誤差分布與精度指標(biāo)

第二章誤差分布與精度指標(biāo)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院游為Mobile-phone-mail：youwei1985@引言測(cè)量平差的基本任務(wù)：處理……，求出……，評(píng)定……。解決上述問題的基礎(chǔ)：誤差理論研究?jī)?nèi)容：偶然誤差的分布特性、衡量精度的指標(biāo)隨機(jī)變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量就單個(gè)誤差而言，其數(shù)值的符號(hào)和大小均是偶然的、隨機(jī)的、無(wú)規(guī)律的，但就大量的偶然誤差而言，則又具有一定的規(guī)律性，故稱統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，將具有上述特征的變量稱為隨機(jī)變量。試驗(yàn)中的每一個(gè)變量X都有各自不同的取值和概率，但試驗(yàn)前卻不能預(yù)知X會(huì)取哪個(gè)值。上講課復(fù)習(xí)觀測(cè)條件觀測(cè)誤差分類測(cè)量平差的基本任務(wù)經(jīng)典測(cè)量平差與近代測(cè)量平差的主要區(qū)別超定方程組、欠定（不定）方程組、恰定（適定）方程組數(shù)學(xué)期望定義：隨機(jī)變量取值的概率平均值。離散型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：

為概率分布密度函數(shù)，反映隨機(jī)變量落在某指定范圍內(nèi)的概率，即：性質(zhì)：方差方差：隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望，即離散型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：性質(zhì)：??協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義：描述兩隨機(jī)變量的相關(guān)程度。當(dāng)協(xié)方差為0時(shí)，表示這兩個(gè)隨機(jī)變量互不相關(guān)；如果協(xié)方差不為0，則表示它們是相關(guān)的。相關(guān)系數(shù)定義：兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)兩隨機(jī)變量不相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)及協(xié)方差為0。對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，“不相關(guān)”與“獨(dú)立”等價(jià)。相關(guān)系數(shù)取值范圍正相關(guān)，負(fù)相關(guān)完全正相關(guān)(1)、完全負(fù)相關(guān)(-1)矩隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩：數(shù)學(xué)期望為一階原點(diǎn)矩：隨機(jī)變量X的k階中心矩：方差為二階中心距：對(duì)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，矩是其最廣泛、最常用的數(shù)字特征，主要有中心矩和原點(diǎn)矩。為什么說(shuō)正態(tài)分布是很重要的分布？實(shí)際觀測(cè)量不可避免受到許多偶然因素的影響，如果每一個(gè)偶然因素對(duì)其總和的影響都是均勻的小，沒有一個(gè)比其它因素占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，則其總和就是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。許多種分布都是以正態(tài)分布為其極限分布的?？梢?，正態(tài)分布是一種最常見的概率分布，是處理觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)。一維正態(tài)(高斯)分布服從正態(tài)分布的一維隨機(jī)變量X的概率密度為：概率密度函數(shù)性質(zhì)：??正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望正態(tài)分布方差分部積分洛必達(dá)法則高斯積分若某一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則由數(shù)字特征就可決定它的分布律。正態(tài)分布概率計(jì)算當(dāng)期望為0，方差為1時(shí)，正態(tài)分布就稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；期望決定了隨機(jī)變量的位置，方差決定了分布的幅度或離散程度。n維正態(tài)分布若隨機(jī)向量服從正態(tài)分布，則稱之為n維正態(tài)隨機(jī)向量。聯(lián)合概率密度：方差-協(xié)方差陣偶然誤差真值：任何一個(gè)觀測(cè)量，客觀上存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值。從概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看，當(dāng)觀測(cè)量?jī)H含有偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望就是它的真值。