11 隨機(jī)事件與樣本空間

本文格式為Word版，下載可任意編輯——11隨機(jī)事件與樣本空間§1.1隨機(jī)事件與樣本空間

隨機(jī)事件與樣本空間是概率論中的兩個最基本的概念。一、基才能件與樣本空間

對于隨機(jī)試驗(yàn)來說，我們感興趣的往往是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。例如擲一枚硬幣，我們關(guān)心的是出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面這兩個可能結(jié)果。若我們觀測的是擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，則可能出現(xiàn)的結(jié)果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四種，假使擲三枚硬幣，其結(jié)果還要繁雜，但還是可以將它們描述出來的，總之為了研究隨機(jī)試驗(yàn)，必需知道隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。1、基才能件

尋常，據(jù)我們研究的目的，將隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能的結(jié)果，稱為基才能件。由于隨機(jī)事件的所有可能結(jié)果是明確的，從而所有的基才能件也是明確的，例如：在拋擲硬幣的試驗(yàn)中“出現(xiàn)反面〞，“出現(xiàn)正面〞是兩個基才能件，又如在擲骰子試驗(yàn)中“出現(xiàn)一點(diǎn)〞，“出現(xiàn)兩點(diǎn)〞，“出現(xiàn)三點(diǎn)〞，……，“出現(xiàn)六點(diǎn)〞這些都是基才能件。2、樣本空間

基才能件的全體，稱為樣本空間。也就是試驗(yàn)所有可能結(jié)果的全體是樣本空間，樣本空間尋常用大寫的希臘字母?表示，?中的點(diǎn)即是基才能件，也稱為樣本點(diǎn)，常用?表示，有時也用A,B,C等表示。在具體問題中，給定樣本空間是研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步。

例1、一盒中有十個完全一致的球，分別有號碼1、2、3……10，從中任取一球，觀測其標(biāo)號，令i?{取得球的標(biāo)號為i}，i?1,2,3,…,10.則?={1,2,3,…,10},?i?{標(biāo)號為i},i?1,2,3,…,10?1,?2,…,?10為基才能件（樣本點(diǎn)）

例2在研究英文字母使用狀況時，尋常選用這樣的樣本空間：?={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}

例1，例2探討的樣本空間只有有限個樣本點(diǎn)，是比較簡單的樣本空間。

例3探討某尋呼臺在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，可能結(jié)果一定是非負(fù)整數(shù)而且很難制定一個數(shù)為它的上界，這樣，可以把樣本空間取為?={0,1,2,3,…}

這樣的樣本空間含有無窮個樣本點(diǎn)，但這些樣本點(diǎn)可以依照某種順序排列起來，稱它為可列樣本空間。例4探討某地區(qū)的氣溫時，自然把樣本空間取為??(??,??)或??[a,b]。這樣的樣本空間含有無窮個樣本點(diǎn)，它充滿一個區(qū)間，稱它為無窮樣本空間。

從這些例子可以看出，隨著問題的不同，樣本空間可以相當(dāng)簡單，也可以相當(dāng)繁雜，在今后的探討中，都認(rèn)為樣本空間是預(yù)先給出定的，當(dāng)然對于一個實(shí)際問題或一個隨機(jī)現(xiàn)象，考慮問題的角度不同，樣本空間也可能選擇得不同。

例如：擲骰子這個隨機(jī)試驗(yàn)，若考慮出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則樣本空間?={1,2,3,4,5,6}；若考慮的是出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)還是出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則樣本空間?={奇數(shù)，偶數(shù)}。

由此說明，同一個隨機(jī)試驗(yàn)可以有不同的樣本空間。

在實(shí)際問題中，選擇恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g來研究隨機(jī)現(xiàn)象是概率中值得研究的問題。

二、隨機(jī)事件

再看例1樣本空間?={1,2,3,…,10}下面研究這些問題。

A={球的標(biāo)號為3}，B={球的標(biāo)號為偶數(shù)}，C={球的標(biāo)號不大于5}其中A為一個基才能件，而B與C則由基才能件所組成。

例如：B發(fā)生（出現(xiàn)）必需而且只須以下樣本點(diǎn)之一發(fā)生2、4、6、8、10，它由五個基才能件組成。同樣地，C發(fā)生必需而且只須以下樣本點(diǎn)之一發(fā)生1、2、3、4、5。

