小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的理論和實(shí)踐

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的理論和實(shí)踐摘要：數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，然而對(duì)推理的定義和數(shù)學(xué)推理的形式有許多不同的看法.首先分析了理解數(shù)學(xué)推理的4種不同視角，涵蓋結(jié)果視角、過程視角、結(jié)構(gòu)視角、模仿與創(chuàng)造視角.在此基礎(chǔ)上，以小學(xué)階段代數(shù)、比例和空間3個(gè)內(nèi)容為例，對(duì)數(shù)學(xué)推理能力在其中的具體體現(xiàn)和相關(guān)的推理教學(xué)進(jìn)行了分析.教師可通過在教學(xué)中設(shè)計(jì)創(chuàng)造性的推理任務(wù)以及鼓勵(lì)學(xué)生解釋與表達(dá)等方式促進(jìn)數(shù)學(xué)推理在課堂教學(xué)中的落實(shí).關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)推理；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主張主張(claim)：論證過程中形成的結(jié)論1問題提出讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)推理和具備數(shù)學(xué)推理的能力是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一.在國際學(xué)生能力評(píng)估計(jì)劃(ProgrammeforInternationalStudentsAssessment，簡稱PISA)2021數(shù)學(xué)能力框架中，數(shù)學(xué)推理被視作學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分［1］.早在1950年中國第一份小學(xué)算術(shù)課程暫行標(biāo)準(zhǔn)中，就提出要"訓(xùn)練兒童善于運(yùn)用思考、推理、分析、綜合和鉆研問題的方法和習(xí)慣"［I,21世紀(jì)初中國啟動(dòng)的課程改革不僅將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力視為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)，而且對(duì)其表現(xiàn)形式進(jìn)行了更為清晰的描述［3〕.在新近頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確將邏輯推理作為學(xué)生需要具備的重要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一［4〕.而在新近提出的中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中，“邏輯清晰，思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，做出選擇和決定"一起被看作"科學(xué)精神"這一核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)［5〕.由此可見，重視學(xué)生的推理能力并不只是局限于數(shù)學(xué)教育，它在整個(gè)學(xué)校教育中都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.值得注意的是，當(dāng)大家在談?wù)撏评頃r(shí)，好像彼此之間都清楚推理這個(gè)概念指代的是什么，但實(shí)際情況卻并非如此.因?yàn)椴煌瑢W(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解存在相當(dāng)大的差異［6〕，在不同學(xué)習(xí)階段以何種方式進(jìn)行推理的教學(xué)也會(huì)有不同的看法，例如，數(shù)學(xué)推理和一般推理的關(guān)系是什么？如果學(xué)生嘗試對(duì)一列數(shù)字的變化規(guī)律進(jìn)行總結(jié)但并沒有成功，是否屬于推理活動(dòng)？讓學(xué)生根據(jù)例題解決同類型的新問題能看作是培養(yǎng)他們的推理能力嗎？如果把這類問題的爭(zhēng)論聚焦在數(shù)學(xué)教學(xué)，也就是該怎樣理解數(shù)學(xué)推理以及如何進(jìn)行推理教學(xué).如何認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)推理，如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力，如何將數(shù)學(xué)推理教學(xué)滲透在課程學(xué)習(xí)領(lǐng)域是研究者著重探討的地方.2理解數(shù)學(xué)推理2.1什么是推理推理是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式.不同學(xué)者對(duì)推理有不同的看法，總的來說，推理與論證、推斷、思考有緊密的聯(lián)系但又有不同.這里借鑒哲學(xué)家圖爾明(Toulmin)與教育心理學(xué)家莫什曼(Moshman)的觀點(diǎn)，來辨析這些與推理相似的概念，希望能為廣大研究者理解課堂中的推理教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)推理提供一些參照.圖爾明認(rèn)為推理的重要特點(diǎn)在于其社會(huì)性.