成信工統(tǒng)計(jì)天氣預(yù)報(bào)課件第9章-譜分析

第九章譜分析一·譜及譜分析的概念二·功率譜三·功率譜的估計(jì)四·利用功率譜做周期分析五·濾波六·譜分析應(yīng)用及發(fā)展一·譜及譜分析的概念1·譜分析

即時(shí)間序列在頻域上進(jìn)行分析，亦稱頻譜分析或波譜分析，可以針對(duì)時(shí)間序列或空間序列的波動(dòng)進(jìn)行分析。（本章僅討論時(shí)間序列）2·離散譜或線譜3·連續(xù)譜2·離散譜或線譜對(duì)任一的周期變化的時(shí)間函數(shù)，在滿足狄氏條件下，可展成如下的級(jí)數(shù)

2·離散譜或者線譜

意義：可見，一般的時(shí)間函數(shù)可看成由無(wú)窮個(gè)不同頻率的振動(dòng)波疊加而成，實(shí)際分析中對(duì)這些振動(dòng)波的振幅及位相的了解十分重要。

2·離散譜或者線譜利用尤拉公式2·離散譜或者線譜2·離散譜或者線譜

稱為的復(fù)譜

用K為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)作圖，這種圖稱為振幅譜圖或位相譜圖又由于K是整數(shù)，譜圖上的期限是不連續(xù)的，稱這種譜為離散譜或線譜。3·連續(xù)譜

兩邊乘并在周期T上積分有考察無(wú)限時(shí)間序列中各種頻率結(jié)構(gòu)

3·連續(xù)譜代入有當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)為0第二項(xiàng)中或者3·連續(xù)譜3·連續(xù)譜則有又有利用Euler公式3·連續(xù)譜則再令則有3·連續(xù)譜

稱為時(shí)間函數(shù)的譜是復(fù)數(shù)，也可表示為稱為連續(xù)振幅譜，稱為相應(yīng)的位相譜而復(fù)譜可見，離散譜與連續(xù)譜具有相同的特點(diǎn)二·功率譜1·概念引出當(dāng)電阻為1個(gè)單位，瞬時(shí)電壓為則瞬時(shí)功率為總能量為此式也可表數(shù)學(xué)期望為0的的方差，按前述觀點(diǎn)總能量或總方差可以分解為各波動(dòng)的部分能量或方差之和。功率譜分析即是如此。2·離散的功率譜表示3·連續(xù)的功率譜2·離散的功率譜表示

同周期T2·離散的功率譜表示由于負(fù)波數(shù)的復(fù)譜就等于正波數(shù)復(fù)譜的共軛即則有在某時(shí)間段T上取則有其中2·離散的功率譜表示又由于振幅譜與相同不妨集中表示在的譜圖上，故令稱為離散功率譜3·連續(xù)的功率譜為了解連續(xù)頻率對(duì)應(yīng)的振動(dòng)波的方差貢獻(xiàn)，利用3·連續(xù)的功率譜稱為功率譜密度或證為三·功率譜的估計(jì)1·離散功率譜的估計(jì)對(duì)于實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列現(xiàn)實(shí)（1）計(jì)算不同波數(shù)K的傅氏系數(shù)估計(jì)其中K的取值為[]表示取整數(shù)部分1·離散功率譜的估計(jì)

（2）計(jì)算不同波數(shù)K的功率譜值（3）波數(shù)為橫軸，離散功率譜估計(jì)值為縱坐標(biāo)做譜圖。在橫坐標(biāo)上通常也標(biāo)上對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期值或頻率值。2·連續(xù)功率譜的估計(jì)通過(guò)時(shí)間函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)作間接估計(jì)（1）自相關(guān)函數(shù)表示的連續(xù)功率譜為標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間函數(shù)即數(shù)學(xué)期望為0方差為1則自相關(guān)函數(shù)2·連續(xù)功率譜的估計(jì)利用傅里葉反變換展開有為奇函數(shù)，具有反對(duì)稱性為偶函數(shù),具有對(duì)稱性，加上平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，也是偶函數(shù)，也有對(duì)稱性。上式容易變成可見，連續(xù)功率譜函數(shù)在正負(fù)半軸上對(duì)稱，因而類似離散譜做法，只給出正半軸的連續(xù)功率譜即可。2·連續(xù)功率譜的估計(jì)（2）連續(xù)功率譜的估計(jì)步驟1）計(jì)算樣本落后自相關(guān)系數(shù)為最大步長(zhǎng)，或最大落后時(shí)間長(zhǎng)度。2）求粗譜估計(jì)利用近似積分中的梯形公式