真誤差(有時(shí)簡(jiǎn)稱為誤差)：誤差向量：當(dāng)觀測(cè)值不含有系統(tǒng)誤差和粗差時(shí)，真誤差僅僅是指偶然誤差：偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性就單個(gè)偶然誤差而言，其大小和符號(hào)沒有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性或隨機(jī)性，但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。尋找偶然誤差統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的方法：統(tǒng)計(jì)表直方圖誤差分布曲線偶然誤差統(tǒng)計(jì)表例1：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和應(yīng)為180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495誤差分布直方圖及誤差分布曲線(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+…..=1鐘形曲線、鐘形分布偶然誤差特性有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，即超過(guò)一定限值的偶然誤差出現(xiàn)的概率為零聚中性：絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值較大的偶然誤差出現(xiàn)的概率大；對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的概率相同；抵償性：偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即：例2：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了421個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501偶然誤差概率密度函數(shù)頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫軸間總面積為1，中誤差越小，分布越集中在縱軸附近。精度定義：誤差分布的密集或離散的程度，也就是指離散度的大小。相同觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，每一個(gè)觀測(cè)值都稱為是同精度觀測(cè)值。一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測(cè)值精度相同。不同組觀測(cè)值分布不同，精度也就不同。一組觀測(cè)值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。精度不代表個(gè)別誤差的大小,反映的是一組觀測(cè)值的觀測(cè)質(zhì)量的好壞。衡量精度的指標(biāo)-方差和中誤差隨機(jī)變量方差：偶然誤差方差：偶然誤差中誤差：不同中誤差對(duì)應(yīng)著不同形狀的分布曲線，中誤差越小，曲線越為陡峭，中誤差越大，曲線越為平緩。正態(tài)分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)：數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，一般稱標(biāo)準(zhǔn)差(Standarddeviation，std)；測(cè)量工作中，一般稱中誤差。中誤差恒取正號(hào)隨機(jī)變量方差與偶然誤差方差是否相等？離散型隨機(jī)變量中誤差若相同觀測(cè)條件下得到一組獨(dú)立的觀測(cè)誤差：對(duì)于有限個(gè)觀測(cè)值，只能求方差和中誤差的估值：衡量精度指標(biāo)-平均誤差定義：在一定觀測(cè)條件下一組獨(dú)立的偶然誤差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望，即：若在相同條件下得到一組獨(dú)立的觀測(cè)誤差，則：平均誤差與中誤差的關(guān)系：衡量精度指標(biāo)-或然誤差或然誤差的定義是：誤差出現(xiàn)在之間的概率等于1/2，即：1/41/41/20幾點(diǎn)結(jié)論中誤差、平均誤差、或然誤差都可以作為衡量精度的指標(biāo)。由于n有限，只能分別求得它們的估值，與理論值有一定的差異。如果n很小，求出來(lái)的估值是不可靠的。中誤差比平均誤差、或然誤差能更靈敏地反映大的真誤差的影響。世界各國(guó)在實(shí)用上都是采用中誤差作為精度指標(biāo)。衡量精度指標(biāo)-極限誤差中誤差不是代表個(gè)別誤差大小，而是代表一組同精度觀測(cè)誤差平方的平均值的平方根，代表誤差分布的離散度大小。中誤差越小，表示絕對(duì)值較小的誤差越多。通常以2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差，即：高速鐵路工程測(cè)量規(guī)范(2009)：1.0.11測(cè)量精度應(yīng)以中誤差衡量。極限誤差(限差)規(guī)定為中誤差的2倍。