具體而言，個(gè)體本身及其所處環(huán)境的差異會(huì)造成觀點(diǎn)與判斷標(biāo)準(zhǔn)的不同，某一群體中不證自明"的觀點(diǎn)并非適用于另一個(gè)群體，而推理便是人們?cè)诮涣髦袨橹С峙c維護(hù)某個(gè)主張而批判地檢驗(yàn)與篩選觀點(diǎn)的過程.這一過程是具有集體性質(zhì)的、持續(xù)不斷的協(xié)商過程(humantransaction)［7］.圖爾明著重分析推理和論證之間的關(guān)系，他認(rèn)為論證(argumentation)可被視為一系列的推理(trainsofreasoning),它們構(gòu)成具體表述內(nèi)容的一連串相互關(guān)聯(lián)的主張和理由，包含主張或結(jié)論(claimX數(shù)據(jù)或資料(data)以及理由或論據(jù)(warrant)3個(gè)基本成分［8〕(如圖1所示).圖爾明關(guān)于推理的定義主要強(qiáng)調(diào)個(gè)人在推理活動(dòng)中所處的情境和人際間的互動(dòng)，注重考慮邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性，對(duì)學(xué)科知識(shí)的正確性涉及較少，其論證模式常常被用作分析學(xué)生論證的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).資料(data)：用來支持

某一主張的事實(shí)

理由或論據(jù)(warrant):說明資料如何推論至

主張，提供所需的規(guī)則及證據(jù)圖1圖爾明的論證模式教育心理學(xué)家莫什曼則從認(rèn)知心理學(xué)的視角對(duì)發(fā)展推理所需要的能力進(jìn)行探討，他認(rèn)為推斷(inference)和思考(thinking)是推理能力發(fā)展的前提［9〕.推斷是最為基本與普遍的行為之一，例如嬰兒時(shí)期根據(jù)聲音推斷物體的位置、從成人的面部表情推斷其情感，在日常的對(duì)話、閱讀等活動(dòng)中都離不開推斷.思考則是有意識(shí)、有目的地運(yùn)用推斷解決問題、做出決定、判斷與計(jì)劃等，是個(gè)體認(rèn)識(shí)與控制自己認(rèn)知過程的能力，即原認(rèn)知能力(metacognition)的體現(xiàn).在具備推斷與思考能力的基礎(chǔ)上，個(gè)體進(jìn)行推理還要能夠?qū)⑼普撆c意圖同適當(dāng)?shù)耐普摐?zhǔn)則相結(jié)合，莫什曼稱之為知識(shí)認(rèn)知(epistemiccognition)閔.認(rèn)知心理學(xué)視角對(duì)推理的理解，凸顯個(gè)體的認(rèn)知能力，以及程序與規(guī)則在推理中的必要性.以上從哲學(xué)和心理學(xué)層面關(guān)于推理的分析，指出了推理的內(nèi)涵和特點(diǎn).這些觀點(diǎn)既重視推理的主要成分和邏輯結(jié)構(gòu)，也強(qiáng)調(diào)個(gè)體在推理活動(dòng)中的心理歷程.課堂教學(xué)是涉及人的活動(dòng)，師生與學(xué)生間互動(dòng)和交流是培養(yǎng)推理的重要方面，它不僅僅是具有個(gè)人特質(zhì)的行為，更是由一系列集體性的實(shí)踐和準(zhǔn)則所構(gòu)成的活動(dòng).因此，數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行推理的教學(xué)，需要了解推理中涉及與學(xué)科知識(shí)相關(guān)的主張或結(jié)論、資料，以及理由或論據(jù)，在關(guān)注學(xué)生個(gè)體的心理歷程前提下，多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行推斷和思考，同時(shí)也考慮推理過程中邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性.下面結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的具體內(nèi)容分析數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn).2.2理解數(shù)學(xué)推理的4種視角在現(xiàn)有關(guān)于數(shù)學(xué)推理的研究中，存在多種類別的劃分方式，而不同類別與表述的背后所反映出來的實(shí)際是研究者對(duì)數(shù)學(xué)推理不同方面的關(guān)注.例如，在課堂教學(xué)中應(yīng)將推理視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果還是學(xué)習(xí)過程本身？推理教學(xué)應(yīng)著重于不同推理結(jié)構(gòu)的理解，還是關(guān)注推理策略得到的方式？下面將結(jié)合前文中提出的邏輯結(jié)構(gòu)與心理特征兩個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)推理的界定從4個(gè)不同的視角進(jìn)行分析和總結(jié).視角1:結(jié)果(product)視角，這一視角更關(guān)注推理中的邏輯結(jié)構(gòu)，著重推理所產(chǎn)出的結(jié)果，將推理視為在任務(wù)解決過程中形成主張并得出結(jié)論的一系列想法，強(qiáng)調(diào)推理所產(chǎn)生的新知識(shí)與新成果網(wǎng).這種看法并非否定推理的過程性，更多是出于對(duì)觀察與分析便利的考慮，從結(jié)果的視角來定義數(shù)學(xué)推理，看重學(xué)生思考分析、解決問題的結(jié)果.