K最大可取令3）計(jì)算平滑功率譜2·連續(xù)功率譜的估計(jì)可用平滑公式設(shè)計(jì)一個(gè)窗函數(shù)則譜估計(jì)公式可寫為另外，為保持權(quán)重一致，端點(diǎn)也還要乘上0.5，在此，計(jì)算平滑功率譜密度估計(jì)公式式中2·連續(xù)功率譜的估計(jì)4）做譜圖以波數(shù)為橫軸，平滑功率譜密度估計(jì)值為縱坐標(biāo)作圖其中波數(shù)與周期關(guān)系四·利用功率譜做周期分析1·利用功率譜圖顯示的不同頻率振動(dòng)的功率大小就可以確認(rèn)主要振動(dòng)及其對(duì)應(yīng)的周期但是，由此確認(rèn)的周期是否有統(tǒng)計(jì)意義，還需要做顯著性檢驗(yàn)。四·利用功率譜做周期分析2·離散功率譜檢驗(yàn)∵的總方差可以分解為個(gè)波動(dòng)方差之和∴可利用方差檢驗(yàn)的方法假設(shè)統(tǒng)計(jì)量其中為原序列方差顯著反之不顯著四·利用功率譜做周期分析3·連續(xù)功率譜檢驗(yàn)（1）連續(xù)功率譜檢驗(yàn)基本思路與非周期性隨機(jī)過(guò)程比較來(lái)進(jìn)行非周期性隨機(jī)過(guò)程：一般指兩種過(guò)程，白色噪音過(guò)程和紅色噪音過(guò)程。這里的比較過(guò)程可通過(guò)譜曲線進(jìn)行。四·利用功率譜做周期分析（2）紅色噪音過(guò)程的功率譜紅色噪音過(guò)程即是一階馬爾柯夫過(guò)程或一個(gè)自回歸模型?！嗉t色噪音功率譜為四·利用功率譜做周期分析上面求和式展開可由三部分組成。當(dāng)有當(dāng)有當(dāng)有四·利用功率譜做周期分析將上三部分帶回原式四·利用功率譜做周期分析可見，紅噪音譜在有其最大值，即只有線性直線趨勢(shì)而無(wú)其他周期振蕩。（3）白色噪音過(guò)程功率譜白噪音：自協(xié)方差可見，白色噪音過(guò)程是另一種周期過(guò)程（4）顯著性檢驗(yàn)五濾波1·問(wèn)題的提出2·濾波方法的基本思想3·低通過(guò)濾4·高通過(guò)濾5·帶通過(guò)濾1·問(wèn)題的提出

在前述的譜和功率譜的討論中，我們可以概括功率譜圖上現(xiàn)實(shí)的不同頻率振動(dòng)的功率大小,（也即方差貢獻(xiàn)的大小）即譜值最大來(lái)確認(rèn)主要振動(dòng)及其相應(yīng)的主要周期；并通過(guò)顯著性檢驗(yàn)來(lái)確認(rèn)顯著性主要周期的存在，從而獲得時(shí)間序列中的主要周期信息。然而，在氣象要素的譜分析過(guò)程中，一些規(guī)則周期占有很大的分量，例如月均序列分析中，年變化的周期一定是主要周期，當(dāng)這種周期確實(shí)眾所周知的，它的存在，壓低了其他周期的表示，一旦把它去掉，則可突出的表現(xiàn)其他周期的成分，這在實(shí)際的氣象分析和研究工作中都是很有意義的需求。1·問(wèn)題的提出那么如何突出提取和某些需要的周期成分？解決辦法:濾波（1）含義：去掉某些周期成分，突出所需的周期成分（2）方法：實(shí)際上是將原來(lái)序列經(jīng)過(guò)一定的變換轉(zhuǎn)化為另一序列（的過(guò)程）這個(gè)過(guò)程通常稱為濾波過(guò)程。2·濾波方法的基本思想要求:過(guò)濾器系統(tǒng)具有時(shí)間不變性和穩(wěn)定性，如果用一脈沖函數(shù)作為輸入，其輸出記為稱為脈沖響應(yīng)。對(duì)任意輸入函數(shù)，可表示成無(wú)窮脈沖的積分形式根據(jù)線性和時(shí)間不變性的要求，輸出亦可表示成無(wú)窮脈沖響應(yīng)的積分形式據(jù)前述復(fù)譜的概念稱脈沖函數(shù)的譜為頻率響應(yīng)，記為輸入的譜記為輸出的譜記為2·濾波方法的基本思想由功率譜公式故輸出的功率譜為可見通常對(duì)某一頻率的振動(dòng)，通過(guò)過(guò)濾后，其方差有所削弱，其削減量是輸入與輸出的功率譜比值即3·低通過(guò)濾（1）含義：使過(guò)濾后的序列主要含低頻振動(dòng)分量的過(guò)濾稱為低通濾波。（2）方法一：滑動(dòng)平均方法令則輸出函數(shù)為取截?cái)嗷瑒?dòng)長(zhǎng)度為k,有其中稱為滑動(dòng)權(quán)重系數(shù)，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，要求例如間隔時(shí)間取3點(diǎn)，5點(diǎn)……滑動(dòng)平均（并取等權(quán)重，如）2.56.70.39.81.23.56.04.37.13·低通過(guò)濾頻率響應(yīng)對(duì)過(guò)濾后的序列

