選修4-5 第二節(jié)證明不等式的基本方法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

第二節(jié)證明不等式的基本方法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1.比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種

作差比較法作商比較法理論依據(jù)a>b______a<b______a=b

______

b>0,>1a>bb<0,>1

a<b

適用類型適用于___________特征的不等式的證明主要適用于積、商、冪、對(duì)數(shù)、根式形式的不等式證明a-b>0a-b<0a-b=0具有多項(xiàng)式2.綜合法和分析法(1)綜合法一般地，從_________出發(fā)，利用_____、公理、_____、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的_____、_____而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫_________或由因?qū)Ч?已知條件定義定理推理論證順推證法(2)分析法證明命題時(shí)，從___________出發(fā)，逐步尋求使它成立的___________，直至所需條件為_________或___________________(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.

要證的結(jié)論充分條件已知條件一個(gè)明顯成立的事實(shí)3.反證法(1)假設(shè)要證的命題_______，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和____________(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明___________，我們把它稱為反證法.(2)證明步驟：反設(shè)→歸謬→肯定原結(jié)論.

不成立命題的條件原命題成立4.放縮法(1)證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值_____或_____，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.(2)理論依據(jù)a＞b,b＞c

a___c.

放大縮?。?.數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：①證明當(dāng)____時(shí)命題成立；②假設(shè)當(dāng)__________________時(shí)命題成立，證明______時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.n=n0n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+1(2)數(shù)學(xué)歸納法的基本過程判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)若>1,則x+2y>x-y.()(2)已知a>b>-1,則()(3)設(shè)t=s=(b>a>0)，則s≥t.()(4)證明可用比較法證明.()(5)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值一定為1.()【解析】(1)錯(cuò)誤.若x-y<0，則有x+2y<x-y.(2)正確.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0,∴(3)錯(cuò)誤.∵b>a>0,∴a-b<0,a(a+1)>0,∴∴s<t.(4)錯(cuò)誤.該不等式無論用作差法還是作商法都不好證明，最好用分析法.(5)錯(cuò)誤.數(shù)學(xué)歸納法中的第一步n的初始值不一定為1，如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,第1個(gè)值n0=3.答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×

考向1比較法證明不等式【典例1】(1)當(dāng)x∈R時(shí)，1+2x4與2x3+x2的大小關(guān)系為_______.(2)已知當(dāng)a,b∈(0,+∞)時(shí)，aabb與的大小關(guān)系為_________.【思路點(diǎn)撥】(1)中兩式作差后可判斷差的符號(hào)，故可利用作差法判斷1+2x4與2x3+x2的大小關(guān)系.(2)中是冪指數(shù)型的代數(shù)式，可利用作商法判斷其大小.【規(guī)范解答】(1)方法一：(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1)=(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+)2+]≥0，∴1+2x4≥2x3+x2.方法二：(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0，∴1+2x4≥2x3+x2.答案：1+2x4≥2x3+x2(2)當(dāng)a=b時(shí)，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，則＞1.當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜＜1，＜0，則＞1.綜上可知，當(dāng)a，b∈(0，+∞)時(shí)，成立.答案：【互動(dòng)探究】本例(2)條件不變，則與abba的大小關(guān)系為____________.【解析】當(dāng)a=b時(shí)，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，0＜＜1，＞0，＜1;當(dāng)b＞a＞0時(shí)，＞1，＜0，＜1，∴≥abba.答案：≥abba【拓展提升】比較法證明不等式的幾點(diǎn)說明(1)一般地，當(dāng)所證不等式的兩邊均為整式(多項(xiàng)式)時(shí)，可考慮用作差比較法.(2)作差比較法證明不等式的一般步驟是作差、變形、判斷符號(hào)、得出結(jié)論.(3)變形整理是關(guān)鍵，變形的目的是為了判斷差的符號(hào)，常用的變形方法有：因式分解、配方、通分、拆項(xiàng)、添項(xiàng)等.(4)作商比較法的一般步驟是：作商、變形、判斷與1的大小關(guān)系,得出結(jié)論.(5)利用作商比較法時(shí)，要注意分母的符號(hào).【提醒】當(dāng)不等式的兩邊為對(duì)數(shù)式時(shí)，可用作商比較法證明，另外，要比較的兩個(gè)代數(shù)式均為正值，且不宜用作差比較法時(shí)，也常用作商比較法.【變式備選】若a,b,m,n都為正實(shí)數(shù)，且m+n=1,則與的大小關(guān)系為___________.【解析】∵()2-()2=ma+nb-m2a-n2b-2mn=m(1-m)a+n(1-n)b-2mn=mna+mnb-2mn=mn(