視角2:過程(process)視角，這一視角在關(guān)注邏輯結(jié)構(gòu)的同時(shí)也關(guān)注個(gè)體在推理過程中的心理特征，側(cè)重于指明推理的對(duì)象或推理所需要的環(huán)節(jié).從這一視角出發(fā)的學(xué)者比較多，如湯普森(Thompson)，他提出數(shù)學(xué)推理包括對(duì)量和結(jié)構(gòu)進(jìn)行的有目的推論、演繹、歸納［11］；史寧中認(rèn)為數(shù)學(xué)推理的思維過程和邏輯性體現(xiàn)在所涉及命題內(nèi)涵之間的傳遞性［12］，而"經(jīng)歷和感悟了數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理后積淀的思維模式"即為數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)3〕.另外，珍妮特(Jeannotte)與基蘭(Kieran)從社會(huì)文化視角出發(fā)，結(jié)合推理過程中的認(rèn)知與溝通，將數(shù)學(xué)推理界定為通過與自我對(duì)話或與他人進(jìn)行對(duì)話，從一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)推斷出另一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的過程.在文獻(xiàn)分析基礎(chǔ)上，他們提煉出3個(gè)主要類別(尋找相同與差異、證實(shí)和例證)共9種數(shù)學(xué)推理的過程［14］.例如，尋找相同與差異的過程可分為概括、猜想、識(shí)別規(guī)律、對(duì)比和分類；證實(shí)的過程則包括證實(shí)、驗(yàn)證、證明(不一定要演繹的方式)和正式的證明(主要是演繹推理).由于例證是通過提供具體的事例來支持推理，既可以被用于尋找異同，也可以作為證實(shí)過程的支持，因此在兩個(gè)類別之外單獨(dú)呈現(xiàn).個(gè)體的思維活動(dòng)是極為復(fù)雜的.這些不同類別的推理活動(dòng)并非是完全獨(dú)立或依序發(fā)生的，各個(gè)過程之間是相互關(guān)聯(lián)、促進(jìn)與影響的.例如，在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性和定義進(jìn)行分類時(shí)，個(gè)體無疑需要經(jīng)歷比較、假設(shè)以及概括等環(huán)節(jié)而尋找異同點(diǎn).總之，對(duì)推理過程的關(guān)注與剖析在揭示推理復(fù)雜性的同時(shí)，也為課堂教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生推理提供了可能的路徑，教師可據(jù)此設(shè)計(jì)相關(guān)任務(wù)與活動(dòng)，推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行推理.視角3:結(jié)構(gòu)性視角，側(cè)重在推理中如何從主張走向結(jié)論，著重描述構(gòu)成推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個(gè)要素及其相互關(guān)系，據(jù)此也有公認(rèn)的3種推理形式，它們是演繹(deductive)推理、歸納(inductive)推理和溯因(abductive)推理.演繹推理和歸納推理是較為熟悉的類型.中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版》將數(shù)學(xué)推理是劃分為合情推理和演繹推理.合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等手段推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算［3〕.最新修訂的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中進(jìn)一步指出，邏輯推理主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹［4〕.演繹推理被視為唯一一類能夠得到確定結(jié)論的推理，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中常常涉及的一種推理形式.而歸納推理在實(shí)踐中更多表現(xiàn)為對(duì)規(guī)律的找尋，通過猜想、尋找模式等提出一個(gè)具有一般性的結(jié)果．相對(duì)合情推理和演繹推理來說，溯因推理被提及得并不多.哲學(xué)家皮爾遜(Peirce)最早把溯因法引入現(xiàn)代邏輯用以區(qū)別演繹與歸納推理.一般來說，溯因推理是從已有事實(shí)出發(fā)構(gòu)建推理的過程，即解釋已知事物的過程［15〕.例如，通過"三角形內(nèi)角和是180的倍數(shù)"這一法則，以及"900是180的倍數(shù)，而870不是"這一事實(shí)，來解釋"為何七邊形的內(nèi)角和應(yīng)為900，而非870"，便是溯因推理的體現(xiàn).為區(qū)分3種不同的推理形式，皮爾遜借助實(shí)例(caseX法則(rules)和結(jié)果(results)這3個(gè)要素對(duì)不同形式的推理進(jìn)行了描述3〕.其中，實(shí)例是指一定條件下(如某一事物的特點(diǎn)或兩個(gè)事物間的聯(lián)系)的具體觀察；法則是指’一種情況發(fā)生，那么另一種情況同樣出現(xiàn)"的命題；結(jié)論雖然同例子有一些相似，但其中蘊(yùn)含了規(guī)則.在數(shù)學(xué)學(xué)科，里德(Reid)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容對(duì)這三要素進(jìn)行了解釋與補(bǔ)充,應(yīng)用于數(shù)學(xué)推理中［17〕.