倒數(shù)建立了Eulerian表述和Lagrangian表述之間的聯(lián)系。下面以速度場(chǎng)為例，給出隨體導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。2如果速度場(chǎng)u(x,t)已知，那么如何根據(jù)速度場(chǎng)求出流體粒子在某一時(shí)刻某一位置的加速度呢？設(shè)流體粒子在t時(shí)刻的位置為x，t+δt時(shí)刻所在的位置為x+uδt。于是流體粒子的速度在時(shí)間t內(nèi)的改變量為：u(x+uδt,t+δt)一u(x,t)=δt尸+u．Vu、+O(δt2).因此，粒子的加速度為：=+u．Vu=+u．Vu.(2)?t?t上述推導(dǎo)可推廣到其它的物理量：已知采用Eulerian表述的物理量θ(x,t)(這個(gè)量可以是標(biāo)量，也可以是矢量)，可以求出流體粒子相應(yīng)的物理量上式中對(duì)流體場(chǎng)θ(x,t)的求導(dǎo)，定義為隨體導(dǎo)數(shù)：=+u．=+u．V.Dt?t1.4連續(xù)性方程連續(xù)性方程又稱質(zhì)量守恒方程?？紤]空間中某一塊具有任意形狀的區(qū)域，單位時(shí)間內(nèi)流入這個(gè)區(qū)域的流體質(zhì)量為：f=一ρu．ndS.式中的積分涵蓋該區(qū)域的整個(gè)表面積，并且根據(jù)Green公式，f=一V．(ρu)dV.另外，單位時(shí)間內(nèi)該區(qū)域中流體質(zhì)量的增加量等于dt上式中的積分是在整個(gè)區(qū)域中進(jìn)行的。如果該區(qū)域內(nèi)不存在任何流體源(比如任何排水管或水泵)的話，f=f=ρdV=一V．(ρu)dV.dt由于積分區(qū)域是任意選取的，去掉積分，我們就可得到連續(xù)性方程：+V．(ρu)=31.5不可壓縮性流體粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果其密度不隨壓力的變化而變化的話，我們就說(shuō)該流體是不可壓縮的。根據(jù)(4)和(5)式，可以用隨體導(dǎo)數(shù)表示表示連續(xù)性方程：+V．u+V．u=0.ρDt由于流體粒子的體積隨時(shí)間的變化率是:lim=limu．lim=limu．ndST→0τdtτ=lim=limV．udV=V．u,(7)因此(6)式的物理意義是：當(dāng)流體粒子質(zhì)量守恒的時(shí)候，流體粒子的體積變化率和密度變化率大小相等，但相差一負(fù)號(hào)，這是很顯然的。當(dāng)流體不可壓縮的時(shí)候，Dρ/Dt=0。根據(jù)(6)式，V．u=0.(8)嚴(yán)格地說(shuō)，現(xiàn)實(shí)世界中所有的流體都是可壓縮的。但是當(dāng)流體滿足下述條件的時(shí)候，可以近似看作是不可壓縮的1：1、如果流體是平穩(wěn)的，流體的速度|u|<c，其中c是聲速；2、如果流體是不平穩(wěn)的，除了條件(1)滿足外，還要求τ>l/c，其中τ和l是流體的速度發(fā)生明顯改變的特征時(shí)間和距離。1.6流函數(shù)如果流體是不可壓縮的或者是可壓縮的平穩(wěn)流，并且流體是二維的或者是軸對(duì)稱的2，那么我們可以引入流函數(shù)，從而將兩個(gè)速度分量的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的求解。首先，討論二維不可壓縮流體的流函數(shù)及其性質(zhì)。對(duì)于不可壓縮的二維流體，連續(xù)性方程為：+=0.+=0.?x?y因此，存在標(biāo)量函數(shù)ψ，其全微分為dψ=udy一vdx。因此，?y??y?x.標(biāo)量函數(shù)ψ(x,y)稱為流函數(shù)。二維不可壓縮流體的流函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1LandauandLifshitz,FluidMechanics,secondedition,p.212二維流體的速度場(chǎng)在直角坐標(biāo)系下可以表示為(u(z,y),u(z,y),0)；標(biāo)(3,r,o)下，其速度場(chǎng)可以表示為(uz(3,r),ur(3,r),uφ(3,r))。軸對(duì)稱的流體在柱坐41、設(shè)P和Q是xy平面內(nèi)任意兩點(diǎn)，ψP和ψQ是這兩點(diǎn)的流函數(shù)，于是：PP一ψQ=(udy一vdx)Q只要積分路徑上每一點(diǎn)都滿足不可壓縮的條件。