第36講 空間向量及其應(yīng)用

高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第三十六講一空間向量及其應(yīng)用一.知識(shí)整合：空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量。說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示；②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。向量運(yùn)算和運(yùn)算率.? ?OB=OA+AB=a+bBA=OA-OB=a-bOP=由(人eR)—-—-加法交換率：a+b=b+a.加法結(jié)合率：(a+b)+c=a+(b+c).數(shù)乘分配率：人（a+b）=禎+詞.說(shuō)明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。a平行于b記作a〃b。注意：當(dāng)我們說(shuō)a、b共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說(shuō)a、-平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a（a見(jiàn)）、b，a〃b的充要條件是存在實(shí)數(shù)入使b=入a注：⑴上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若a〃-（a手0），則有b=人a，其中人是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理:若存在唯一實(shí)數(shù)人，使b=人a（a手0），則有a〃-（若用此結(jié)論判斷a、-所在直線平行，還需a（或-）上有一點(diǎn)不在b（或a）上）。⑵對(duì)于確定的人和a，-=人a表示空間與a平行或共線，長(zhǎng)度為ma|，當(dāng)人＞0時(shí)與a同向，當(dāng)人＜0時(shí)與a反向的所有向量。

⑶若直線i〃a,agi,p為i上任一點(diǎn)，o為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)op的表達(dá)式。推論：如果i為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)a且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)p在直線i上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，，滿足等式op=oa+ta其中向量a叫做直線i的方向向量。OP=(1-1)OA+OP=(1-1)OA+tOB.②OP=2-(OA+OB). ③，③是線段AB的中點(diǎn)公式。當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則02①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式注意：（1表示式（*）、（**）既是表示式①②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線問(wèn)題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。向量與平面平行：如果表示向量涉的有向線段所在直線與平面a平行或a在a平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量涉平行于平面a，記作a〃a。注意：向量涉〃a與直線a〃a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。—>共面向量定理如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條—?件是存在實(shí)數(shù)對(duì)X、y，使p=xa+yb.①注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使MP=xMA+yMB,④或?qū)臻g任一定點(diǎn)O,有OP=OM+xMA+yMB.⑤在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又MA=OA-OM,.MB=OB-OM,.代入⑤，整理得OP=（1-x-y）OM+xOA+yOB. ⑥由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量MA、MB（或不共線三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件?？臻g向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、—不共面，那么對(duì)空間任一向量，存—?在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組X,y,z,使p=xa+yb+zc.說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量—、b、—不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是11p=xa+yb+zc,x、y、zeR［這個(gè)集合可看作由向量a、b、—生成的，所以我們把｛a，—，c｝叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于0可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是——。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)尸，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使OP=xOA+yOB+zOC.數(shù)量積(1)夾角：已知兩個(gè)非零向量a、—，在空間任取一點(diǎn)O,作oa'=a，OB=b，則角/AOB叫做向量a與—的夾角，記作ebA——bbO(1)aa說(shuō)明：⑴規(guī)定ow〈aA——bbO(1)aa說(shuō)明：⑴規(guī)定ow〈a，b)w兀,因而〈a，ab)=(b，a)；兀⑵如果〈a，b)=一，則稱a與b互相垂直，記作a±b；2⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖(3)、(4)中的兩個(gè)向量的夾角不同，圖(3)中ZAOB=(OA,OB)，圖(4)中/AOB=S〈AO,OB),B(3)Aa- Ba(4)ar r '■ ■ f ■從而有(-OA,OB)=(OA,-OB)=K-(OA,OB).(2)向量的模：表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。第3頁(yè)共7頁(yè)

]I—I 一(3)向量的數(shù)量積：同b\cos(a,b〉叫做向量a、b的數(shù)量積，記作a-b。即a-b即a-b=同bcos(a,b〉，a-e=iaBicos〈a,a=Ab'⑴a-e=cos⑴a-e=cos〈涉,—〉。⑵a_Lboa-b=0⑶ia12=a.a.⑴(人a).b=人(a.b)⑵a-b=b-a(3)a-(b+c)=a-b+a-c二.典例精析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)—?—?例1.有以下命題：①如果向量。,b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 >— ^ >a,b的關(guān)系是不共線；②0A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量QAOB。。不構(gòu)成空間的一個(gè)基—?—?—?底，那么點(diǎn)o,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空間的一個(gè)基底，則向量—?—?—?—?—?TOC\o"1-5"\h\za+b,a-b,c，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是( )(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③例2.下列命題正確的是( )―?―? ―?―? ―?―?若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；—?—?—?向量a,b,c共面就是它們所在的直線共面；零向量沒(méi)有確定的方向；―? ―? ―? ―?(D)若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)人使得a=展;題型2：空間向量的基本運(yùn)算C1例3.如圖：在平行六面體ABCD-ABCD中_—aa1—1—1aM為A]C]與B1D1的交點(diǎn)。若AB=a，AD=b，AA1=c，則下列向量中與BM相等的向量是(C1(a)-2a+2b+a

1一1廣一1 1(C)—2a—2b+c (Dya—-b+c例4.已知：a=3m—2n—4p豐0,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a〃b，求x,y的值.題型3：空間向量的坐標(biāo)例5.(1)已知兩個(gè)非零向量a=(a,a,a),b=(b,b,b)，它們平行的充要. 1,*?**—, 3 1 — 3x條件是( )A.aA.a:|a|=b:|b|B-a1.b1=a2.b2=a3.b3C.ab+ab+ab=011 22 33—? —?(2)已知向量a=(2,4,C.ab+ab+ab=011 22 33—? —?(2)已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,)D.存在非零實(shí)數(shù)k,使a=kb2),若|a|=6,a±b，則x+y的值是A.—3或1 B.3或一1C.-3 D.1(3)下列各組向量共面的是( )A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)—+ —tr 一a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)例6.已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。設(shè)a=ab,b=AC,(1)求a和b的夾角9；—fe- —? —I- —?(2)若向量ka+b與ka-2b互相垂直，求k的值.題型4：數(shù)量積例7.（2000江西、山西、天津理，4）設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則①(：a?b)c-(c?a)b=0②|a|-|b|<|a—b|3(b?c)a—(c?a)b不與c垂直④(3a+2b)(3a—2b)=9|a|2—4|b|2中，是真命題的有(A.①② A.①② B.②③ C.③④D.②④例8.（1）（2002上海文，理2）已知向量a和b的夾角為120°，且|a|=2,|b|=5,則0(2a—b)?a=（2）設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量a=（x「y「0），b=（x2,y2，0）與向量c=（1，1，兀 pp pp1）的夾角都等于4。（1）求x1+y1和x1y1的值；（2）求<a，b>的大小（其中0V<a，b><n）。題型5：空間向量的應(yīng)用例9.（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：v，13a+1+%13b+1+%'13（?+1<4捐。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1（1，-2，1）移到點(diǎn)M2（3，1，2），求物體合力做的功。例10.如圖，直三棱柱ABC-ABC中,BC1AB,BC1AC,求證:111 1 1 1 1ABi=A1C.三.思維總結(jié)本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標(biāo)系，對(duì)于0點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變。如向量的數(shù)量積a?b=lal?lblcos<a，b>在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同