多元函數(shù)的極值算法比較與應(yīng)用

多元函數(shù)的極值算法比較與應(yīng)用第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四一、研究意義任何現(xiàn)象都體現(xiàn)著質(zhì)與量的辯證統(tǒng)一.要研究現(xiàn)象的本質(zhì)，必須進(jìn)行嚴(yán)格的定性分析與定量分析.定量分析離開數(shù)學(xué)就無法進(jìn)行.數(shù)學(xué)的應(yīng)用貫穿到人類文明的發(fā)展進(jìn)程中.從古代的結(jié)繩記數(shù)、丈量土地，到如今的存款利率、國民收入等諸多方面.今日，數(shù)學(xué)的發(fā)展水平及其在社會經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用程度，已經(jīng)是一個國家綜合實(shí)力的重要指標(biāo).數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要方面便是極值問題.極值作為函數(shù)性態(tài)的重要特征，也得到了充分而系統(tǒng)的研究.上個世紀(jì)初期，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們在對獨(dú)立同分布隨機(jī)變量最大值的漸近分布進(jìn)行研究時提出了極值理論.近年來，諸如恐怖事件、金融風(fēng)暴、特大自然災(zāi)害之類的事件頻頻發(fā)生，極值問題的研究得到了進(jìn)一步的關(guān)注.第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四二、研究現(xiàn)狀多元函數(shù)的條件極值是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，它的一般求解方法為拉格朗日乘數(shù)法.然而，在實(shí)際解題過程中，往往比較繁瑣，國內(nèi)現(xiàn)行教材對此缺乏相關(guān)論述，各類文獻(xiàn)對這個問題的研究也是分散的、不系統(tǒng)的.因此，有必要給出更多的求多元函數(shù)條件極值的方法并比較適用的條件及難易程度，以便在求解類似的問題時選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ奖銘?yīng)用與現(xiàn)實(shí)生活中.第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1、引言論文結(jié)構(gòu)2、函數(shù)極值理論及極值解法3、多元函數(shù)極值的應(yīng)用4、總結(jié)5、參考文獻(xiàn)6、致謝第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四四、研究內(nèi)容

（一）多元函數(shù)極值及解法定義設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)又定義，如果對該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn)都有或

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值(或極小值).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1代入消元法

通過一個量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡單的條件極值問題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無條件極值來解決.

第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.

求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣

的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.

首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo)，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.

第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四3標(biāo)準(zhǔn)量代換法

求某些有多個變量的條件極值時,我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個變量之和的形式,一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四4不等式法

（1）利用均值不等式

均值不等式是常用的不等式，其形式為，

這里，且等號成立的充分條件是.

（2）利用柯西不等式

柯西不等式：對于任意實(shí)數(shù)和，總有,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)與對應(yīng)成比例時，等號成立.運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn)

而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四5二次方程判別式符號法

求有些含多個變量目標(biāo)函數(shù)的極值時，我們可以反復(fù)轉(zhuǎn)化為求關(guān)于某個變量的二次方程，然后考慮方程有實(shí)數(shù)解判別式滿足的條件解決目標(biāo)函數(shù)的極值問題。第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四6梯度法

用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時組限制下的極值，方程組

的解,就是所求極值問題的可能極值點(diǎn).其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，

表示條件函數(shù)的梯度向量

第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四7數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值.第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四（二）多元函數(shù)極值的應(yīng)用

1不等式證明某些給定范圍內(nèi)的單向不等式，可以轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的最值來求解，而多元函數(shù)的最值又可以通過求極值的方法來解決第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2物理學(xué)中光的折射定律證明

利用極值證明光的折射定律是物理學(xué)中的典型應(yīng)用，將光的傳播問題轉(zhuǎn)化為條件極值問題，運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求極值簡單易解決。第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四3生產(chǎn)銷售

在生產(chǎn)和銷售商品的過程中，銷售價格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤增加，但同時也使消費(fèi)者的購買欲望下降，造成銷售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價是相互影響的.廠家要選擇合理的銷售價格才能獲得最大利潤.第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)本文討論了多元函數(shù)的極值問題。.首先我們給出多元函數(shù)極值的理論概述。然后介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法，一般我們是運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法，但在實(shí)際解題過程中都比較繁瑣，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.都可以簡捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問題時，我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最合適的解題