另外可以證明，通過(guò)積分路徑的面積通量為：PQdlQPQ其中，n是垂直于線元的單位矢量，并且從O往P看，n指向線元的右側(cè)。因此，這說(shuō)明，曲線兩端點(diǎn)的流函數(shù)之差等于單位時(shí)間通過(guò)這條曲線的面積，只要這條曲線上每一點(diǎn)都滿足不可壓縮條件。2、從Q出發(fā)沿不同的路徑到P，如果這兩條路徑上的每點(diǎn)滿足不可壓縮條件，那么這兩條路徑圍起來(lái)的區(qū)域中面積的增加率為：=(udy一vdx)一=(udy一vdx)一(udy一vdx).dtQ1Q2如果這個(gè)區(qū)域中的流體是不可壓縮的，那么dSQP/dt=0，因此：P1P2(udy一vdx)=(udy一vdx).Q1Q2相反地，如果區(qū)域中有部分不可壓縮的流體，上述等式不成立，這樣就會(huì)導(dǎo)致ψP一ψQ有兩個(gè)不同的值，這種情況下的流函數(shù)不再是單值函數(shù)。因此，如果流體中每一點(diǎn)都是不可壓縮的話，流函數(shù)是單值函數(shù)。3、因?yàn)闆](méi)有任何通過(guò)流線的面積通量，所以流線上流函數(shù)處處相等。這個(gè)結(jié)論也可以根據(jù)(10)式和流線方程得到。其次，討論軸對(duì)稱不可壓縮流體的流函數(shù)及其性質(zhì)。對(duì)于軸對(duì)稱不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為：+=0.+=0.?zr?r根據(jù)二維流體的討論，相應(yīng)地我們可以定義流函數(shù)ψ(r,z)，它與速度場(chǎng)的關(guān)系uur=uur=一r?rr?z.在二維流體中，流函數(shù)包含了整個(gè)速度場(chǎng)的信息。而在軸對(duì)稱流體中，根據(jù)流函數(shù)不能求出uá的值。軸對(duì)稱不可壓縮流體的性質(zhì)為：1、設(shè)P和Q是軸平面內(nèi)任意兩點(diǎn)，于是只要積分路徑上每點(diǎn)都不可壓縮：PP一ψQ=r(u之dr一urdz).Q5另外，如果將PQ曲線沿對(duì)稱軸z旋轉(zhuǎn)一圈構(gòu)成閉合曲面，那么流過(guò)這個(gè)閉合曲面的體積流為dVPdtQ=u．ndS=2πr(uzdr一urdtQ因此，以軸平面上兩點(diǎn)之間曲線為母線，繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成閉合曲面，那么在這兩點(diǎn)上的流函數(shù)之差等于通過(guò)閉合曲面的體積通量除以2π。2、相應(yīng)于二維流場(chǎng)，如果流體處處不可壓縮，流函數(shù)為單值函數(shù)。3、如果軸對(duì)稱速度場(chǎng)沒(méi)有φ方向分量，此時(shí)流線上流函數(shù)處處相等，這是因?yàn)闆](méi)有體積通量通過(guò)流管的外壁。1.7流體粒子速度的分解流體粒子的運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)、形變和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，分析如下：設(shè)流體中某一點(diǎn)O的速度為u(x,t)，其附近另一點(diǎn)的速度為u(x+r,t)，r是這一點(diǎn)到O點(diǎn)的矢徑。通過(guò)Taylor展開(kāi)，并保留一階小量，我們有：?xj?xj.ui(x+r,t)=ui(x,t)+δui=ui(x,t)+rj將二階張量分解為對(duì)稱和反對(duì)稱張量:?ui1?ui?uj1?ui?uj?x?ui1?ui?uj1?ui?uj?xj2?xj?xi2?xj?xi其中，對(duì)稱部分用eij表示，反對(duì)稱部分用ξij表示。于是速度增量可以分解為：δui=δu+δu,其中δu=rjeijδu=rjξij.先來(lái)考察對(duì)稱速度增量的物理意義。先將對(duì)稱增量寫(xiě)成下面的形式：?ri,δu=rjeij?ri,其中，Φ=rkrlekl.然后旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)軸與二階張量eij的主軸重合。在新坐標(biāo)系下，Φ=r2ei=(ar2+br2+cr2).并且，二階張量的跡是標(biāo)量，在坐標(biāo)變換時(shí)是不變量：ei=eii=a+b+c.因此，在新坐標(biāo)系下，速度的增量為uarbrcr(11)6根據(jù)(11)式，可以看出:1、平行于主軸的直線，只會(huì)沿主軸被拉伸或壓縮。