不同頻率方差削弱的考慮，利用

的譜的表示，寫成離散形式對(duì)一般的等權(quán)重過(guò)程，若取間隔時(shí)間

則（對(duì)以年為時(shí)間間隔的氣象序列，這種過(guò)程稱為m年滑動(dòng)平均）3·低通過(guò)濾

下面考察這種過(guò)程對(duì)原序列所含的各種周期振動(dòng)的影響其中當(dāng)

足夠小時(shí)，近似有

故3·低通過(guò)濾討論：在通常的滑動(dòng)平均中對(duì)于無(wú)窮大周期即低頻，頻率響應(yīng)為表示過(guò)濾后無(wú)任何削弱低頻無(wú)影響對(duì)于周期等于滑動(dòng)間隔為m的周期振動(dòng)，即則表示這種周期振動(dòng)全部削弱，而周期振動(dòng)也全部削弱。對(duì)于大于m的周期其總是小于1，這類周期有不同程度的方差或振幅削弱，周期越大，削弱程度越小。3·低通過(guò)濾（3）方法二：二項(xiàng)系數(shù)滑動(dòng)方法：在滑動(dòng)間隔m內(nèi)，滑動(dòng)步長(zhǎng)與

的關(guān)系當(dāng)m=3時(shí)，k=1,二項(xiàng)系數(shù)

為1,2,1.故權(quán)重系數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)

之間當(dāng)時(shí)，有極大值低頻保留大當(dāng)時(shí)，有極小值高頻削弱大4·高通過(guò)濾（1）含義：使過(guò)濾后的序列主要含高頻振動(dòng)的分量（2）一階差分過(guò)濾（3）q階差分過(guò)濾利用后移算子B的形式有一階q階設(shè)B的多項(xiàng)式為則4·高通過(guò)濾（4）q階差分過(guò)濾的頻率響應(yīng)由于關(guān)于y落后k的自相關(guān)函數(shù)可表示為則功率譜4·高通過(guò)濾4·高通過(guò)濾即頻率響應(yīng)取其實(shí)部有可見，對(duì)于高頻振動(dòng)，無(wú)削弱對(duì)于低頻振動(dòng)，完全削弱階數(shù)愈高，削弱速度愈快，過(guò)濾效果愈好。5·帶通過(guò)濾（1）含義：使過(guò)濾后的序列主要含某一感興趣的頻帶的振動(dòng)。（2）方法一：用兩個(gè)簡(jiǎn)單的低通（或高通）濾波器來(lái)構(gòu)成一個(gè)帶通濾波器例子：5年滑動(dòng)平均濾掉5年一下的波

9年滑動(dòng)平均濾掉9年一下的波兩個(gè)過(guò)濾后的序列相減，可得到5~9年周期波動(dòng)的序列。5·帶通過(guò)濾方法：第一次第二次則頻率響應(yīng)函數(shù)缺陷：效果不理想，對(duì)感興趣頻帶有較大削弱5·帶通過(guò)濾（3）方法二：理想帶通濾波器設(shè)計(jì)思想：過(guò)濾出中心頻率頻率帶范圍內(nèi)的序列，希望頻率振動(dòng)無(wú)任何削弱，不在頻帶內(nèi)的振動(dòng)削弱為0.方法：相應(yīng)的頻率響應(yīng)分段設(shè)計(jì)5·帶通過(guò)濾例如設(shè)計(jì)11年周期，即的