2023年備戰(zhàn) 高中數(shù)學解題方法分類講義

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第1講函數(shù)問題的題型與方法

一、考試內(nèi)容

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性；反函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系；指數(shù)概念的擴展、有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)；對數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例。

二、考試要求

1．了解映射的概念，理解函數(shù)的概念

2．了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，把握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程。

3．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。4．理解分數(shù)指數(shù)的概念，把握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，把握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。5．理解對數(shù)的概念，把握對數(shù)的運算性質(zhì)，把握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。6．能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題。

三、函數(shù)的概念型問題

函數(shù)概念的復習當然應(yīng)當從函數(shù)的定義開始．函數(shù)有二種定義，一是變量觀點下的定義，一是映射觀點下的定義．復習中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)關(guān)系是否一致等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運用．具體要求是：

1．深化對函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系．

2．系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法．在熟練有關(guān)技能的同時，注意對換元、待定系數(shù)法等數(shù)學思想方法的運用．

3．通過對分段定義函數(shù)，復合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認識，進一步體會函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進一步樹立運動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運用打好基礎(chǔ)．

本部分內(nèi)容的重點是不僅從認識上，而且從處理函數(shù)問題的指導上達到從三要素總體上把握函數(shù)概念的要求，對確定函數(shù)三要素的常用方法有個系統(tǒng)的認識，對于給出解析式的函數(shù)，會求其反函數(shù)．

本部分的難點首先在于戰(zhàn)勝“函數(shù)就是解析式〞的片面認識，真正明確不僅函數(shù)的對應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導．其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合．

函數(shù)的概念是復習函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會背誦定義，會做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進一步為綜合運用打好基礎(chǔ)．復習的重點是求得對這些問題的系統(tǒng)認識，而不是急于做過難的綜合題．

㈠深化對函數(shù)概念的認識

例1．以下函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（）

分析：處理此題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，由于過程太繁瑣．

㈡系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法1．求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法

由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍．它依靠于對各種式的認識與解不等式技能的熟練．這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字

例2．已知函數(shù)f?x?定義域為(0，2)，求以下函數(shù)的定義域：

22分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量．由于f(x)，f(u)是同一個函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范圍．

例3．已知xy＜0，并且4x2-9y2=36．由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)？假使能，求出其解析式、定義域和值域；假使不能，請說明理由．

分析：4x2-9y2=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當然不能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？

2

所以

因此能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)．其定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域為(-∞，0)∪(0，＋∞)．

說明：本例從某種程度上透露了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系．任何一個函數(shù)的解析式都可看作一個方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式．求函數(shù)解析式還有兩類問題：

(1)求常見函數(shù)的解析式．由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式．這里不再舉例．

(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定．這要把有關(guān)學科知識，生活經(jīng)驗與函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復習的以后部分．

四、函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。

方程思想是：實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題。函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學模型，從而進行研究。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，

經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f?1(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練把握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，擅長挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀測、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

(一)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考察的重點內(nèi)容．在復習中要肯于在對定義的深入理解上下功夫．

復習函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)〞和“形〞兩個方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以穩(wěn)定，在求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．具體要求是：

1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能確鑿判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．

2．從數(shù)形結(jié)合的角度認識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．

3．培養(yǎng)學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法解決問題的能力．

這部分內(nèi)容的重點是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解．

函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來探討．函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．

對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特別的對稱性的反映．

這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用．根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學生能力的較高要求．1．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例4．下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此②不正確．

若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A．

說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零．2．復合函數(shù)的性質(zhì)

復合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u

與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集．復合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：

(1)單調(diào)性規(guī)律

假使函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m，n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m)，g(n)](或[g(n)，g(m)])上也是單調(diào)函數(shù)，那么

若u=g(x)，y=f(u)增減性一致，則復合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；若u=g(x)，y=f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數(shù)．

(2)奇偶性規(guī)律

若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是

奇函數(shù)時，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y=f[g(x)]是偶函數(shù)．

例5．若y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）

A．(0，1)B．(1，2)C．(0，2)D．[2，+∞)

分析：此題存在多種解法，但不管哪種方法，都必需保證：①使loga(2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使loga(2-ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logau，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函數(shù)，所以必需a＞1；③[0，1]必需是y=loga(2-ax)定義域的子集．

解法一：由于f(x)在［0，1］上是x的減函數(shù)，所以f(0)＞f(1)，即loga2＞loga(2-a)．

解法二：由對數(shù)概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函數(shù)，y=logau應(yīng)為增函數(shù)，得a＞1，排除A，C，再令

故排除D，選B．

說明：此題為1995年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念明白，推理正確．3．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運用

例6．甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛．

分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．

故所求函數(shù)及其定義域為

但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要

論函數(shù)的增減性來解決．

由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且

又S＞0，所以

即

則當v=c時，y取最小值．

說明：此題是1997年全國高考試題．由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大．

（二）函數(shù)的圖象

1．把握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法．

2．會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題．3．用數(shù)形結(jié)合的思想、分類探討的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學問題．4．把握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀測、分析、歸納、概括和綜合分析能力．以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，把握這兩種方法是本節(jié)的重點．

運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當處．這就要求對所要畫圖象的存在范