無論基才能件還是繁雜事件，它們在試驗(yàn)中發(fā)生與否，都帶有隨機(jī)性，所以叫做隨機(jī)事件或簡稱為事件，習(xí)慣上用大寫英文字母A,B,C等表示，在試驗(yàn)中假使出現(xiàn)A中包含了某一個基才能件?，則稱作A發(fā)生，并記作??A。

我們知道，樣本空間?包含了全體基才能件，而隨機(jī)事件不過是由某些特征的基才能件組成的，從集合論的角度來看，一個隨機(jī)事件不過是樣本空間?的一個子集而已。

如例1中?={1,2,3,…,10}。

顯然A,B,C都是?的子集，它們可以簡單的表示為A={3},B={2,4,6,8,10}，C=,1,3,5,7,9}由于?是所有基才能件所組成，因而在一次試驗(yàn)中，必然要出現(xiàn)?中的某一基才能件???，也就是在試驗(yàn)中?必然要發(fā)生，今后用?表示一個必然事件，可以看成?的子集。

相應(yīng)地空集?，在任意一次試驗(yàn)中不能有???，也就是說?永遠(yuǎn)不可能發(fā)生，所以?是不可能事件，實(shí)質(zhì)上必然事件就是在每次試驗(yàn)中都發(fā)生的事件，不可能事件就是在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，已經(jīng)失去了“不確定性〞即隨機(jī)性，因而本質(zhì)上不是隨機(jī)事件，但為了探討問題的便利，還是將它看作隨機(jī)事件。

例3一批產(chǎn)品共10件，其中2件次品，其余為正品，從中任取3件則A={恰有一件正品}，B={恰有兩件正品}，C={至少有兩件正品}，D{三件中至少有一件次品}這些都是隨機(jī)事件

而?={三件中有正品}為必然事件；?={3件都是正品}為不可能事件，

3對于這個隨機(jī)試驗(yàn)來說，基才能件總數(shù)為C10個。

三、事件的關(guān)系與運(yùn)算

對于隨機(jī)試驗(yàn)而言，它的樣本空間?可以包含好多隨機(jī)事件，概率論的任務(wù)之一就是研究隨機(jī)事件的規(guī)律，通過對較簡單事件規(guī)律的研究在把握更繁雜事件的規(guī)律，為此需要研究事件之間和事件之間的關(guān)系與運(yùn)算。

若沒有特別說明，認(rèn)為樣本空間?是給定的，且還定義了?中的一些事件，A,B，Ai（i?1,2，…）等，由于隨機(jī)事件是樣本空間的子集，從而事件的關(guān)系與運(yùn)算和集合的關(guān)系與運(yùn)算完全相類似。1事件的包含關(guān)系

定義：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含了A，或稱A是B的特款，記作A?B或B?A。

譬如前面提到過的A={球的標(biāo)號,6}，這一事件就導(dǎo)致了事件B={球的標(biāo)號為偶數(shù)}的發(fā)生，由于摸到標(biāo)號為6的球意味著偶數(shù)的球出現(xiàn)了，所以A?B可以給上述含義一個幾何解釋，設(shè)樣本空間是一個正方體，

ΩA,B是兩個事件，也就是說，它們是?的子集，“A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生〞意味著屬于A的樣本點(diǎn)在B中由此可見，事件A?B的含義與集合論是一致的。

特別地，對任何事件A

A??，??A

例3設(shè)某種動物從出生生活至20歲記為A，從出生到25記為B,則B?A。2事件的相等

設(shè)A,B??,若A?B，同時有B?A，稱A與B相等，記為A=B，易知相等的兩個事件A,B總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生，在同一樣本空間中兩個事件想等意味著它們含有一致的樣本點(diǎn)。3并(和)事件與積(交)事件

定義：設(shè)A,B??,稱事件“A與B中至少有一個發(fā)生〞為A和B的和事件或并事件。記作AUB實(shí)質(zhì)上AUB=“A或B發(fā)生〞

AU??A，AU???，AUA?AAUB若A?B，則AUB?B，A?AUB，B?AUB例3、

設(shè)某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高都合格，則該產(chǎn)品合格。令A(yù)={直徑不合格}，B={高度不合格}，則AUB={產(chǎn)品不合格}。

推廣：設(shè)n個事件A1,A2,…,An，稱“A1,A2,…,An中至少有一個發(fā)生〞這一事件為A1,A2,…,An的并，記作A1UA2U…UAn或UAi

i?1nΩAB和事件的概念還可以推廣到可列個事件的情形。

設(shè)A,B??，稱“A與B同時發(fā)生〞這一事件為A和B的積事件或交事件。記作A?B或A?B顯然A????,A????,A?A?A,A?B?A,A?B?B若A?B，則A?B?A