圖2提供了一個(gè)關(guān)于直角三角形的例子.法則是演繹推理的核心，實(shí)例是歸納推理的基礎(chǔ)，而溯因推理的目的則是為了借助法則與結(jié)果解釋當(dāng)下的實(shí)例.康納(Conner)等人進(jìn)一步嘗試將上述數(shù)學(xué)推理的三要素與圖爾明的一般論證模型結(jié)合起來，更加直觀地呈現(xiàn)在不同類型推理中，各個(gè)部分間的相互關(guān)系，較為清晰地展現(xiàn)了實(shí)例、法則和結(jié)果在不同推理類型中所扮演的角色，幫助學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷與體驗(yàn)不同的推理過程［18〕.f 演繹推理歸納推理溯因推理 、法則：有一個(gè)角為直角的三角實(shí)例：在AABC中，ABC為法則：有一個(gè)角為直角的三角形是直角三角形直角形是直角三角形實(shí)例：在AABC中，ZABC結(jié)果：4BC是直角三角形結(jié)果：AABC是直角三角形為直角結(jié)果：AABC是直角三角形法則：有一個(gè)角為直角的三角實(shí)例：在AABC中，匕ABC為直角形是直角三角形J圖2結(jié)構(gòu)視角下不同數(shù)學(xué)推理的表現(xiàn)形式視角4:模仿和創(chuàng)造性推理.較之前3種視角，利特納(Lithner)提出的模仿推理(imitativereasoning)與創(chuàng)造性推理(creativereasoning)更加聚焦于推理策略得到的方式(如圖3所示)3〕，也就是更關(guān)注推理中個(gè)體經(jīng)歷的心理過程.模仿推理是指通過回想或效仿某些既定程序而進(jìn)行的機(jī)械推理,主要包括記憶推理(memorisedreasoning)和算法推理(algorithmicreasoning)兩類.當(dāng)學(xué)生進(jìn)行記憶推理時(shí),問題解決策略的選擇是基于對(duì)一個(gè)完整答案的回憶，而策略的實(shí)施僅僅是將回憶出的答案抄寫下來.此類推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中也十分常見：學(xué)生將背誦的證明或解題步驟套用于新問題中；也會(huì)因"之前的題目有(沒有)這樣的答案"等理由而選擇(拒絕)某種作法.圖3模仿推理和創(chuàng)造性推理的劃分模仿推理中另一類是算法推理，這里的算法并非僅指計(jì)算中的步驟或方法，而是泛指一切預(yù)先制定的程序.學(xué)生在進(jìn)行算法推理時(shí)，會(huì)對(duì)全部已知的策略進(jìn)行篩選，在預(yù)測(cè)不同策略的可能結(jié)果后作出選擇，策略的實(shí)施等其余推理環(huán)節(jié)對(duì)于推理者則不太重要，除非由于粗心所造成的計(jì)算錯(cuò)誤，否則一定會(huì)得到正確答案.換而言之，識(shí)別與選擇合適的程序是算法推理中的關(guān)鍵與主要任務(wù).創(chuàng)造性推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并不少見，其推理過程多會(huì)涉及到模仿推理.例如，學(xué)生在解決某些圖形面積問題時(shí)可能就需要運(yùn)用背誦的長方形面積公式等.根據(jù)所包含模仿推理的多少，可將創(chuàng)造性推理分為全部創(chuàng)造與局部創(chuàng)造，即使是局部創(chuàng)造也包含著創(chuàng)新的成分.這里的創(chuàng)造并不是那些天才的發(fā)明，而是一些新的策略與方法，包括重新再創(chuàng)造出已經(jīng)遺忘的策略.利特納提出了創(chuàng)造性推理的3個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)3〕：?新穎性(novelty):即對(duì)于推理者而言是全新的推理序列，或者重新創(chuàng)建一個(gè)被遺忘的推理序列；?合理性(plausibility):策略的選擇、實(shí)施與結(jié)論的得出都有一定論據(jù)的支撐；?數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(mathematicalfoundation):相關(guān)論點(diǎn)、論據(jù)的提出皆符合數(shù)學(xué)的性質(zhì)與屬性.不同于傳統(tǒng)的演繹推理和歸納推理劃分，著重于推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個(gè)要素及其相互關(guān)系，利特納所提出的推理類型更關(guān)注學(xué)生個(gè)體在推理中的心理歷程，為理解數(shù)學(xué)推理提供了新的視角，特別是幫助理解學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的過程，比如透過分析學(xué)生的推理過程，可以知道學(xué)生在問題解決過程中的策略和答案究竟是來源于對(duì)問題內(nèi)容的分析、比較等，還是僅僅是基于回憶與猜測(cè).總的來說，盡管研究中存在對(duì)數(shù)學(xué)推理的不同理解，但還是脫離不開圖爾明提到的推理結(jié)構(gòu)中的各個(gè)要素及其相互關(guān)系.不同視角下的推理類型只是更強(qiáng)調(diào)這一邏輯結(jié)構(gòu)的某些部分，這些不同的理解會(huì)有助于研究者從不同角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.