)2≥0,且

>0,

>0,∴答案：考向2綜合法與分析法的應(yīng)用【典例2】(1)已知a+b+c=1,則ab+bc+ca的最大值為______.(2)已知x>0,y>0,設(shè)則s與t的大小關(guān)系為____________.【思路點(diǎn)撥】(1)已知條件是a，b，c和的形式，可考慮將已知條件兩邊平方然后結(jié)合基本不等式求解.(2)可先采取特殊法比較s與t的大小關(guān)系，然后去證明.【規(guī)范解答】(1)由a+b+c=1得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca),∴ab+bc+ca≤當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.答案：(2)令x=y=1,則由y=2x在R上為增函數(shù)，∴猜想s>t，證明如下：要證明只需證明(x2+y2)3>(x3+y3)2，即證x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6，即證3x4y2+3x2y4>2x3y3.∵x>0,y>0,∴x2y2>0,即證3x2+3y2>2xy.∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,∴3x2+3y2>2xy成立,∴即s>t.答案：s>t【拓展提升】1.綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.(2)綜合法證明不等式所依賴的已知不等式主要有如下幾個(gè)：①a2≥0(a∈R).②(a-b)2≥0(a,b∈R),其變形有：a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥(a+b)2.③若a,b為正實(shí)數(shù)，特別

④a2+b2+c2≥ab+bc+ca.2.分析法證明不等式的思路用分析法證明不等式，是從要證的不等式著手，逐步推求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知正確的不等式或?yàn)橐阎獥l件，是一種執(zhí)果索因的思考方法和證明方法.【提醒】分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆.【變式訓(xùn)練】(1)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1，則的最小值為______.【解析】當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.同理當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.又a+b+c=1,∴≥1.答案：1(2)已知a>0,設(shè)n=a+-2，則m與n的大小關(guān)系為____________.【解析】當(dāng)a=1時(shí)，m=0,n=0,m=n.當(dāng)a=2時(shí)，m=n=∴m>n.猜想：m≥n.證明：要證原不等式成立，只需證即證：只需證：即證：只需證：由基本不等式知故上式顯然成立，∴原不等式成立，即m≥n.答案：m≥n考向3反證法與放縮法的應(yīng)用【典例3】在下列空白處填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào):(1)若函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a，b∈R，則當(dāng)f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)時(shí)，a+b______0(填“≥”或“≤”).(2)_______2.【思路點(diǎn)撥】(1)利用反證法求解.(2)由于有n項(xiàng)，直接求和不可能，故可利用放縮法解決.【規(guī)范解答】(1)假設(shè)a+b＜0，則a＜-b,b＜-a.又f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)，則f(a)＜f(-b),f(b)＜f(-a).兩式相加得f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b).這與已知條件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,故a+b≥0.(2)∵∴==2-＜2.答案：(1)≥(2)＜【拓展提升】1.反證法的應(yīng)用技巧(1)當(dāng)要證明的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論很困難時(shí),常用反證法.(2)如果從正面入手證明需分多種情況進(jìn)行分類討論,而從反面進(jìn)行證明,只需研究一種或很少的幾種情況的不等式時(shí),常用反證法.2.用放縮法證明不等式的常用方法(1)添加或舍去一些項(xiàng).(2)將分子或分母放大(或縮小).(3)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì):若0＜a＜b,m＞0，則(4)利用基本不等式.(5)利用函數(shù)的單調(diào)性.(6)絕對(duì)值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【變式訓(xùn)練】若n＞1，且n∈N+，則下列兩式的大小關(guān)系為:______【解析】∵∴＞=答案：＞考向4數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用【典例4】若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)-f(k)的值為______.【思路點(diǎn)撥】明確f(n)中各項(xiàng)特點(diǎn)，正確寫出f(k),f(k+1),觀察f(k+1)與f(k)的差異，然后寫出結(jié)果.【規(guī)范解答】∵f(k)=12+22+…+(2k