如例7中，若C={直徑合格}，D={高度合格}，則C?D={產(chǎn)品合格}。

nΩAB推廣:設(shè)n個事件A1,A2,…,An，稱“A1,A2,…,An同時發(fā)生〞這一事件為A1,A2,…,An的積事件。記作A1?A2?…?An或A1A2…An，或?Ai

i?1同樣積事件的概念也可以推廣為可列個事件的情形。

4差事件

定義：設(shè)A,B??，稱“A發(fā)生B不發(fā)生〞這一事件為A與B的差事件，

記作A?B

如例7中A?B={該產(chǎn)品的直徑5對立事件

定義：稱“??A〞為A的對立事件或稱為A的逆事件，記作A。A?A?AAA??

由此說明，在一次試驗(yàn)中A與A有且僅有一個發(fā)生。即不是A發(fā)生就是A發(fā)生。

????ΩAB}，明顯地有A?B?A?AB，A???AΩA顯然A?A，由此說明A與A互為逆事件。??????A?B?AB

例8、設(shè)有100件產(chǎn)品，其中5件產(chǎn)品為次品，從中任取50件產(chǎn)品。

記A={50件產(chǎn)品中至少有一件次品}，則A?{50件產(chǎn)品中沒有次品}={50件產(chǎn)品全是正品}由此說明，若事件A比較繁雜，往往它的對立事件比較簡單，因此我們在求繁雜事件的概率時，往往可能轉(zhuǎn)化為求它的對立事件的概率。6互不相容事件（互斥事件）

定義：若兩個事件A與B不能同時發(fā)生，即AB??，稱A與B為互不相容事件（或互斥事件）。

注意：任意兩個基才能件都是互斥的。

推廣：設(shè)n個事件A1,A2,…,An兩兩互斥，稱A1,A2,…,An互斥（互不相容）。

若A，B為互斥事件，則A，B不一定為對立事件。但若A，B為對立事件，則A、B互斥。7事件的運(yùn)算法則

1）交換律AUB?BUA，AB?BA

2）結(jié)合律(AUB)UC?AU(BUC)，(AB)C?A(BC)

3）分派律(AUB)?C?(A?C)U(B?C)，(A?B)UC?(AUC)?(BUC)4）對偶原則UAi??Ai，?Ai?UAi

i?1n?????nnni?1i?1i?1例9設(shè)A,B,C為?中的隨機(jī)事件，試用A,B,C表示以下事件。1）A與B發(fā)生而C不發(fā)生AB?C或ABC2）A發(fā)生，B與C不發(fā)生A?B?C或ABC3）恰有一個事件發(fā)生ABC?ABC?ABC4)恰有兩個事件發(fā)生ABC?ABC?ABC5)三個事件都發(fā)生ABC

6)至少有一個事件發(fā)生A?B?C或3）4）5）之并7)A,B,C都不發(fā)生ABC8)A,B,C不都發(fā)生ABC

9)A,B,C不多于一個發(fā)生ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?CA10)A,B,C不多于兩個發(fā)生ABC

例10試驗(yàn)Ｅ：袋中有三個球編號為１.２.３，從中任意摸出一球，觀測其號碼，記Ａ于3}，Ｂ＝{球的號碼為奇數(shù)}，Ｃ＝{球的號碼為3}

試問：１）Ｅ的樣本空間為什么？２）Ａ與Ｂ，Ａ與Ｃ，Ｂ與Ｃ是否互不相容？

３）Ａ，Ｂ，Ｃ對立事件是什么？4）A與B的和事件，積事件，差事件各是什么？解：設(shè)?i?{摸到的球號碼為i},i?1,2,3,…,10

1）則Ｅ的樣本空間為??{?1,?2,?3}；

{球的號碼小

2）A?{?1,?2}，B?{?1,?3}，C?{?3}，Ａ與Ｂ，Ｂ與Ｃ是相容的，Ａ與Ｃ互不相容；3）A?{?3}，B?{?2}，C?{?1,?2}；4）A?B??，AB?{?1}，A?B?{?2}。四事件域

事件是?的子集，假使事件的這些子集歸在一起，則得到一個類，稱作事件域，記作F。即F={A:A??,A為事件}??,?為事件

∴??F，??F

由于我們探討了事件間的運(yùn)算“?〞“?〞和“-〞,假使A，B都是事件，即A,B?F，自然要求A?B,A?B,A-B也是事件，因此，若A