例如，重視過程視角的數(shù)學(xué)推理促使教師關(guān)注推理所包含的具體環(huán)節(jié)，重視結(jié)構(gòu)視角的數(shù)學(xué)推理為教師設(shè)計(jì)與選擇教學(xué)任務(wù)提供依據(jù)，重視模仿與創(chuàng)造性推理，則能幫助教師對(duì)教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理進(jìn)行診斷和分析.3小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的體現(xiàn)從理論層面對(duì)推理的概念進(jìn)行分析后，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)推理作為一種思維方式貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過程.因此，教師并非只有在特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容或特定的教學(xué)環(huán)節(jié)才適合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.不過也應(yīng)看到，對(duì)于不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)推理的表現(xiàn)形式確有不同.故此，結(jié)合國內(nèi)外的相關(guān)研究，對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中的代數(shù)推理、比例推理和空間推理3種常見的數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)進(jìn)行介紹，并結(jié)合具體的例子為教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)推理教學(xué)提供參考.代數(shù)推理(algebraicreasoning)代數(shù)推理被視為學(xué)生在數(shù)學(xué)與科學(xué)方面取得進(jìn)步的守門人(gatekeeper)'地］.代數(shù)推理往往涉及到對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，而這是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)刖，而且代數(shù)推理也滲透于日常生活的方方面面，諸如購物中對(duì)商品的比較，駕車時(shí)對(duì)行駛時(shí)間的估計(jì)，等等.另外，從小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到中學(xué)的一個(gè)明顯轉(zhuǎn)變就是正式開始代數(shù)學(xué)習(xí)，這一轉(zhuǎn)換對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言往往是十分困難的.研究表明，在小學(xué)階段有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力能夠?yàn)閷W(xué)生實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換提供相應(yīng)的支持SI.代數(shù)推理可以視作是對(duì)具體的數(shù)字與計(jì)算進(jìn)行概括，將所得到的結(jié)論用有意義的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，并對(duì)所得到的模式進(jìn)行探索.簡而言之，尋找(lookingforX識(shí)別(recognizingX概括(generalizing)與運(yùn)用(using)潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(mathematicalstructures)構(gòu)成了代數(shù)推理的幾個(gè)重要方面.其中，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)既可以指代廣義的群、環(huán)、域等課題，也包括由具體運(yùn)算所抽象出的結(jié)構(gòu)、規(guī)則和一般化的算理等.這里主要基于后者對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的定義對(duì)小學(xué)階段的代數(shù)推理進(jìn)行分析.小學(xué)階段的代數(shù)推理主要體現(xiàn)在理解符號(hào)的意義與數(shù)字的不同屬性，明晰加減乘除運(yùn)算中的算理等.代數(shù)推理的核心是用符號(hào)表示出概括的結(jié)構(gòu)，但在正式的學(xué)習(xí)中，代數(shù)通常是以預(yù)定的規(guī)則語法和符號(hào)語言呈現(xiàn)，供學(xué)生記憶，學(xué)生幾乎沒有對(duì)符號(hào)意義及其規(guī)則進(jìn)行探索與表達(dá)的機(jī)會(huì).那么要如何滲透代數(shù)推理？舉例來說，在早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師可采用實(shí)物或鼓勵(lì)學(xué)生使用自己’創(chuàng)造"的非正式符號(hào)表示算術(shù)屬性，如"★+★=2x★"，并對(duì)其中的關(guān)系進(jìn)行陳述與解釋.同樣，教師也可通過引導(dǎo)學(xué)生考慮奇數(shù)、偶數(shù)不同組合相加后所得結(jié)果的奇偶性，以促使學(xué)生從關(guān)注"和"的多少，到對(duì)和"的不同屬性進(jìn)行代數(shù)思考.類似的例子還包括探索加法交換律與乘法交換律等.學(xué)生在這一過程中進(jìn)行猜想、比較與歸納等，在形成意義理解的同時(shí)也提高升了推理能力.