中誤差完整統(tǒng)計(jì)意義：1離散度大小，2對(duì)真誤差作出區(qū)間估計(jì)置信概率衡量精度指標(biāo)-相對(duì)誤差分別丈量了1000m及80m的兩段距離，觀測(cè)值中誤差均為2cm，哪一段精度更高？相對(duì)中誤差：中誤差與觀測(cè)值之比。相對(duì)中誤差是個(gè)無(wú)名數(shù)，相對(duì)中誤差越小，精度更高。相對(duì)真誤差、相對(duì)極限誤差真誤差、中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差稱為絕對(duì)誤差分別測(cè)量90°和180°的兩個(gè)水平角，觀測(cè)值中誤差均為2”，哪一個(gè)水平角精度更高？再論精度精度表征各觀測(cè)結(jié)果相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散(接近)程度。當(dāng)觀測(cè)僅含偶然誤差時(shí)，精度描述觀測(cè)列與真值接近程度。當(dāng)觀測(cè)除含偶然誤差外，還包含系統(tǒng)誤差或粗差時(shí)，精度僅表征各觀測(cè)結(jié)果相對(duì)于數(shù)學(xué)期望，而不是真值的離散程度。n維隨機(jī)向量的精度指標(biāo)方差-協(xié)方差陣(簡(jiǎn)稱方差陣或協(xié)方差陣)：主對(duì)角線？非對(duì)角線？特點(diǎn)：對(duì)稱，正定，互不相關(guān)時(shí)為對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素相等時(shí)為等精度觀測(cè)?；f(xié)方差陣當(dāng)X,Y的維數(shù)都為1時(shí)，互協(xié)方差陣就是X關(guān)于Y的協(xié)方差。若互協(xié)方差陣為0，則稱X與Y是相互獨(dú)立的觀測(cè)向量。方差是方差陣的特例協(xié)方差是互協(xié)方差陣的特例方差是協(xié)方差的特例準(zhǔn)確度(準(zhǔn)度)定義：隨機(jī)變量的真值與其數(shù)學(xué)期望之差，即：當(dāng)僅存在偶然誤差時(shí)：當(dāng)存在系統(tǒng)誤差和偶然誤差時(shí)：意義：準(zhǔn)確度表征觀測(cè)結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度。數(shù)學(xué)期望的真誤差精確度定義：觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度，包括觀測(cè)結(jié)果與其數(shù)學(xué)期望接近程度和數(shù)學(xué)期望與其真值的偏差，是精度和準(zhǔn)確度的合成。衡量指標(biāo)：當(dāng)僅含偶然誤差時(shí)：對(duì)于隨機(jī)向量而言：注意與RMS的區(qū)別上講課復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征偶然誤差的定義、性質(zhì)、概率密度函數(shù)精度定義、衡量精度的指標(biāo)n維隨機(jī)向量的精度指標(biāo)精度、準(zhǔn)確度、精確度區(qū)別MSE、RMSE、RMS區(qū)別精度、準(zhǔn)確度、精確度比較意義表征指標(biāo)精度觀測(cè)值與數(shù)學(xué)期望的接近程度方差、中誤差準(zhǔn)確度數(shù)學(xué)期望與真值的接近程度偏差精確度觀測(cè)值與真值的接近程度均方誤差當(dāng)觀測(cè)值不含粗差和系統(tǒng)誤差時(shí)，精度和精確度一致。精度、準(zhǔn)確度、精確度比較PrecisionAccuracyExactness測(cè)量不確定度定義：不確定性(不能肯定)的程度，表明該結(jié)果的可信賴程度。是度量不確定性的一種指標(biāo)。觀測(cè)值不確定度利用觀測(cè)值真誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界來(lái)表征，即：不確定性的基本尺度仍然是中誤差，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。一般在一定的置信概率下，對(duì)不確定度進(jìn)行估計(jì)：不確定度評(píng)定的關(guān)鍵是要已知觀測(cè)值的概率分布。練習(xí)題求隨機(jī)變量的期望和方差。設(shè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的均值。在某儀器檢定場(chǎng)，基線的長(zhǎng)度是500米，為鑒定某臺(tái)測(cè)距儀的精度，對(duì)基線觀測(cè)了十次，得觀測(cè)值500.010499.992499.998500.005499.987500.002500.009499.999499.993500.003，試求該儀器的精度。設(shè)在一個(gè)由n個(gè)三角形組成的三角鎖中，以同精度觀測(cè)了每個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，分別為可得n個(gè)三角形的閉合差為試求閉合差的中誤差。練習(xí)題對(duì)真值為的一段距離以相同的方法進(jìn)行了10次獨(dú)立地觀測(cè)，得到的觀測(cè)值見下表。試求該組觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差，中誤差，均方誤差。12345678910100.023100.015100.017100.016100.024100.023100.0