大二上所有學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)b課件

參數(shù)估計(jì)問題假設(shè)檢驗(yàn)問題點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題第八章參數(shù)估計(jì)什么是參數(shù)估計(jì)？參數(shù)是刻畫總體某方面的概率特性的數(shù)量.當(dāng)這個數(shù)量是未知的時(shí)候，從總體抽出一個樣本，用某種方法對這個未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)就是參數(shù)估計(jì).例如，X~N(,2),

點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)若,2未知，通過構(gòu)造樣本的函數(shù),給出它們的估計(jì)值或取值范圍就是參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容.參數(shù)估計(jì)的類型點(diǎn)估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì)——估計(jì)未知參數(shù)的取值范圍，使得這個范圍包含未知參數(shù)真值的概率為給定的值.§8.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的思想方法設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它含有一個或多個未知參數(shù)：1,2,,k設(shè)

X1,X2,…,Xn為總體X的一個樣本構(gòu)造k個統(tǒng)計(jì)量：隨機(jī)變量當(dāng)測得一組樣本值x1,x2,…,xn時(shí)，代入上述統(tǒng)計(jì)量，即可得到k個數(shù)：數(shù)值稱數(shù)為未知參數(shù)的估計(jì)值問題如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？如何評價(jià)估計(jì)量的好壞？對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為未知參數(shù)的估計(jì)量

矩估計(jì)法方法用樣本的

k

階矩作為總體的

k

階矩的估計(jì)量,建立含有待估計(jì)參數(shù)的方程，從而可解出待估計(jì)參數(shù)一般地，不論總體服從什么分布，總體期望

與方差2存在，則它們的矩估計(jì)量分別為兩種常用的點(diǎn)估計(jì)的方法事實(shí)上，按矩估計(jì)法原理，令例1

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn為總體的樣本,求,2的矩估計(jì)量。解例2

設(shè)總體X服從指數(shù)分布,X1,X2,…,Xn為總體的樣本,求的矩估計(jì)量。解令故例3

設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的一大批燈泡中隨機(jī)地抽取了10只燈泡，測得其壽命為(單位：小時(shí))：1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200試用矩估計(jì)法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的標(biāo)準(zhǔn)差.解例4

設(shè)總體X~U(a,b),a,b未知，求a,b

的矩估計(jì)量.解由于令解得

點(diǎn)估計(jì)的極大似然估計(jì)法思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率例如:有兩個外形相同的箱子,都裝有100個球一箱99個白球，1個紅球一箱1個白球，99個紅球現(xiàn)從兩箱中任取一箱，并從箱中任取一球，結(jié)果所取得的球是白球。答第一箱.問

所取的球來自哪一箱？例5

設(shè)總體X服從0-1分布，且P(X=1)=p,

用極大似然法求

p

的估計(jì)值。解X的概率分布可以寫成設(shè)X1,X2,…,Xn為總體X的樣本,設(shè)x1,x2,…,xn為總體X的樣本值,則對于不同的p,L(p)不同，見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗(yàn)，發(fā)生了，事件則

p

的取值應(yīng)使這個事件發(fā)生的概率最大。在容許的范圍內(nèi)選擇

p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的單調(diào)增函數(shù)，故若某個p

使lnL(p)最大，則這個p必使L(p)最大。所以為所求p的估計(jì)值.一般地，設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為

X1,X2,…,Xn為總體X的樣本,

x1,x2,…,xn為總體X的樣本值,則X1,X2,…,Xn的概率分布為或稱L()為樣本的似然函數(shù)則稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計(jì)值稱統(tǒng)計(jì)量為參數(shù)的極大似然估計(jì)量選擇適當(dāng)?shù)?,使取最大值，即L()當(dāng)給定一組樣本值時(shí)，

就是參數(shù)的函數(shù),極大似然估計(jì)法的思想就是：L()若隨機(jī)變量X

連續(xù),取f(xi,)為Xi

的密度函數(shù)似然函數(shù)為注1注2未知參數(shù)個數(shù)可以不止一個,如1,2,…,k

設(shè)X

的密度函數(shù)(或概率分布)為則定義似然函數(shù)為若關(guān)于1,2,…,k

可微，為似然方程組若對于某組給定的樣本值x1,x2,…,xn，參數(shù)使得似然函數(shù)取得最大值，即則稱為1,2,…,k

的極大似然估計(jì)值則稱顯然，稱統(tǒng)計(jì)量為1,2,…,k

的極大似然估計(jì)量例6

設(shè)總體X~N(,2),x1,x2,…,xn是

X

的一組樣本值，求,2的極大似然估計(jì).解

,2的極大似然估計(jì)量分別為似然方程組為求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值(量)的方法1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得（通常先求lnL，然后再求lnL的最大值.）可求得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值然后,再求得極大似然估計(jì)量.L

是的可微函數(shù),解似然方程組若

L

不是的可微函數(shù),需用其它方法求極大似然估計(jì)值.請看下例：若例7

設(shè)X~U[a,b],x1,x2,…,xn是

X

的一個樣本,求

a,b的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量.解X的密度函數(shù)為似然函數(shù)為似然函數(shù)只有當(dāng)a≤xi

≤b,i=1,2,…,n時(shí)才能獲得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取則對滿足的一切a<b,都有故是a,b的極大似然估計(jì)值.分別是a,b的極大似然估計(jì)量.（類似的題目可見課本192頁例6。）例8

設(shè)總體的概率密度為為來自于總體

的樣本,為樣本值,求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)解先求總體矩令即得解得

為的矩估計(jì)量,

為的矩估計(jì)值。

下面求極大似然估計(jì)似然函數(shù)為解方程

得經(jīng)驗(yàn)證，

處達(dá)到最大，所以是的極大似然估計(jì)。

在例9

設(shè)總體X服從參數(shù)為（

＞0）的指數(shù)分布,X1,X2,…,Xn為總體的樣本，x1,x2,…,xn

為樣本值。求的極大似然估計(jì)。解似然函數(shù)為方程

的根為

經(jīng)驗(yàn)證，在

處達(dá)到最大，所以

是的極大似然估計(jì)。