再如教學(xué)8的乘法口訣，如果只是簡單引入口訣，然后請(qǐng)學(xué)生通過背的方式記憶口訣再應(yīng)用到問題解決中，那么學(xué)生就只是在應(yīng)用簡單的模仿推理.而如果將教學(xué)的過程豐富起來，引導(dǎo)學(xué)生思考并交流討論，提出諸如"八八六十四"這句口訣是怎么來的這樣的問題，學(xué)生就可能提出：（1）8x4=32（4個(gè)8相加），那么8x8=64（8個(gè)8相加，就是4個(gè)8相加的翻倍）;（2）8x3=24（3個(gè)8相加）,8x5=40（5個(gè)8相加），合起來就是8x8=64（8個(gè)8相加）等不同的思路，如果從過程的角度來看待這段教學(xué)，學(xué)生就是在經(jīng)歷'通過與自我對(duì)話或與他人進(jìn)行對(duì)話，而從一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)推斷出另一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的過程"，這一過程中恰恰可以體現(xiàn)學(xué)生對(duì)內(nèi)容的"比較與分析"，創(chuàng)造性地解決問題.此外,"找規(guī)律"的形數(shù)問題也是代數(shù)領(lǐng)域推理能力的體現(xiàn).小學(xué)階段可通過提供有一定規(guī)律的視覺圖片為學(xué)生提供探索與建立數(shù)量間的關(guān)系的機(jī)會(huì).例如，圖4左邊是一種重復(fù)變化模式，為低年級(jí)學(xué)生創(chuàng)造了一種簡單的遞歸模式，體驗(yàn)初步的模式分析與預(yù)測(cè)的推理過程；圖4右邊則屬增長變化模式，可以用以引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注每次增加2淺灰色磚"的數(shù)量變化到提煉出圖形序號(hào)同磚塊數(shù)之間的關(guān)系，并對(duì)任何序號(hào)下的磚塊數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)刖.這一過程也能為將來中學(xué)階段的函數(shù)思想的形成奠定基礎(chǔ).圖4培養(yǎng)函數(shù)思想的代數(shù)推理任務(wù)除了上述方法外，在具體數(shù)字運(yùn)算中進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、理解與應(yīng)用算理也是進(jìn)行代數(shù)推理的重要方面.較之加法與乘法計(jì)算，—些研究者更傾向于使用"加法推理（additivereasoning）'和“乘法推理（multiplicativereasoning）'以凸顯其中所涉及的對(duì)數(shù)字的拆分組合.例如，斯特弗（Steffe）認(rèn)為，加法推理需要學(xué)生能夠?qū)?shù)字視為復(fù)合單位的概念（compositeunit），從而根據(jù)要求進(jìn)行拆分與組合［23］，比如從推理的角度講，期待學(xué)生不但能夠計(jì)算"7+4=?",還要能夠在"7+4=?"和"11-7=?"之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換.在此基礎(chǔ)上，祖爾（Tzur）提出乘法推理與加法推理的差別在于學(xué)生需要進(jìn)一步對(duì)復(fù)合單位進(jìn)行協(xié)同操作，即將其中一個(gè)復(fù)合單位分配到另一個(gè)復(fù)合單位之中，并通過協(xié)同計(jì)數(shù)得到總數(shù)釧〕.這樣看來，即便是理解"在3個(gè)籃子中每個(gè)都放入兩個(gè)蘋果，共有多少個(gè)蘋果”這樣的問題，實(shí)際也需要學(xué)生進(jìn)行如下的推理：1（籃子）一2（蘋果X2（籃子）一4（蘋果X3（籃子）—6（蘋果）.比例推理（proportionalreasoning）將比例推理單獨(dú)羅列而沒有歸入代數(shù)推理，主要考慮是因?yàn)槔斫馀c解決比例問題不單單是運(yùn)用符號(hào)或是進(jìn)行乘法運(yùn)算，而是要基于具體情境把握其中的關(guān)系變化.正如皮亞杰（Piaget）所說，比例推理的特點(diǎn)之一在于其并不是簡單地討論兩個(gè)量之間的關(guān)系，而是對(duì)兩對(duì)關(guān)系（second-orderrelationship）進(jìn)行描述、預(yù)測(cè)以及評(píng)估問.這也是比例問題的難點(diǎn)所在，學(xué)生必須要從慣用的加法推理以及絕對(duì)變化觀念轉(zhuǎn)變至乘法推理和相對(duì)變化觀念.比例推理結(jié)構(gòu)的劃分見圖5.圖5比例推理結(jié)構(gòu)的劃分比例推理在小學(xué)階段主要涉及：（1）義務(wù)教育階段第二學(xué)段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的"正比例、反比例"，這部分內(nèi)容要求學(xué)生能夠理解實(shí)際情境中比及按比例分配的含義，并解決簡單問題；在具體情境中認(rèn)識(shí)成比例的量和成反比例的量；畫出正比例關(guān)系圖并會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值；以及能夠找出生活中成正比例和反比例的量并進(jìn)行交流.（2）數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中數(shù)的運(yùn)算部分中，“路程=速度x時(shí)間"也涉及比例關(guān)系的理解與建構(gòu).在許多研究以及教科書設(shè)計(jì)中，利用比例關(guān)系計(jì)算出缺失量（missing-value）被視為比例推理能力的體現(xiàn)［25］.