在每個(gè)主軸方向，其形變速率(單位時(shí)間內(nèi)的形變量除以形變前的長(zhǎng)度)為分別a、b和c。對(duì)于其它方向的直線，除受到拉升或壓縮外，一般還會(huì)向形變速率快的方向旋轉(zhuǎn)。如果a=b=c三k，那么在任何方向的直線都會(huì)沿著自身的方向以相同的速率k伸縮。因此，二階張量eij被稱為形變率張量，其在主軸坐標(biāo)系下的對(duì)角元，決定了與主軸平行的直線的形變速率。2、設(shè)想有一個(gè)球形的流體粒子，受(11)式支配，發(fā)生形變，變成一個(gè)橢球體，橢球體的主軸即為eij的主軸方向。在形變過(guò)程中，主軸方向的直線會(huì)沿著主軸拉升或壓縮，而偏離主軸的直線其在主軸平面上的投影會(huì)向橢圓的長(zhǎng)軸方向移動(dòng)，這就好像氣球在短軸方向受到擠壓，球面上的點(diǎn)向長(zhǎng)軸靠攏。3、對(duì)于不可壓縮流體，V．u=0，因此不可壓縮流體粒子在形變過(guò)程中體積不變，并且eii=0。而對(duì)于可壓縮流體，我們可以將形變率張量分為兩部eij=e+e=eiiδij+尸eij一eiiδij、.很明顯，e表示各向同性的伸縮，e的跡幺=eii=V．u，表示流體粒子在形變中體積的變化率或稱為局域體積變化率，參見(jiàn)(7)式。e的跡等于0，表示等體積的形變。綜上述，δus會(huì)引起流體粒的形變。對(duì)于不可壓縮流體，流體粒子的體積在形變中保持恒定。而對(duì)于可壓縮流體，形變可看作是各向同性形變和等體積形變的疊加，前一種形變會(huì)改變粒子的體積。再來(lái)考察反對(duì)稱速度增量的物理意義。反對(duì)稱張量有三個(gè)獨(dú)立的變量，一般可以寫(xiě)成下面的形式：ξij=一eijkwk.因此，反對(duì)稱速度增量為：δu=eikjwkrj,寫(xiě)成矢量形式：δuà=w×r.(12)根據(jù)(12)式，可以看出：1、剛體的運(yùn)動(dòng)可以分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度：u=wr×r,(13)其中，wr=V×u是剛體的角速度。將(12)式與(13)式進(jìn)行對(duì)比可知：如果扣除形變，流體粒子可看作剛體，反對(duì)稱張量就是剛性流體粒子繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度。相應(yīng)地，流體粒子的角速度為w=(Vr×δuà)，其中w稱為局域渦旋(vorticity)，所謂局域，指的是渦旋與空間坐標(biāo)有關(guān)，整個(gè)流體并不像剛體那樣有相同的渦旋。Vr表示對(duì)矢徑求導(dǎo)。ij(一)，故而w=V√×u,7其中V√表示對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)，于是：V√×u=Vr×δuà三w.(14)上式有什么物理含義呢？根據(jù)Stokes公式，在很小的一塊圓形面積內(nèi)，w．n=[V×u(x)]．ns[V×u(x+r)]．ndS=u(x+r)．dr.其中，a表示這塊圓面的半徑，n表示圓面的法向單位矢量。上面的等式中最左邊w．n表示反對(duì)稱速度增量沿圓面邊界的切向速度(該切向速度在邊界上處處相等)除以半徑a，等式最右邊u(x+r)．dr表示沿著圓面邊界的平均切向速度除以半徑a。因此，(14)式表示：扣除掉平動(dòng)和變形后，流體粒子剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度(也即是反對(duì)稱速度增量)，沿其內(nèi)部某一圓環(huán)的切向分量等于流體粒子的真實(shí)速度(未分解前的速度)沿同一圓環(huán)的切向分量的平均值。為什么會(huì)這樣呢？我們考察一下平動(dòng)和變形就知道：平動(dòng)的切向分量沿著平動(dòng)方向幾乎處處反對(duì)稱(所謂反對(duì)稱，就是繞動(dòng)方向相反，一個(gè)沿逆時(shí)針，另一個(gè)沿順時(shí)針，但兩者大小相等?！皫缀酢北砻髯罡唿c(diǎn)和最低點(diǎn)是例外，兩者切向速度對(duì)稱，但這兩點(diǎn)的貢獻(xiàn)平均后為零)，因而對(duì)平均切向速度沒(méi)有貢獻(xiàn)。另外，變形的切向分量沿著主軸方向反對(duì)稱，也對(duì)平均切向速度沒(méi)有貢獻(xiàn)。最后只剩下反對(duì)稱速度增量或者說(shuō)是流體粒子的剛性線速度對(duì)平均切向速度有貢獻(xiàn)