例如，回答一些類似"制作3杯濃縮果汁需要6勺蘋果汁和12杯水，那么制作6杯濃縮果汁需要幾勺蘋果汁"的問題.但比例推理所涉及的方面遠(yuǎn)不止此.莫德斯托（Modestou）和加加希思（Gagatsis）認(rèn)為，比例推理能力除表現(xiàn)為解決常規(guī)的比例推理任務(wù)外，還應(yīng)包括類比推理和原類比意識(shí)兩個(gè)方面.由此所建構(gòu)的比例推理模型也為研究者理解與培養(yǎng)比例推理提供相應(yīng)的參照㈣.其中，類比推理是指?jìng)€(gè)體識(shí)別與運(yùn)用文字與數(shù)字中所包含的模式的能力，相關(guān)問題包括同義詞（聰明vs聰慧X分類（畫作與藝術(shù)vs語言和文學(xué)X關(guān)系配對(duì)（鋼筆和墨水vs顏料和畫筆）等文字題目，以及整數(shù)比：如，6:3=8:___（2，4，16）;非整數(shù)比:6:4=9:—（1，3，6）;平方關(guān)系：6:36=8:___（37，64，72）等數(shù)字類比問題.類比推理作為一種特殊的推理，適用于培養(yǎng)低年級(jí)學(xué)生初步體驗(yàn)依據(jù)關(guān)系進(jìn)行推理的過程，為后續(xù)比例能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).元類比意識(shí)則主要是指通過對(duì)給定情境進(jìn)行分析，以識(shí)別與判斷是否存在比例關(guān)系.對(duì)情境進(jìn)行分析與判斷既是比例的重要特點(diǎn)，也是開展比例推理的前提與基礎(chǔ).典型的情境判斷問題有"：如果一名9歲的小男孩高1.23米，那么在他18歲生日時(shí)，他的身高將達(dá)到2.46米"和小明今年8歲，爸爸32歲，當(dāng)小明10歲時(shí)，爸爸是40歲".比例始終是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，從小學(xué)階段有意識(shí)地幫助學(xué)生體驗(yàn)變化關(guān)系，辨析問題情境能夠有助于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí).空間推理（spatialreasoning）空間推理可以被定義為受試者由空間對(duì)象或表征建造心像并進(jìn)行操弄，以進(jìn)行空間表征間變換的認(rèn)知?dú)v程I27〕.中國義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)提出從實(shí)物與圖形的轉(zhuǎn)換、物體的位置、圖形運(yùn)動(dòng)，以及繪圖4個(gè)方面對(duì)學(xué)生的空間觀念進(jìn)行培養(yǎng)［3］，每一個(gè)方面都需要空間推理能力作為基礎(chǔ).在小學(xué)階段,"三視圖"問題可以說是培養(yǎng)學(xué)生空間推理能力比較突

出的方面.“三視圖”中空間推理能力的類別見圖6./、空間定位能力廠畫出三視圖，受試驗(yàn)者必須想象自己的位置改變，而空間物體內(nèi)部各部分的相對(duì)位置不變?nèi)晥D所需的空間推理能力Z 三視圖所需的空間推理能力三視圖的解碼由三視圖進(jìn)一步對(duì)空間物件的形狀進(jìn)行推理，可稱為三視圖的解碼空間組織能力L受試者需要組織由不同方向所觀察到的空間影像而猜想其他方向的影像或立體 圖6三視圖中空間推理能力的類別"三視圖"問題根據(jù)任務(wù)類型的不同可劃分為兩大類別：一類是"視圖與立體圖的對(duì)應(yīng)”，包括由三維至二維空間組織（由立體圖選出三視圖）和二維至三維空間組織（由三視圖選出立體圖）；第二類任務(wù)為"視圖與視圖的對(duì)應(yīng)"，包括不需額外假設(shè)的由右視圖選出左視圖問題，以及需要額外假設(shè)的，根據(jù)給定立體模型的前、俯兩個(gè)視圖判斷第三個(gè)視圖是否與之兼容，這一任務(wù)也被認(rèn)為是難度最大的I28〕.研究表明，在處理相關(guān)任務(wù)時(shí)，學(xué)生需要調(diào)動(dòng)與運(yùn)用不同的空間推理能力.主要涉及：第一，空間定位能力（spatialorientation），即在想象自己位置改變的同時(shí)，保持空間物體內(nèi)部各部分的相對(duì)位置不變，特別體現(xiàn)在解決由三視圖選出立體圖的任務(wù)中；第二，三視圖的解碼能力（decoding）,即通過二維的三視圖對(duì)立體物件的形狀進(jìn)行推理；最后，空間組織能力（spatialorganization）,學(xué)生需要根據(jù)不同方向所觀察到的空間影像而猜想其它方向的影像或立體圖形，尤其體現(xiàn)在解決"視圖與立體圖"對(duì)應(yīng)的問題中［28〕.類似涉及幾何對(duì)象相互轉(zhuǎn)換關(guān)系的教學(xué)任務(wù)還包括圖形的切割與拼接、圖形的展開與折疊等.實(shí)物操作在學(xué)生建立起三維與二維的轉(zhuǎn)換、表象的加工與處理等過程中發(fā)揮著重要的作用，豐富的實(shí)物操作經(jīng)驗(yàn)有助于學(xué)生經(jīng)歷空間推理的過程.在培養(yǎng)學(xué)生空間視覺化、直觀想象的能力時(shí)，也要注重引導(dǎo)學(xué)生探索直觀背后的規(guī)律，了解直觀背后可能的陷阱"，這也是空間推理的體現(xiàn)I29〕.4小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)推理所包涵的范圍甚廣，無論是一般性地從不同視角來理解推理（如演繹和歸納推理、模仿和創(chuàng)造性推理等），還是具體到某一學(xué)習(xí)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)推理（如代數(shù)推理、比例推理等），數(shù)學(xué)推理幾乎滲透于全部數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).在上文中，盡管對(duì)在不同學(xué)習(xí)內(nèi)容領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)推理舉了一些例子，未必能覆蓋到全部.事實(shí)上，針對(duì)數(shù)學(xué)推理的教學(xué)，很難提出—個(gè)公認(rèn)的程序或者步驟，一個(gè)一般意義上的實(shí)施原則與要求會(huì)更有靈活性.例如，全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)分別從任務(wù)設(shè)計(jì)、課堂環(huán)境營造、鼓勵(lì)課堂對(duì)話交流、恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)交流和對(duì)教學(xué)實(shí)踐的反思5個(gè)方面構(gòu)建了關(guān)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的框架可作為推理教學(xué)的一種參考網(wǎng).除此之外，嘗試從以下兩個(gè)方面為教師在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力提供一些建議.4.1設(shè)計(jì)支持創(chuàng)造性推理的任務(wù)在對(duì)推理類型的分析中，相比模仿性推理，學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)推理要困難一些，但這又是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中十分重要的部分.在利特納看來，所謂創(chuàng)造性任務(wù)是允許學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和探索的任務(wù)31.這里的創(chuàng)造并非指任務(wù)設(shè)計(jì)的形式有多新穎或獨(dú)特，而是指那些并不在事前給出提示或答案，允許學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和探索的任務(wù)，這樣的理解，或許讓一般的教師更容易操作，畢竟新穎、獨(dú)特的教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)并非易事.利特納發(fā)現(xiàn)，在瑞典教科書中死記硬背以及淺顯推理的任務(wù)十分常見，高達(dá)80%的任務(wù)都能夠通過簡單的策略模仿進(jìn)行解決.在這種任務(wù)中，學(xué)生需要做的就是記住其中的程序與策略，并將其應(yīng)用于新的任務(wù)之中.教材不等于學(xué)材.因此，教師教學(xué)中需要根據(jù)教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.如在呈現(xiàn)平行四邊形面積"的探索過程時(shí)（見圖7）［3＞］，教材以鋪草坪為背景要求學(xué)生計(jì)算平行四邊形的面積.在同一頁面中首先引出輔助線作為提示，接著又進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考其與長方形面積的關(guān)系，并建議借助方格紙進(jìn)行觀察，最后則直接通過圖片呈現(xiàn)割補(bǔ)過程，要求學(xué)生總結(jié)出相應(yīng)的面積公式.從教材的呈現(xiàn)可以看出，教師需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，但如果學(xué)生在獨(dú)立預(yù)習(xí)或課堂學(xué)習(xí)時(shí)只是對(duì)教材中的提示進(jìn)行檢驗(yàn)，沒有真正經(jīng)歷思考由長方形、三角形與平行四邊形的關(guān)系而推理出采用割補(bǔ)法計(jì)算面積的過程，這一內(nèi)容也就變成了簡單的策略模仿.探索活動(dòng)：平行四邊形的面積?:SF?:SF和*分t.O再比如教學(xué)圓錐體積的時(shí)候，如果只關(guān)注推理的結(jié)果，老師只要拿一個(gè)圓錐和一個(gè)同它等底等高的圓柱（下簡稱圓錐與圓柱），用水或者沙"倒"給學(xué)生看，看到倒3次剛好倒?jié)M，得到圓錐體積是圓柱體積的三分之一就可以了.如果從關(guān)注推理的過程出發(fā)，教學(xué)過程則可能完全不同.教師先讓學(xué)生猜測(cè)圓錐與圓柱體積之間有什么關(guān)系，如果不是提前學(xué)習(xí)過，學(xué)生會(huì)用面積的知識(shí)類比推理成也是一半的關(guān)系（如圖8所示）.這是一個(gè)有趣的類比推理過程；如果在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論為什么不正確，進(jìn)而分析正確的結(jié)論可能是怎樣的，學(xué)生可能呈現(xiàn)出的思考過程將有很大的可能是具有創(chuàng)造性的，這種猜測(cè)和推理驗(yàn)證的碰撞，也會(huì)調(diào)動(dòng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī).圖8學(xué)生對(duì)圓錐體積與等底等高的圓柱體積關(guān)系類比推理的思考為更好地設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)任務(wù)，教師可以嘗試根據(jù)前文中結(jié)構(gòu)視角下不同推理的表現(xiàn)圖示描畫出學(xué)生的不同推理過程.在選擇、設(shè)計(jì)與運(yùn)用教學(xué)